در سالهای اخیر تحقیقات متعددی بر روش های عددی جهت حل معادلات دیفرانسیل انجام شده است. یکی از قوی ترین و پر کاربردترین روشهای عددی روش المان محدود می باشد. روش المان محدود، بدلیل استفاده از المان در فرآیند حل با مشکلاتی مواجه می گردد. این روش در تحلیل مسائلی با مرزهای پیچیده یا متحرک و یا مسائلی که در زمان دچار تغییر در هندسه حوزه ( مسائلی همچون رشد ترک و تغییر شکل های بزرگ) نیازمند فرآیند مداوم شبکه بندی حوزه ی مسئله می-باشد. بدلیل چنین محدودیت هایی توجه بسیاری از پژوهشگران به روش های بدون شبکه معطوف گردید. در این رساله، روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته (dls) برای حل مسائل حاوی ترک بکارگرفته شده است. روش حداقل مربعات گسسته، یک روش بدون شبکه واقعی می باشد که مبتنی بر تکنیک حداقل مربعات می باشد. از مزایای این روش عدم نیاز به انتگرال گیری، تقارن ماتریس ضرایب و سادگی به کار گیری آن می باشد. در این روش گسسته سازی حوزه ی مسئله توسط یکسری نقاط گرهی صورت می گیرد. این نقاط گرهی برای ساخت توابع شکل حداقل مربعات متحرک بکار می روند. روش dls مبتنی بر به حداقل رساندن تابع مجموع مربعات باقیمانده ی معادلات دیفرانسیل حاکم بر حوزه مسئله و مرزها می باشد. روش های بدون شبکه بدلیل استفاده از توابع شکل با درجه پیوستگی بالا، در مواجهه با مرزهای غیر محدب و ناپیوستگی ها نیاز به تمهیداتی در تولید تابع شکل دارند. در این پژوهش، روش انکسار جهت ساخت توابع شکل پیوسته در اطراف نوک ترک استفاده شده است. روش انکسار الهام گرفته از انکسار نور در مرزهای غیر محدب می باشد که بر اساس آن حوزه ی اثر گره در نوک ترک دچار تغییر شکل می شود. در نهایت کارایی و دقت بالای روش حداقل مربعات گسسته با حل مسائل استاندارد و مقایسه نتایج حاصل از حل عددی با نتایج تحلیلی نشان داده می شود.

در طی سال های اخیر تحقیقات زیادی روی روش های بدون شبکه در حل معادلات دیفرانسیل و مسائل شامل ترک صورت گرفته و نتایج قابل قبولی نیز به دست آمده است. روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته (dlsm) از جمله روش های عددی نوین در حل معادلات دیفرانسیل است که بیش از چند سال از بسط و معرفی آن نمی گذرد. در این پایان نامه، روش dlsm جهت حل مسائل ترک ارائه گردیده است. در این روش، محدوده مسئله بوسیله یک سری نقاط گرهی پراکنده گسسته سازی می شود. این نقاط گرهی برای تشکیل توابع شکل با استفاده از درونیاب حداقل مربعات متحرک به کار می روند. شرایط مرزی در این روش به راحتی با روش پنالتی اعمال می شوند. از آنجاییکه این روش هیچ نیازی به شبکه بندی ندارد، می توان گفت که به طور کامل یک روش بدون شبکه است. از قابلیت های این روش می توان به دقت بالا، سادگی، هزینه ی محاسباتی پایین و عدم نیاز به انتگرال گیری اشاره کرد. جهت ایجاد ناپیوستگی میدان جابجایی در طول ترک از معیار مشاهده ای، که یکی ازساده ترین وکاراترین روش های ایجاد ناپیوستگی در تقریب های بدون شبکه است استفاده شده است. هدف از این تحقیق، استفاده از مزایای این روش بدون شبکه جهت مدل کردن ترک و تحلیل میدان های تنش در اطراف نوک ترک در مسائل الاستیسیته دو بعدی می باشد. کارایی روش پیشنهادی بر روی مثال ها با جواب های تحلیلی موجود، صحت یابی شده و نتایج حاصل، نشان دهنده، پایداری، دقت و همگرایی روش پیشنهادی می باشد.

استفاده از فرآیند تظریف تطبیقی برای افزایش دقت حل عددی مسایل در روش های بدون شبکه موضوعی جدیدی است که اخیرا توجه محققان را به خود جلب کرده است در روش های بدون شبکه ناپیوستگی بین المانی وجود نداشته و جواب ها همواره حالت هموار روی کل حوزه ی مسیله دارند. به عبارتی می توان گفت برآورد خطا بر پایه ی تکنیک هموارسازی تنش که در اجزای محدود استفاده می شود را نمی توان به عنوان برآورد کننده ی خطا در روش های بدون شبکه استفاده کرد. در این پاپان نامه در ابتدا با افزودن دو ابزار جدید با نامهای نقاط هم مکان و توابع وزنی به روش موجود حداقل مربعات گسسته روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته هم مکان ارایه شده است از قابلیت های این رویش می توان به دقت بالا سادگی هزینه ی محاسباتی پایین و عدم نیاز به انتگرال گیری اشاره کرد سپس یک برآورد کننده خطا برای این روش معرفی شده و به منظور نشان دادن قابلیت های آن مسایل متعددی در حوزه ی مکانیک سیالات با استفاده از روش حداقل مربعات گسسته هم مکان حل شده و خطاهای برآورده شده برای آنها محاسبه گردیده است. در نهایت با معرفی یک فرایند تظریف تطبیقی نقاط قابلیت روش حداقل مربعات گسسته هم مکان در حل مسایل در حوزه دینامیک سیالات نشان داده شده است.

درطی سالهای اخیر تحقیقات زیادی روی روشهای بدون شبکه درحل معادلات دیفرانسیل ومسائل شامل ترک صورت گرفته و نتایج قابل قبولی نیز به دست آمده است. روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته(dlsm) ازجمله روشهای عددی نوین درحل معادلات دیفرانسیل است که بیش از چند سال از بسط ومعرفی آن نمی گذرد. در این پایان نامه، روش dlsm جهت بدست آوردن فرکانس طبیعی ارائه گردیده است. در این روش، محدوده مسئله بوسیله یک سری نقاط گرهی پراکنده گسسته سازی می شود. این نقاط گرهی برای تشکیل توابع شکل با استفاده از درون یاب حداقل مربعات متحرک به کار می روند. شرایط مرزی در این روش به راحتی با حذف سطر و ستون اعمال می شوند. از آنجاییکه این روش هیچ نیازی به شبکه بندی ندارد، می توان گفت که به طور کامل یک روش بدون شبکه است. از قابلیت های این روش می توان به دقت بالا، سادگی، هزینه ی محاسباتی پایین و عدم نیاز به انتگرال گیری اشاره کرد.جهت ایجاد ناپیوستگی میدان جابجایی در طول ترک از معیار مشاهده ای و روش انکسار که هر دو ازساده ترین وکاراترین روش های ایجاد ناپیوستگی در تقریب های بدون شبکه است استفاده شده است. هدف از این تحقیق، استفاده از مزایای این روش بدون شبکه جهت بدست آوردن فرکانس طبیعی یک معادله ارتعاش آزاد نا میرا می باشد. کارایی روش پیشنهادی بر روی مثال های ترک میانی و ترک لبه ای، صحت یابی شده و نتایج حاصل، نشان دهنده، دقت و همگرایی روش پیشنهادی می باشد.

مکانیک شکست به بررسی رشد ترک و اثر آن بر رفتار و مقاومت سازه ها می پردازد. وجود ترک در سازه ها اجتناب ناپذیر است، بنابراین بدون درنظر گرفتن اثر آن ممکن است ایمنی سازه به خطر افتد. روشهای عددی متعددی برای بررسی و مدلسازی ترک استفاده شده که روش المان محدود ازجمله آنهاست. اما به دلیل وجود ناپیوستگی در هندسه حوزه، این روشها نیازمند تغییر مداوم شبکه بندی هستند به همین دلیل استفاده از روشهای بدون شبکه مورد توجه قرار گرفت. ازجمله روشهای بدون شبکه که در این رساله نیز از آن استفاده شده است، روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته می باشد. این روش بر پایه تکنیک حداقل مربعات بوده و گسسته سازی حوزه ی مسئله توسط نقاط گرهی صورت می پذیرد. از مزایای این روش نیز می توان به تقارن ماتریس ضرایب و عدم نیاز به انتگرالگیری آن اشاره کرد. در این پژوهش، تئوری ترک چسبنده که یکی از روشهای معمول در روشهای عددی برای بررسی رفتار ترک می باشد مورد بررسی قرار گرفته است. در این روش شرایط قبل از ایجاد ترک توسط اعمال تنش بر جداره ترک مدل می شود و به تدریج با بازتر شدن ترک میزان این نیرو کاهش یافته و صفر شدن آن به معنی بازشدگی کامل ترک می باشد. برای مدلسازی فیزیکی ترک نیز از روش مشاهده ای استفاده شده است. در نهایت کارایی و دقت بالای روش حداقل مربعات گسسته با حل مسائل استاندارد و مقایسه نتایج حاصل از حل عددی با نتایج آزمایشگاهی و نتایج روش اجزای محدود نشان داده می شود.

در سال¬های اخیر تحقیقات متعددی بر روش¬های عددی جهت حل معادلات دیفرانسیل انجام شده است. یکی از قوی¬ترین و پر کاربردترین روش¬های عددی روش المان محدود می¬باشد. این روش در تحلیل مسائلی با مرزهای پیچیده یا متحرک و یا مسائلی که در زمان دچار تغییر در هندسه حوزه می¬شوند مانند مسائلی همچون رشد ترک و تغییر شکل¬های بزرگ نیازمند فرآیند مداوم شبکه¬بندی مسئله می¬باشد. به دلیل چنین محدودیت¬هایی توجه بسیاری از پژوهشگران به روش¬های بدون شبکه معطوف گردید. برای حل مسائل دارای ترک به کارگرفته در این رساله، از روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته استفاده شده است. روش حداقل مربعات گسسته، یک روش بدون شبکه واقعی می¬باشد که مبتنی بر تکنیک حداقل مربعات می¬باشد. از مزایای این روش عدم نیاز به انتگرال¬گیری، تقارن ماتریس ضرایب و سادگی به کارگیری آن می¬باشد. در این روش گسسته¬سازی حوزه¬ی مسئله توسط یک¬سری نقاط گرهی صورت می¬گیرد. این روش مبتنی بر به حداقل رساندن تابع مجموع مربعات باقیمانده¬ی معادلات دیفرانسیل حاکم بر حوزه dls مسئله و مرزها می¬باشد. روش¬های بدون شبکه به دلیل استفاده از توابع شکل با درجه پیوستگی بالا، در مواجهه با مرزهای غیر محدب و ناپیوستگی¬ها نیاز به تمهیداتی در تولید تابع شکل دارند. در این پژوهش، از روش فرانمایی برای ایجاد توابع شکل پیوسته در اطراف نوک ترک استفاده شده است. در روش فرانمایی، سطح یا خط ناپیوستگی به وسیله¬ی تابعی با درجه¬های مختلف شفافیت نسبت به نوک ناپیوستگی تعریف می¬شود. در این صورت نوک ناپیوستگی کاملا شفاف در نظر گرفته می¬شود و با دور شدن از نوک ترک از میزان شفافیت کاسته می¬شود.. در نهایت کارایی و دقت بالای روش حداقل مربعات گسسته با حل مسائل استاندارد و مقایسه نتایج حاصل از حل عددی با نتایج تحلیلی و نتایج روش اجزائ محدود نشان داده می¬شود.