شرایطی که تحت ان یک میدان برداری مسطح چندجمله ای درجه دوم ، دارای یک مرکزباشد ، ازآغازقرن اخیرشناخته شده است.(دولاک(1908) و کاپتیئن(1912))، درفضای همه دستگاههای معادلات درجه دوم، دستگاههایی بایک مرکز،اجتماعی ازچهارمجموعه جبری مسطح تحویل ناپذیر تشکیل می دهند: ?هامیلتونی ; ?برگشت پذیر ?تعمیم یافته لوتکا-ولترا ; ?مجموعه همبعدچهار که دران اندیس های پایینی،همبعد هر زیر مجموعه جبری رامشخص می کند، طبقه بندی بالا،صرفا مربوط به مراکز این مجموعه هاست.برخی ازدستگاههای درجه دو،دارای دومرکزهستند مثلا یکی از انها و دیگری است.در پایان نامه حاضر ما به بیشینه تعداد چرخه های حدی که از مسیرهای تناوبی یک دستگاه درجه دو با یک مرکز، پس از یک اختلال کوچک معادله درجه دوم ناشی می شود، علاقمند هستیم.این عدد برابر با دوره تناوب ناحیه حلقوی باز است.به مرکزیک معادله درجه دو ،عمومی گفته می شود اگر همزمان به دو مجموعه جبری بالا متعلق نباشد.دوره تناوب ناحیه حلقوی بایک مرکز عمومی، به تعداد صفرهای تابع اولیه پوانکاره-پانتری جین- ملنیکو وا بسته می شود، در حا لیکه درحا لت کلی، به یک تجزیه و تحلیل مرتبه بالاتر نیاز هست. قضیه1. دوره تناوب برای مرکزازمحیط ناحیه حلقوی باز از هردستگاه درجه دو مسطح همبعدچهار عمومی،کمتریا مساوی هشت است. فرض می کنیم ، s فضای جوابهای یک معادله دیفرانسیل تحلیلی خطی مرتبه دوم (1) روی بازه باز باشد. گزاره1.فضای جواب s از (2)، یک فضای چبیشف روی بازه است، اگر و فقط اگر یک جواب هیچ کجا صفر وجود داشته باشد. گزاره2. فرض می کنیم فضای جواب معادله همگن (2 )، یک فضای چبیشف باشد و r یک تابع تحلیلی خطی روی دارای k صفر (با محاسبه تعداد دفعات تکرار) باشد. انگاه هر جواب ازمعادله غیر همگن حداکثر k+2 صفر روی دارد. تابع مولد i(t)،که تعداد صفرهای ان باتعداد چرخه های حدی دردستگاه های مختل شده مطابقت می کند ، توسط انتگرا ل بیضوی کامل زیرداده می شود: هدف اصلی ما دراین پایان نامه، مطالعه تعداد صفرهای انتگرال i(t)است که درفاصله بازمنطبق بردوره تناوب چنبره ،حول (1,0) می تواند داشته باشد.