در این پایان نامه هدف اصلی ما مطالع و بررسی خاصیت جابجایی در حلقه های زیر بولی و حلقه های نیم پریودیک است. این پایان نامه از سه فصل تشکیل شده است که در فصل اول به تعاریف ، لم ها و قضایایی که در سایر فصل ها به آن ها نیاز داریم می پردازیم . در فصل دوم حلقه زیر بولی را تعریف می کنیم و با بیان و اثبات قضایایی به بررسی خاصیت جابجایی در حلقه های زیر بولی می پردازیم و در پایان این فصل با بیان چند مثال نشان می دهیم که حلقه زیر بولی لزوما بولی یا حتی جابجایی نیست و همچنین تعریف حلقه زیر بولی در قضایای بیان شده یک شرط اساسی است . در فصل سوم، حلقه های نیم پریودیک را تعریف می کنیم و با بیان و اثبات قضایایی به بررسی خاصیت جابجایی در حلقه های نیم پریودیک می پردازیم.

چکیده تاریخ زیبا و خارق العاده ی وجود هندسه در طبیعت و همچنین تاریخ سیر تحولات این شاخه ی زیبای ریاضیات به عنوان علم هندسه که در اثر نیاز بشر در جهت ساخت مکان و فضا، ابزار دقیق، و بسیاری از نیازهای جامعه بشری تا به امروز موضوعی است که بسیاری از مورخین ریاضی و ریاضی دانان بدان اشاره کرده اند. در این پایان نامه نیز سعی برآن شده است که، به طور کلی تاریخ وجودی هندسه، و همچنین سیرتحولات آن به عنوان علم هندسه بررسی شود، و به طور متمرکز و جزئی تر،هندسه تصویری(هم به صورت کلاسیک و هم به صورت مدرن آن) مورد تحقیق و نگارش قرارگرفته است. همچنین کاوش درصفحه یpg(2,qروی میدان های گالوا به عمل می آید. نهایتاً برخی ساختارهای مربوطه مانند k-کمانها و ساختارهای جبری آنها نیز بررسی می شود. در بخشی از این پایان نامه نیز به معرفی زیبایی شناختی در پدیده های هندسی تئوری تایلینگ (مفروش سازی) راجر پن رز می پردازیم. و نمونه هایی از کاربردهای هندسه در هنر و معماری را نیز ارائه می دهیم.

در این تحقیق کدها با قابلیت شناسایی مبدأ، یا کدهای ipp، که جهت حفاظت از اطلاعات دیجیتال در مقابل سرقت و تولید نسخه های غیر مجاز ساخته شده اند معرفی و مورد بررسی قرار می گیرند. برای این منظور دو روش صریح جهت ساخت این کدها با استفاده از تکنیک های بازگشتی ارایه می شود. در روش اول این کدها به صورت مستقیم ساخته شده و معرفی می گردند حال آنکه در روش دوم از مفهوم خانواده های درهم ساز کامل استفاده خواهیم کرد. کدهای ساخته شده در روش اول دارای بهترین رفتار مجانبی در مقایسه باسایر کدهای ساخته شده توسط دیگران بوده و در حالت کلی قادر به ردیابی سرقت با زمان اجرای o(m) هستند که m برابر با تعداد کد کلمه ها است. کدهای ساخته شده در روش دوم نیز پارامترهای وسیعی از کدهای ipp را پوشش می دهند.

بررسی طیف گراف ها، ابزاری جهت بررسی گراف ها از دیدگاه جبری است. گراف های ds گراف هایی هستند که هیچ گراف غیر یکریخت دارای طیف ماتریس مجاورت یکسان با آنها نباشد. در این پایان نامه به بررسی خانواده گراف های و پرداخته و تحقیق می کنیم که آیا این گراف ها ds هستند یا خیر. در ضمن طیف ماتریس لاپلاسین گراف ها را تعریف و یکتایی گراف ها را تحت طیف ماتریس لاپلاسین بررسی می کنیم و نشان می دهیم که گراف و چه موقع تحت طیف ماتریس لاپلاسین به طور یکتا مشخص می شوند. مقالات مورد بررسی در این پایان نامه شامل مقالاتی می باشند که به بررسی ویژگی های طیفی گراف های مربعی [spectral characterization of some cubic graph, 2012] و گراف هایی که با طیف شان مشخص می شوند [some graphs determined by their spectra, xiaoling zhang, heping zhang, 2009] می پردازند.

فرض کنید g=(v,e) یک گراف همبند غیرجهتدار و c?v یک زیرمجموعه از رئوس باشد. اگر به ازای هر رأس v?v، مجموعه¬های n_g [v]?c غیرتهی و متفاوت باشند، آنگاه c را یک کدشناساگر می نامیم. در ادامه ویژگی های اساسی کدهای شناساگر را بررسی خواهیم کرد، یک کران بالا برای کدشناساگر مینیمم ارائه خواهیم داد و گراف هایی که این کران را بدست می دهند، بررسی خواهیم کرد. همچنین سیستم های نظاره گر در گراف را معرفی می کنیم، که یک توسیع از کدهای شناساگر است. مجموعه متناهی x را در نظر بگیرید، فرض کنید s یک خانواده از زیرمجموعه های x باشد و همچنین فرض کنید مجموعه ی معین s?x عضوی از s باشد. برای x?x، s-مجموعه شناساگر یا s-برچسب را به صورت زیر تعریف می¬کنیم: l_s (x)={s?s?x?s}s را یک سیستم شناساگر می¬نامیم هرگاه به ازای هر x?x، l_s (x) ها غیرتهی و دوبه¬دو مجزا باشند. گراف g=(v,e) را در نظر بگیرید. مجموعه متناهی w={w_1,w_2,…,w_k }، مجموعه¬ای از دوتایی های w_i=(v_i,z_i) است به گونه¬ای که v_i یک رأس و z_i?n_g [v_i] است. w را یک سیستم نظاره¬گر در g گوییم، اگر {z_1,z_2,…,z_k } یک سیستم شناساگر باشد. همچنین در ادامه ویژگی های اساسی سیستم¬های نظاره گر را بررسی خواهیم کرد، یک کران بالا برای سیستم نظاره گر مینیمم ارائه خواهیم داد و گراف هایی که این کران را بدست می دهند، بررسی خواهیم کرد.