قضیه ی کلاسیک باناخ-استون صورت کلی طولپاهای خطی پوشا بین فضاهای توابع پیوسته بر یک فضای فشرده و هاسدورف را مشخص می کند. هدف ما بیان صورت لیپ شیتس قضیه های جریسن و کمبرن بین این فضاها در حالت برداری است. در این پایان نامه شرح کاملی از طولپاهای خطی بین فضاهای توابع لیپ شیتس برداری مقدار را بیان و ثابت می کنیم. نشان می دهیم هر طولپای خطی بین این فضاها را می توان برحسب یک نگاشت لیپ شیتس و نگاشت لیپ شیتس پوشا تعریف کرد. به علاوه،اگر طولپای خطی پوشا باشد آن گاه می توان آن را برحسب یک نگاشت لیپ شیتس و یک همسان ریختی لیپ شیتس بیان کرد. همچنین، درون ریختی های ریس و شبه فشرده روی جبرهای لیپ شیتس اسکالر مقدار را مطالعه می کنیم و کران پایینی برای شعاع طیفی برای شعاع طیفی اساسی درون ریختی های یکال روی جبرهای لیپ شیتس به دست می آوریم.

دستگاه متعامد کامل در بسیاری از مباحث آنالیز ظاهر می شود. در این پایان نامه همگرایی با نرم وزن دار بسط سری فوریه-دانکل نسبت به این دستگاه مورد بررسی قرار می گیرد. شرایطی روی وزن ها برحسب رده های ماکن هوپت قرار داده می شود تا این همگرایی را برقرار کند. شرط های لازم نیز مورد مطالعه قرار می گیرند که برای رده ی وسیعی از وزن ها کافی نیز هستند.تبدیل های دانکل تعمیم تبدیل های فوریه اند که در این پایان نامه مورد بحث قرار می گیرند.

در این رساله به مطالعه جبرهای لیپ شیتس برداری مقدار می پردازیم. در آغاز، فضای مشخصه و مرز شیلوف جبرهای لیپ شیتس با مقادیر در جبرهای باناخ را بدست می آوریم. سپس به معرفی و مطالعه جبرهای لیپ شیتس چندجمله $a$-مقدار روی زیرمجموعه فشرده $k$ در صفحه ( که توسط چندجمله ای های $a$-مقدار روی $k$) تولید شده اند می پردازیم. سپس عملگرهای ترکیبی وزن دار روی فضاهای لیپ شیتس برداری مقدار را مورد مطالعه قرار داده و شرایط لازم و کافی برای فشردگی آنها را بررسی میکنیم. همچنین نشان میدهیم همه عملگرهای جداساز روی فضاهای لیپ شیتس برداری مقدار کوچک عملگرهای ترکیبی وزن دار هستند. در آخر، به بررسی شرایط لازم و کافی برای کرانداری عملگرهای ترکیبی وزن دار روی فضاهای زیگموند گونه پرداخته و نرم اساسی آنها را تقریب میزنیم.

فرض کنیم x و y فضاهای باناخ ابربازتابی و (b(x و (b(y به ترتیب جبرهای باناخ عملگرهای خطی و کراندار روی x و y باشند. اگر (p? b(x) -> b(y یک نگاشت خطی و دوسویی تقریباً حافظ طیف باشد، در این صورت p یک عملگر تقریباً ضربی یا یک عملگر تقریباً پادضربی است. علاوه براین، اگر y = x یک فضای هیلبرت تفکیک پذیر باشد، چنین نگاشتی اختلال کوچکی از یک خودریختی یا یک پادخودریختی خواهد شد. همچنین، پیوستگی خودکار چنین نگاشت های مورد مطالعه قرار می گیرد. به علاوه، با بررسی پیوستگی خودکار نگاشت های خودکار تقریباً ژوردان ضربی یک صورت تقریبی از قضیه کلاسیک هرشتاین ارائه می شود.

این رساله در زمینه برخی عملگرهای خطی خاص بر جبرهای لیپ شیتس تدوین شده است. در فصل اول برخی از مطالب اساسی مورد نیاز در فصل های بعد ارائه خواهد شد. هم چنین نمادهای استاندارد مورد استفاده در این رساله معرفی می شوند. فصل دوم به بررسی عملگرهای ترکیبی روی جبرهای لیپ شیتس اختصاص دارد. در واقع موضوع مورد بحث در این فصل بررسی تاثیر خواص نگاشت ? بر ویژگی های عملگر ترکیبی القاشده توسط ? و عکس آن است. نتایج ارائه شده در این فصل در مورد عملگرهای ترکیبی شبه فشرده و ریس روی جبرهای لیپ شیتس است. موضوع مورد بحث در فصل سوم عملگرهای ترکیبی وزن دار روی جبرهای لیپ شیتس است. این فصل ابتدا به بررسی ویژگی های نگاشت های ? و u می پردازد که یک عملگر ترکیبی وزن دار روی جبرهای لیپ شیتس تعریف می کنند. سپس خاصیت هایی در مورد نگاشت های u و ? مطرح می شود که با یک به یک بودن یا پوشایی عملگر ترکیبی وزن دار تعریف شده توسط آن ها روی جبرهای لیپ شیتس هم ارز است. پس از آن یک شرط لازم و کافی برای فشردگی عملگرهای ترکیبی وزن دار روی جبرهای لیپ شیتس به دست می آید. در انتها یک کران پایین برای نرم اساسی عملگرهای ترکیبی وزن دار روی جبرهای لیپ شیتس ارائه می شود. فصل چهارم به بحث در مورد عملگرهای خطی از یک فضای باناخ به جبر لیپ شیتس اختصاص دارد. در واقع در این فصل به بررسی شرط های در خصوص خوش تعریفی، کران داری، فشردگی و فشردگی ضعیف این قبیل عملگرها می پردازیم. به علاوه در انتها یک کران پایین برای نرم اساسی چنین عملگرهایی تعیین می شود. پیش از این درون ریختی ها (عملگرهای ترکیبی) و عملگرهای ترکیبی وزن دار روی جبرهای لیپ شیتس مورد مطالعه قرار گرفته اند که برخی از آن نتایج از مطالب به دست آمده در این فصل قابل استنتاج است.

فرض کنیم[0،1) ? ? و e یک فضای باناخ و (x, d) یک فضای متریک موضعا فشرده باشد وlip0(x، e) فضای توابع لیپ شیتس کوچک e- باناخ مقدار تعریف شده بر فضای متریک هولدر موضعا فشرده( x , d^? )باشد که در بی نهایت صفر می شوند. در این پایان نامه نشان می دهیم، هر دوسویی خطی دوجداساز t:lip0(x,e) ? lip0(y,f)یک عملگر ترکیبی وزن دار به صورت t(f(y))=h(y)(f(p(y))), (f ?lip0(x,e), y ? y) است که در آن به ازای هر y ? y ای h(y)یک دوسویی خطی از e به f است و p یک همسان ریختی پوشا از y به x است. در قسمت های بعدی پیوستگی نگاشت های بین lip0(x,e)و lip0(y,f) را بررسی می کنیم و قضیه ای مطرح شده که در آن با فرض دوجداساز خطی بودن نگاشت t:lip0(x,e) ? lip0(y,f) و با در نظر گرفتن توابع تعریف شده ی p : y ? x و h : y ? l^-1(e,f) سه گزاره ی زیر را نتیجه گیری می کند: ?) t پیوسته است اگر و فقط اگر به ازای هر y ? y ای h(y) پیوسته باشد. ?)اگرt پیوسته باشد آنگاه نگاشت h: (y, d^?) ? b^-1(e,f)یک نگاشت لیپ شیتس موضعی است که در آن b^-1(e,f) با متر حاصل از نرم عملگری (توپولوژی عملگری یکنواخت) در نظر گرفته شده است. ?) اگر t پیوسته باشدآنگاه p همسان ریختی موضعا لیپ شیتس است. از این قضیه نتیجه گیری می شود که اگر e یا f بعد متناهی باشند نگاشت خطی دوجداساز t:lip0(x,e) ? lip0(y,f) پیوسته است. در بخشی دیگر مطرح شده است که اگر x یا y هیچ نقطه تنهایی نداشته باشند نگاشت خطی دوجداساز t:lip0(x,e) ? lip0(y,f) پیوسته است. در نتیجه ای که از این قضیه گرفته شده بیان می شود که اگر x و y فضاهای متریک موضعا فشرده همسان ریخت لیپ شیتس و e یک فضای باناخ بعد متناهی باشد و (0،1) ? ?. در این صورت نگاشت دو جداساز خطی ناپیوسته و پوشای t:lip0(x,e) ? lip0(y,f) وجود دارد اگر و فقط اگر x یا y نقطه تنها داشته باشد.

در این پایان نامه شرح کاملی از نگاشت های خطی دوجداساز بین فضاهای توابع لیپشیتس برداری مقدار ارائه می دهیم و از نتایج آن برای مطالعه پیوستگی خودکار چنین نگاشت هایی و همچنین طولپایی های خطی پوشا روی این فضاها استفاده می کنیم. فضای باناخ همه توابع کراندار و لیپشیتس را فضای لیپشیتس بزرگ تعریف می کنیم و نرم این فضا را نرم مجموع یا ماکزیمم در نظر میگیریم. زیرفضای بسته از این فضا را زیرفضای کوچک لیپشیتس برداری مقدار می نامیم و با همین فضا کار میکنیم.

فرض می کنیم t نگاشتی پوشا از جبر باناخ و جابه جایی نیم ساده واحددار a به روی جبر باناخ جابهجایی واحددار b باشد، که عضو واحد را حفظ می کند و برای هر ?(t(f)t(g))??(fg),g.f?a. در این صورت b نیم ساده است و tیکریختی است. شرط پوشایی t لازم است. به عنوان مثال نگاشتی غیرخطی و غیر ضربی t را از c*-جبر جابه جایی به توی خودش وجود دارد که عضو واحد را حفظ می کند و برای هر f و g در دامنه تعریفش، ?(tftg)=?(fg) . همچنین به عنوان مثالی دیگر می توان نگاشت پوشای t را از –c* جبر جابه جایی به روی خودش ارائه داد که عضو واحد را حفظ می کند و غیر خطی و غیر ضربی است به طوری که برای هر f و g، ?(tgtg)??(fg) . همچنین به عنوان مثالی دیگر می توان نگاشت پوشای t را از –c*جبر جابه جایی به روی خودش ارائه داد که عضو واحد را حفظ می کند وغیر خطی و غیر ضربی است به طوری که برای هر f و g، ?(tftg)??(fg). همچنین فرض می کنیم a و b جبرهای یکنواخت باشند و p(z,w)=zmwn یک تک جمله ای دو متغیره باشد. نگاشت حافظ طیف تک جمله ای مرزی t از زیرمجموعه مشخص a به توی b را چنان تعریف می کنیم که برای هر f و g در دامنه t، ??(p(t((f), t(g)))???(p(f,g)) . علاوه بر این ثابت می کنیم که a و b به عنوان جبرهای باناخ یکریخت و طولپا هستند. اگر بزرگترین مقسوم علیه m و n ، 1 باشد ، آنگاه t به یک یکریختی خطی طولپا یا به عبارتی به یک عملگر ترکیبی وزن دار توسیع می یابد. به عنوان مثال، هرگاه بزرگترین مقسومعلیه m و n اکیدا بزرگتر از 1 باشد، مثالی از یک نگاشت حافظ طیف تک جمله ای مرزی پوشا، بین جبرهای یکنواخت ارائه می شود که نه خطی، نه ضربی و نه یک به یک است . بنابراین نگاشت t نیازی به خطی، ضربی و یک به یک بودن ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

در سال 1967 گلسون و در سال 1968 کاهان و زلاسکو بطور مستقل ثابت کردند که: اگر a یک جبر باناخ جابجایی و یکدار باشد و m یک زیر فضای a که codim(m) آنگاه m یک ایده ال ماکسیمال است ، اگر و تنها اگر m شامل عضو معکوس پذیری نباشد. این قضیه به طور مستقیم ثابت نشد بلکه معادلی برای قضیه فوق بیان شد و با اثبات این قضیه، قضیه اصلی ثابت شد. از همان سالها شرط جابجایی بودن از قضیه فوق برداشته شد هدف فصل اول بیان و اثبات این دو قضیه معادل و ارائه تعمیمی از آنهاست و ارائه شرائطی بجای یکدار بودن جبر که تحت آنها قضیه مذکور درست است . از جمله این شرایط می توان به جبرهای یک مولدی و ... اشاره کرد. فصل دوم با بیان خاصیتی موسوم به p(k,n) شروع می شود هدف فصل دوم مطالعه جبرهائی است که دارای خاصیت فوق هستند که از جمله این جبرها می توان به c(s) و ... اشاره کرد. فصل سوم به مطالعه قضیه گلسون-زلاسکو در جبرهای توپولوژیک می پردازد ابتدا با ارائه مثالی ثابت می شود که این قضیه در حالت کلی برای جبرهای توپولوژیک برقرار نیست ولی می توان شرایطی را ارائه داد که تحت آنها قضیه فوق برای جبرهای توپولوژیک برقرار باشد که از جمله می توان به کراندار بودن طیف هر عضو اشاره کرد.

در این پایان نامه دو موضوع اساسی مورد مطالعه و بررسی قرار می گیرد.1-رابطه بین قسمتهای گلیسون و همومورفیسم های ضعیف فشرده بین جبرهای یکنواخت.2-خواص اساسی از فضای ایده آل ماکسیمال یک جبر باناخ جابجایی با توپولوژی ضعیف به ویژه اگر ‏‎a‎‏ جبر باناخ جابجایی با فضای ایده آل ماکسیمال ‏‎m(a)‎‏ باشد .

این پایان نامه در چهار فصل تنظیم شده است: فصل اول ، مقدمات.فصل دوم، درونریختی روی جبرهای توابع بی نهایت بار مشتقپذیر وفصل سوم، درونریختی روی جبرها.فصل چهارم، درونریختی روی جبرهای لیپشیتس.