در این پایان نامه به مطالعه ی ساختار قاب های چسبان هم زاویه مختلط و ماتریس های سیدل (نشان) شامل ریشه های سوم واحد که دارای دو مقدار ویژه هستند، می پردازیم. هم چنین نشان می دهیم که وجود چنین ماتریس هایی معادل با وجود قاب های چسبان هم زاویه است هنگامی که ضرب داخلی میان بردارهای قاب ضرب معمولی ریشه های سوم واحد می باشد. در ادامه روابط میان قاب های چسبان هم زاویه، ماتریس های سیدل مختلط و گراف های جهت دار بسیار منظم را مورد بررسی قرار داده و مثال هایی از چنین قاب هایی با بردارهای دلخواه زیادی بیان می کنیم.

در این پایان نامه جزئیات تناظر یک به یک بین قاب های هم زاویه ی از ‎$n$‎ بردار برای ‎$bbb r^d$‎ و گراف های با ‎$n$‎ رأس بیان می شوند‎.‎ به علاوه تناظر یک به یک بین قاب هم زاویه و ماتریس نشان را بیان کرده و ثابت می شود اگر قاب هم زاویه چسبان باشد آن گاه شرایط هم زاویه بودن به یک سیستم از معادلات درجه دوم کاهش می یابد و این معادلات را در بعضی موارد حل می کنیم‎.‎ در این پایان نامه حالت خاص قاب های هم زاویه ی حقیقی را بیان کرده و خاطر نشان می شود که در این حالت درایه های ماتریس نشان ‎$pm 1$‎ هستند و این ماتریس نشان را به عنوان ماتریس سیدل از یک گراف در نظر می گیریم‎.‎ در ادامه ساختار قاب مرسدس‎-‎ بنز (مثال شناخته شده از یک قاب چسبان روی صفحه) به فضای ‎$bbb r^n$‎ تعمیم داده می شود‎.‎ هم چنین شرایط وجود برای سیستم های مرسدس‎-‎ بنز و دیگر قاب های چسبان هم زاویه بحث می شود.

در این پایان نامه به معرفی نگاشت های خطی کاملا مثبت روی ماتریس های مختلط پرداخته شده است. هم چنین مفهوم جدیدی تحت عنوان برد عددی توأم رتبه بالای تعمیم یافته معرفی شده است.

در این پایان نامه به معرفی مفهوم جدید برد عددی رتبه بالا و بررسی برخی از خواص پایه ای آن پرداخته شده است، که با توجه به مفهوم برد عددی رتبه بالا ارائه گردیده است. همچنین تلاش شده است که برد عددی رتبه بالا برای ماتریس های هرمیتی محاسبه شود.

این پایان نامه مشتمل بر 4 فصل می باشد که در ان ها شعاع طیفی علامت حقیقی مورد بررسی قرار می گیرد

از مطالب مهمی که در مبحث بردهای عددی عنوان می شود، محدب بودن آن هاست. در این پایان نامه، هدف بررسی محدب بودن چند نوع از بردهای عددی است. این پایان نامه شامل مطالبی برای آشنایی با انواع بردهای عددی و خواص آن ها می باشد. مهم ترین بخش این نوشته به برهانی برای محدب بودن برد عددی رتبه بالای عملگرهای خطی کران دار روی فضاهای هیلبرت اختصاص دارد. برهان هایی که در این زمینه آورده شده است، عموماً برای فهم نیاز به دانسته های زیادی دارد. مهم ترین این برهان ها را وئردمن ارائه کرده است. سعی ما بر این بوده است که برهانی مستقل بر پایه ی برهان وئردمن بیاوریم. همچنین برهانی برای محدب بودن برد عددی نامتناهی عملگرهای خطی کران دار روی فضاهای هیلبرت و برهانی برای محدب بودن حالت خاصی از c- برد عددی آورده شده و با مثالی نشان داده شده است که برد عددی توأم در حالت کلی محدب نیست.

در این پایان نامه چندین خاصیت از جایگشت وجهی مهتری مورد بررسی قرار گرفته و ارتباطی بین آنها و محدب گسسته برقرار می شود.سپس مهتری سطری د ستونی معرفی شده و ساختار نگهدارنده های خطی آنها را می یابیم.

در این پایان نامه ابتدا با استفاده از برد عددی رتبه بالای توأم، غلاف عددی رتبه بالا را تعریف کرده و سپس غلاف عددی رتبه بالا، برای ماتریس های هرمیتی مشخص می شود. در ادامه با استفاده از تعریف برد عددی مرتبه ‎ (k1‎ , ‎k2)‎، غلاف عددی رتبه بالا برای ماتریس های یکانی تعیین می گردد. هم چنین غلاف عددی رتبه ‎2‎ از مرتبه ‎2‎ برای ماتریس های نرمال به فرم ‎a=a1‎+ ‎i a2 که در آن ‎ a1و ‎ a2ماتریس های هرمیتی هستند، ارائه می شود‎.‎ هم چنین به بررسی حدس کروزیکس برای بلوک های جردن آشفته پرداخته و نشان داده می شود که حدس کروزیکس برای بلوک های جردن آشفته در حالت کلی برقرار است .

قضیه ی پرون-فروبینیوس مفهومی اساسی مربوط به شعاع طیفی ماتریس های نامنفی است . این قضیه علاوه بر کاربرد گسترده در ریاضیات مانند زنجیر مارکوف، قضیه ی گراف، قضیه ی بازی، آنالیز عددی و در بسیاری از زمینه های مختلف علوم مثل اقتصاد، تحقیق در عملیات، رتبه ی صفحات در اینترنت نیز به طور وسیعی مورد استفاده قرار می گیرد. با توجه به اینکه مساُله ی مقدار ویژه ی تانسورهای نامنفی، موضوع مهم مورد مطالعه در شاخه ی علوم ریاضی کاربردی و جبر چند خطی عددی است و نیز کاربردهای علمی آن از جمله بهترین رتبه ی یک تقریب در تجزیه و تحلیل عددی و غیره، ما را بر آن داشت تا تعمیم قضیه ی پرون-فروبینیوس برای تانسورهای نامنفی را مورد بررسی قرار دهیم و همچنین نتایج بیشتری را برای قضیه ی پرون-فروبینیوس اثبات کنیم.

‏تانسور مفهومی است که در ریاضی و فیزیک به منظور گسترش مفاهیمی همچون اسکالر‏، بردار هندسی و ماتریس به ابعاد بالاتر معرفی می شود.‎ ‎‎در تانسورها از مفهوم برآیند‏، برای معرفی چندجمله ای مشخصه و چندگانگی جبری مقادیر ویژه تانسور استفاده می شود. هم چنین‏ مفهوم تحویل ناپذیری در تانسورهای نامنفی‏ به گونه ای تعریف می شود که با تعریف متعارف آن در بحث ماتریس های نامنفی هم خوانی داشته باشد.‎‎ ‎‎در این پژوهش‏‏‏ ضمن بیان و اثبات قضایای پرون-فروبنیوس و مینماکس برای ماتریس های نامنفی‏، سعی می شود گام به گام این قضایا برای تانسورها تعمیم داده شود.‎ علاوه بر این نشان داده خواهد شد که مقدارویژه پرون در ماتریس های تحویل ناپذیر ساده است‏، اما مقدار ویژه پرون در تانسورها‎ی‎ تحویل ناپذیر خاصیت ‎‏سادگی را دارا نیست.

طبق قضیه پرون-فروبنیوس، اگر یک ماتریس (مربعی و مولفه به مولفه) نامنفی باشد آنگاه شعاع طیفی آن یک مقدار ویژه از است و بردار ویژه متناظرش نامنفی است. اگر بعلاوه، تحویل ناپذیر باشد آنگاه یک مقدار ویژه ساده است و بردار ویژه متناظرش مثبت است. همچنین برای یک ماتریس نامنفی تحویل ناپذیر با اندیس غیر اولیه (یعنی دقیقأ مقدار ویژه با قدر مطلق داشته باشد)، فروبنیوس یک قضیه ساختاری عمیق تری را ثابت کرده است: مجموعه مقدار ویژه با قدر مطلق ، شامل ضربدر تمام ریشه های واحد یک است و طیف ماتریس تحت چرخش با زاویه حول مرکز صفحه مختلط، پایاست و یک ماتریس دوری است. در این رساله ما نتایج قضیه پرون-فروبنیوس را روی تعمیمهای برد عددی بررسی می کنیم.

ضرب عمومی دو تانسور n بعدی a و b که a از مرتبه m?2 و از b مرتبه k?1 می باشد، تانسوری از بعد n و مرتبه m-1)(k-1)+1) است. این ضرب که تعمیمی از ضرب معمولی ماتریس ها است در قانون شرکت پذیری نیز صدق می کند. با استفاده از این ضرب، بسیاری از مفاهیم و نتایج شناخته شده از تانسورها می توانند به سادگی بیان و یا اثبات شوند. در این پایان نامه با استفاده از ضرب تانسوری و یک سری خواص برآیند یک سیستم معادلات n متغیره همگن، تشابه و همنهشتی تانسورها ( که تعمیمی از روابط متناظر برای ماتریس ها است ) تعریف می شود و ثابت می شود که تانسورهای متشابه دارای چند جمله ای مشخصه یکسانی هستند. دو نوع خاص از تشابه نیز بررسی می شود، به طور جایگشتی متشابه و به طور قطری متشابه کاربردهای آن ها در مطالعه طیف ابرگراف ها و تانسورهای تحویل ناپذیر نامنفی نیز بررسی می شود حاصل ضرب مستقیم تانسورها نیز ( که در حالت ماتریسی همان ضرب کرونکر است ) تعریف می شود، و کاربردهای آن در مطالعه طیف دو نوع از حاصل ضرب های ابرگراف ها ارائه می شود. همچنین کاربردهایی از این ضرب تانسوری در مطالعه تانسورهای نامنفی، شامل مشخص سازی کردن تانسورهای اولیه، کران های بالا برای درجه های اولیه و شاخص های دوری بعضی تانسورهای تحویل ناپذیر نامنفی بیان می شود

در این پایان نامه، غلاف عددی چند جمله ای از درجه ‎(سه)‎ دوی تمامی ماتریس ها (ی نرمال) ‎$ainm_n$‎ که ‎$a^2$‎ هرمیتی است مشخص شده اند. همچنین، به ازای ماتریس های نرمال ‎$ainm_n$‎ که توان ‎$k$‎ ام شان نیم-معین است، این را نشان دادیم که غلاف عددی چندجمله ای از درجه ‎$k$‎ ی ‎$a$‎ برابر با ‎$sigma(a)$‎ است. در پایان به کمک استدلال هایی سرراست، برد عددی مرتبه بالای توأم سه ماتریس پاولی را کاملا مشخص کردیم و تحت رابطه تشابه یکانی توأم، ماتریس های پاولی را دسته بندی نمودیم که، این دسته بندی، می تواند برای مشخص کردن برد عددی مرتبه بالای توأم تعداد بیشتری (از سه) ماتریس پاولی مورد استفاده قرار گیرد.

فصل اول شامل تعاریف و مفاهیم مقدماتی است که مکررا مورد استفاده قرار می گیرند. در فصل دوم، نامساوی مقادیر تکین را برای میانگین های هاینس که توسط ژان حدس زده شده است می آوریم. در فصل سوم، توسیع هایی که در زمینه مدل ماتریسی نامساوی میانگین هندسی-حسابی انجام شده را مورد بحث قرار می دهیم و مباحث مرتبط با این مطلب ارائه خواهد شد. هر چند هدف اصلی ما تمرکز روی این نوع نامساوی ماتریسی است. نظریه های اساسی و مسائل خاصی که به تازگی در زمینه نامساوی های ماتریسی مطرح شده را نیز بیان می کنیم. در فصل چهارم، نامساوی یانگ کلاسیک را بهبود داده و با استفاده از آن تعمیم نامساوی های یانگ و هاینس را برای ماتریس ها بررسی می کنیم.

قاب های چسبان، تعمیمی غیر بدیهی از پایه های متعامد یکه می باشند. در سال های اخیر، پیشرفت زیادی در درک و پیاده سازی قاب های چسبان صورت گرفته است با این وجود سوال های اساسی و مهم زیادی در مورد این نوع قاب ها بدون جواب باقی مانده است. در تعریف پایه ی متعامد یکه لازم است که بردارها از طول واحد باشند اما در مورد قاب های چسبان به چنین فرض اولیه ای نیاز نداریم همچنین در صورت داشتن یک پایه برای یک فضا می توان هر عضو فضا را با کمک عناصر پایه نمایش داد. در حالی که ارائه ی نمایشی متناظر با اسفاده از قاب های چسبان، شرط غیر صریحی روی طول های عناصر چنین قاب هایی ایجاد می کند. در این پژوهش هدف ما بررسی ارتباط بین ساختار قاب های چسبان متناهی و اندازه ی عناصر تشکیل دهنده ی آن ها می باشد. همچنین ارتباط این گونه قاب ها با کمینه سازهای تابع انرژی پتانسیل که از اهمیت زیادی در مباحث فیزیکی و ارتباطات رادیویی و بی سیم برخوردار است، بررسی خواهد شد.

در این پایان نامه تعاریف ماتریس انتقال وزن دار و ماتریس انتقال دوری وزن دار را آورده ایم و هم چنین نحوه به دست آوردن بیشینه شعاع عددی برای این ماتریس ها را مطرح کرده ایم.

در این پایان نامه مفهوم‎‎‎‎p ‎‏ و ‎ ‎p‎0‎‎ ‎ماتریس ها‎ را به ‎ ‎p‎ ‎و‎ ‎p‎0‎‎ ‎تانسورها‎ تعمیم خواهیم داد‎‎و برخی شرایط لازم و کافی برای یک تانسور می آوریم تا به یک p ‎‏ ‎‎‎ (‎p‎0‎‎)‎تانسور تبدیل شود.‎ bماتریس ها‎‎‎‎ زیرکلاسی از ‎ ‎p‎ ‎‏ ماتریس ها می باشند. ما مفهوم‎b‎ ‎‏ ‎(‎b‎0‎)‎‎‎ ماتریس ها را به‏‎b‎ ‎‏ ‏‎ (b‎0‎) ‎ تانسورها تعمیم خواهیم داد.

در این پایان نامه‏‏، دو خاصیت طیفی تانسورهای نامنفی متقارن اثبات می ‏شو‏ند. خاصیت اول‏، بیشینه بودن بزرگترین ‎‎$‎h‎$‎‎‏-مقدار ویژه ی تانسور نامنفی متقارن و بدست آوردن کرا‏ن هایی برای آن مقدار ویژه با مجموع وجه ها می باشد. خاصیت دوم‏، اگر بردار ویژه ی متناظر با یک ‎‎$‎h‎$‎‎‏-مقدار ویژه‏، مثبت باشد‏، آن گاه این ‎‎$‎h‎$‎‎‏-مقدار ویژه بیشینه است. شرط لازم وکافی برای اینکه یک ‎$‎‎‎h‎$‎‎‏-مقدار ویژه‏ بیشینه باشد‏،‏ ارائه می شود. در ادامه تانسور همزمان مثبت را که تعمیم مفهوم ماتریس همزمان مثبت می باشد‏، معرفی ‏شده و خواص آن بررسی می شود. تانسورهای نامنفی متقارن و نیمه معین مثبت‏، مثال هایی از تانسورهای همزمان مثبت می باشند. در انتها نشان داده خواهد شد که هر مجموعی از عنصر روی قطر اصلی و همه ی عناصر منفی خارج قطر در همان سطر‏، نامنفی باشد‏‏، آن گاه آن تانسور‏، همزمان مثبت می باشد‏. خواص بیشتری از تانسورهای همزمان مثبت بررسی خواهد شد‎.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه روابط مختلف بین تفکیک مشبکه های زیرمجموعه های مجموعه دلخواه x واندازه های روی جبرهای زیرمجموعه های x تولید شده بوسیله این مشبکه ها القا می شوند بررسی می شود.