مطالعات مربوط به نظریه ی خاصیت نقطه ی ثابت تقریبی ضعیف در فضاهای برداری توپولوژیک، [2]، توسط باروسو در سال (2009) آغاز شده است و خاصیت نقطه ی ثابت تقریبی ضعیف برای زیرمجموعه های محدب به طور ضعیف فشرده از فضاهای باناخ اثبات گردیده است. پس از آن باروسو و پی-کی-لین، [3]، در سال (2010) به بررسی این موضوع برای مجموعه های محدب، بسته و کراندار کلی از فضاهای باناخ و البته بیشتر با تاکید بر جنبه های هندسی آن پرداخته اند. پی-کی-لین و باروسو ثابت کردند که فضاهای اسپلاند دارای خاصیت نقطه ی ثابت تقریبی ضعیف می باشند. مطالب این تحقیق در راستا و ادامه ی کار نویسندگان مذکور است. بدین ترتیب که با معرفی یک مفهوم جدید در یک فضای باناخ مانند x، تحت عنوان l1-دنباله ها و هم چنین تعریف نگاشتی که در نگاه اول بسیار ساده به نظر می رسد، متناظر با هر l1-دنباله، شروع به کار می کنیم و در نهایت ارتباط جالبی را به صورت یک شرط لازم و کافی برای اینکه فضای باناخ x دارای خاصیت نقطه ی ثابت تقریبی ضعیف باشد و اینکه یک کپی یکریخت با l1 را شامل نباشد، برقرار می کنیم. در نهایت سعی می کنیم تا نتایج نقطه ی ثابتی را برای فضاهای باناخ به دست آوردیم، ابتدا به فضاهای برداری توپولوژیک موضعا محدب مترپذیر و سپس برای برخی از فضاهای برداری توپولوژیک موضعا محدب مترناپذیر تعمیم دهیم.