در این پایان نامه حلقه های خارج قسمتی (به مفهوم لمبک) زیرجبر c_c(x) از حلقه ی c(x) را بررسی کرده ایم. صورت کلی بزرگترین حلقه ی خارج قسمتی و همچنین حلقه ی خارج قسمتی کلاسیک c_c(x)را به ترتیب بر اساس توابع پیوسته روی مجموعه های باز و چگال و توابع پیوسته روی هم صفر مجموعه های چگال از یک فضای توپولوژی صفر بعدی مشخص نموده ایم. نشان داده ایم که هرگاه s یک مجموعه ی باز و چگال در x باشد، c_c(s) حلقه ی خارج قسمتی c_c(x) است و بزرگترین حلقه ی خارج قسمتی حلقه های اخیر برابرند ولی لزوماً حلقه های کلاسیک آن ها برابر نیست. نشان داده شد که همواره بزرگترین حلقه ی خارج قسمتی و همچنین حلقه ی خارج قسمتی کلاسیک حلقه های c_c(x) و c_c*(x) برابرند. شرایط لازم و کافی برای تساوی حلقه های خارج قسمتی c_c(x) با هم و به ویژه تساوی این گونه حلقه ها با خود c_c(x) ارائه شده اند. برای پایه ی پالایه ای sاز مجموعه های باز چگال x ، حلقه ی c_c[s] را که خود حد مستقیم حلقه هاست، به یک فضای متری تبدیل نمودیم و تتمیم آن را در حالت های خاص برای s، که یکی از آن حالات q_c(x)، بزرگترین حلقه ی خارج قسمتی c_c(x) است، مشخص نموده ایم. در ادامه نشان دادیم که فضاهای ایدآل های ماکسیمال حلقه های c_c[s]، و c_c*[s] فضاهایی نرمال و در حقیقت همسان ریخت هستند. همچنین در این پایان نامه نشان داده شد که هرگاه s و t پایه های پالایه ای باشند به طوری که t شامل s باشد وc_c*[s] در c-c*[t] چگال باشد، آن گاه فضاهای ایدآل های ماکسیمال حلقه های c_c*[s]، و c_c*[t] فضاهایی همسان ریخت می باشند. در فصل آخر از این پایان نامه،حلقه های نرم دار شامل c_c*(x) و همچنین نرم های پایا روی این گونه حلقه ها مظالعه شده اند.

برای یک ایده آل اول ‏‎p‎‏ در یک حلقه r تعریف میکنیم چندین نویسنده ، نمایش هایی از حلقه هایی که فاکتور آنها به صورت ‏‎r|o(p)‎‏ است ، بدست آورده اند. همچنین در یک حلقه تعویض پذیر یک ایده آل اول مینیمال ‏‎p‎‏ به عنوان یک ایده آل اول ‏‎p‎‏ به طوری که ‏‎p=o*-(p)‎‏ مشخص شده است. در این پایان نامه شرایطی را مطرح می کنیم که برای ایده آل ‏‎p‎‏ تساوی‏‎p=o*-(p)‎‏ را تضمین می کنند. خاصیت ‏‎p=o*-(p)‎‏ برای بدست آوردن شرایطی که معین می کنند حلقه ‏‎r|o(p)‎‏ ایده آل اول مینیمال یکتا دارد ، بکار گرفته می شود. با افزودن شرایطی ‏‎o(p) , o*-(p)‎‏ را تعمیم میدهیم . برای تشریح و تحدید نتایج مان مثالهایی مطرح و اثبات می شوند.