در این پایان نامه به بررسی مساله ماکزیمم جریان تعمیم در شبکه تعمیم یافته پرداخته ایم. شبکه تعمیم یافته می تواند دارای یال هایی باشد که در آن ها لزوما میزان ورودی و خروجی جریان برابر نیست. در حقیقت در این نوع شبکه متناظر با هر یال، علاوه بر کران بالای ظرفیت، پارامتر دیگری به نام ضربگر یال به عنوان ورودی شبکه داده می شود که این پارامتر تعیین کننده ی میزان تغییر جریان در یال متناظرش است. به بیانی دیگر، در این نوع شبکه های عواملی چون تغییر و تبدیل باعث پدیدار شدن ضربگر می شوند.هدف از مساله ماکزیمم جریان تعمیم یافته، پیدا کردن جریانی است که ماکزیمم مقدار جریان را به گره مقصد می رساند بطوریکه قید ظرفیت در تمامی یال ها و شرط بقای جریان در تمام گره ها به جز گره مقصد برقرار بشد. در ادامه جدیدترین روش های حل این مساله را مورد بررسی قرار داده ایم که به طور خاصر، الگوریتم رسترپو و ویلیامسون را که به طور تکراری مسیرهای فزاینده تعمیم یافته با هزینه منفی را حذف می کند، مفصلا معرفی کرده ایم. علاوه بر این، این پایان نامه شامل توضیح مختصری از سه الگوریتم به نام های ترامپر، فرستادن پیش جریان، و مسیر پرمایه است. سپس با معرفی روشی خاص موسوم به مقیاس بندی ضربگرها و به کارگیری آن برای سه الگوریتم اشاره شده، بهبود در زمان اجرای آن ها را نشان می دهیم.

دستگاه ax=b را در نظربگیرید که در آن a یک ماتریس تنک بزرگ و معین مثبت غیر هرمیتی است. هدف از انجام این پایان نامه معرفی روش تکراری شکاف نرمال و هرمیتی اریب و بیان تعمیم های آن است که مبتنی بر ایجاد یک شکاف نرمال و هرمیتی اریب در ماتریس ضرایب می باشد. روش تکراری hss که مبتنی بر ایجاد شکاف هرمیتی و هرمیتی اریب در ماتریس ضرایب است اولین بار در سال 2002 برای حل دستگاههای خطی غیر هرمیتی و معین مثبت ax=b توسط بای، گلوب و انجی مطرح شد. در سال 2007 بای، گلوب و انجی تکنیک ساخت روش تکراری hss را به روش تکراری nss تعمیم داده و یک طرح تسریع sor برای روش تکراری nss مطرح کردند. در سال 2008 طرح تسریع sor تعمیم یافته (gsor) برای روش تکراری nss توسط منگ و وو ارائه گردید. در این پایان نامه به بررسی روشهای تکراری hss و nss پرداخته و شرایط همگرایی و نحو? پیاده سازی آنها را مورد بررسی قرار خواهیم داد و سپس طرحهای تسریع sor و gsor را برای روشهای hss/nss استفاده خواهیم کرد و با مثال عددی به بررسی کارائی این طرحهای تسریع و مقایسه آنها خواهیم پرداخت و در پایان روش متفاوت دیگری جهت تسریع روش تکراری nss به کار می گیریم، که روش تکراری anss نامیده می شود و با مثال عددی نشان می دهیم که روش anss بهتر و یا حداقل به خوبی روش nss عمل می کند.

روشهای زیرفضای کریلف انعطاف پذیر رده ای از روشهایی هستند که در آنها پیش شرط می تواند از گامی به گام دیگر تغییر کند. برای یک روش زیرفضای کریلف همانند cg، gmres، qmr و غیره، به منظور حل دستگاه خطی می توانیم به جای این که از یک پیش شرط ثابت مانند m استفاده کنیم و دستگاه معادلات خطی پیش شرط سازی شده را حل کنیم، در هر گام از یک ماتریس متفاوت مانند به عنوان پیش شرط استفاده کنیم. در این پایان نامه موردی که پیش شرط خود یک روش زیرفضای کریلف است، مورد بررسی قرار می گیرد. نسخه های انعطاف پذیر روشهای cg، gmres، bicg، qmr و bi-cgstab ارائه داده می شوند. نظریه این روشهای زیرفضای کریلف انعطاف پذیر را توسعه داده و الگوریتمهای انعطاف پذیر آنها را شرح می دهیم. برای این روشهای انعطاف پذیر مثالهای عددی شامل چندین ماتریس معین و نامعین انجام می شوند. این مثالها قابل اجرا بودن روشهای انعطاف پذیر را نشان می دهند.

: روش gmres یک روش تکراری برای حل دستگاه معادلات خطی ax=b است. به علت هزینه متعامد سازی یا محدود بودن ذخیره سازی ممکن است نیاز به شروع مجدد باشد. در حالت کلی، شروع مجدد موجب کند شدن همگرایی روش gmres می گردد. در این پایان نامه روش هایی مورد بررسی قرار می گیرند که همگرایی روش gmres با شروع مجدد را بهبود می بخشند. این روش ها، در زمان شروع مجدد، تعدادی از بردارهای ریتز همساز را حفظ می کنند و با کاهش اثر مقادیر ویژه کوچک همگرایی روش را بهبود می بخشند. همچنین روش gmres بلوکی که برای حل دستگاه معادلات خطی بزرگ با چند طرف ثانی به کار می رود، مورد بررسی قرار می گیرد. ثابت می شود که در روش های بلوکی کاهش مقادیر ویژه کوچک اهمیت ویژه ای می تواند داشته باشد. با پیاده سازی الگوریتم ها به صورت سری و موازی نشان می دهیم که روش های کاهش یافته ویژگی های عددی بهتری دارند، به ویژه اگر دقت بالایی برای جواب مورد نظر باشد. نتایج عددی ارائه شده اند تا نتایج تئوری را مورد تایید قرار دهند.

در این پایان نامه به بررسی روش های عددی برای حل معادلات ریکاتی جبری بزرگ در حالت پیوسته – زمانی و گسسته – زمانی می پردازیم. روش های ارائه شده روش های تصویری به روی زیر فضاهای کریلف هستند. از فرآیندهای آرنولدی جامع، آرنولدی بلوکی و آرنولدی بلوکی توسعه یافته برای ساختن یک پایه یکا متعامد متناظر با زیرفضای کریلف استفاده می کنیم و سپس جواب های تقریبی با بعد پایین را از زیر فضای کریلف استخراج می کنیم. برای هر روش نتایج نظری مانند کران بالا برای نرم مانده به دست آمده اند. چند مثال عددی برای مسائل بزرگ و تنک ارائه شده اند. آزمون های عددی کارایی روش آرنولدی بلوکی توسعه یافته را نسبت به دیگر روش ها نشان می دهند.

در این پایان نامه یک روش عددی موسوم به روش ماتریسی بسل برای تقریب زدن جواب معادلات دیفرانسیل-انتگرال ولترا و فردهولم-ولترا خطی از مرتبه بالا تحت شرایط مخلوط مورد بررسی قرار گرفته است. این روش با استفاده از چندجمله ای های بسل و روش هم محلی معادله دیفرانسیل-انتگرال را به یک معادله ماتریسی تبدیل می کند. معادله ماتریسی متناظر با یک دستگاه معادلات خطی با ضرایب مجهول بسل است. بعلاوه روش ماتریسی بسل برای تقریب زدن جواب دستگاه معادلات انتگرالی ولترا، دستگاه معادلات دیفرانسیل-انتگرال فردهولم خطی از مرتبه بالا و رده ایی از معادلات دیفرانسیل-انتگرال با هسته منفرد به طور ضعیف نیز به کار برده می شود. زمانی که جواب دقیق مسأله به صورت چندجمله ای باشد روش ماتریسی بسل جواب دقیق را ارائه می دهد، در غیر این صورت با استفاده از روش ماتریسی بسل یک جواب تقریبی با دقت بالا به دست خواهد آمد.

پیشرفت های اخیر در محاسبات سطح بالا‏، ‏شرایط مناسبی را برای بهبود سرعت و کیفیت محاسبات علمی فراهم می کند. یکی از این پیشرفت ها‏، واحد ‎‎‏پردازنده ‎ گرافیکی (gpu)‎ قابل برنامه نویسی ‏است. ‎gpu‏ پردازنده ای با تعداد هسته های زیاد و ‎‎‏پهنای باند بسیار بالا می باشد و ‎‏برای انجام محاسبات داده موازی مانند محاسبات ماتریسی که در آن ها یک دستور برروی چندین داده اعمال می شود‏، مناسب است. ‏توموگرافی لرزه ای به ویژه در مقیاس های بزرگ‏، ‎‎‏پردازشی زمان بر است‏، چرا که نیازمند‏ ‎انجام‎ محاسبات برروی حجم بالایی از داده هاست. به کارگیری ابزار و ایده های موازی می تواند در بهبود سرعت محاسبات توموگرافی موثر باشند. الگوریتم های lsqrو ‎lsmr‎ ‏شامل چندین ضرب ماتریس در بردار می باشند‏، از این رو برای اجرا برروی ‏gpu مناسب هستند. در‎‎ مطالعه حاضر با به کارگیری مدل برنامه نویسی موازی‏ cuda‏ و ‎‎اجرای‎ محاسبات ماتریسی برروی gpu‏‏، سرعت‎ محاسبات افزایش یافت.‎ lsqr،‎‎‏ الگوریتمی رایج برای معکوس سازی در توموگرافی لرزه ای به شمار می آید. در توموگرافی لرزه ای محاسبه ماتریس های تفکیک داده و مدل نیازمند در اختیار داشتن معکوس تعمیم یافته است‏، این در حالی است که در الگوریتمlsqr ‎‎‎‏ معکوس تعمیم یافته به صورت صریح محاسبه نمی شود‏، با این وجود در برخی از مطالعات روش هایی برای محاسبه ماتریس تعمیم یافته ‏الگوریتم lsqr‎ ارائه شده اند‏، اما برخی از این روش ها نادرست و یا غیرقابل کاربرد هستند. در این مطالعه روشی جدید برای محاسبه معکوس تعمیم یافته تقریبی و ماتریس تفکیک ارائه شده است که امکان استفاده از الگوریتم های تکراری از جمله ‎lsqr‏‏، ‎lsmr‎‎‎‎‎ ‏و غیره در آن وجود دارد. ما با استفاده از ایده ‎‎mapreduce محاسبات را بین پردازنده ها توزیع کردیم. به دلیل اینکه روش ما شامل محاسبات سنگین ماتریسی است برای ‎‎‏پیاده سازی برروی خوشه هایی ازgpu ‏ یا‎multi-‎gpu ‎‎‏ مناسب است.