همچنین، قضایایی در مورد وجود مماسی هموکلینیک و وجود پدیده نیوهاس در (diff^2(m را بیان می کنیم.علاوه بر این، ثابت می کنیم برای یک زیرمجموعه مانده ای r از (diff^1(m و هر مجموعه زنجیری ترایا k از f ? r، یا روی k یک تجزیه تسلطی وجود دارد، یا k در حد هاسدورف یک دنباله از جاذب ها یا دافع های تناوبی از f مشمول است. سرانجام نشان می دهیم که یک زیرمجموعه مانده ای (r ? diff^1(m از دیفیومورفیسم f وجود دارد به طوری که، یا مجموعه غیر سرگردان (?(f به تعداد متناهی از مجموعه های f - پایای فشرده دو به دو جدا از هم تجزیه می شود که هر کدام تجزیه تسلطی دارند، یا تعداد نامتناهی جاذب یا دافع تناوبی از f وجود دارد.

یک معادله دیفرانسیل پاره ای، معادله ای است که رابطه ای بین یک تابع مجهول با دو یا چند متغیر مستقل و مشتقات جزئی آن تابع نسبت به آن متغیرها بیان می کند. یک مسأله مقدار مرزی، یک معادله دیفرانسیل است همراه با یک مجموعه از محدودیت ها به نام شرایط مرزی. حل یک معادله دیفرانسیل، یعنی یافتن تابعی که در آن معادله و شرایط مرزی آن صادق باشد. مسائل مقدار مرزی در بسیاری از شاخه های علم فیزیک کاربرد دارند. برای مثال مسائل شامل معادله ی گرما یا معادله ی موج اغلب به صورت مسائل مقدار مرزی بیان می شوند. ما در این پایان نامه به بررسی وجود و یکتایی جواب مسأله ی کوشی برای معادلات دیفرانسیل پاره ای در فضاهای باناخ می پردازیم. به طور خاص ثابت می کنیم اگر‎‎$e$‎‎ فضایی باناخ باشد، در این صورت برای توابع هموار ‎‎$e$‎‎ -مقدار ‎‎$‎f(x ‎, t‎)$‎‎ و ‎‎$‎‎varphi_0(x), varphi_1(x), ‎ldots, ‎varphi_{k-‎1}(x)$‎‎ که $t‎ in bbb r$ و ‎$‎x‎‎‎ in bbb ‎r^n$‎‎‎‎ مسأله ی زیر جواب یکتا دارد:‎‎ ‎[‎ ‎d_t^k‎ u(t , x) + sum_{j=0}^{k-1} ‎‎sum_‎{| alpha|=0‎}^infty a_{j, alpha} d_t^j d_x^alpha u(t , x) = f(t , x) ]‎ [ ‎d_t^j‎ u(0 , x) = ‎‎v‎arphi_j(x)‎ quad quad (j=0 , ldots , k-1) ]‎ در اینجا ضرایب ‎‎$a_{j‎ , alpha}$‎ عملگر های خطی و کران دار روی ‎‎$e$‎‎ هستند. ‎‎

در این پایان نامه به مطالعه ی این مطلب می پردازیم که، در حالت کلی، معادلات بیضوی مراتب بالاتر و مسائل مقدار مرزی، نظیر معادله دو-همساز یا مسا?له مقدار مرزی صفحه ی مقید خطی، نه در اصل ماکزیمال و نه در اصل مقایسه (پایداری خاصیت مثبت بودن) صدق می کنند. مسئله ای که بیشتر مورد بحث است عبارت است از اینکه، شرط مرزی مقید مانعی می شود برای اینکه آن را بتوان بصورت یک دستگاه از مسائل مقدار مرزی درجه دوم نوشت. از طرف دیگر، تابع گرین دو-همساز در گوی هایb?r^n تحت شرایط مرزی دیریکله (مقید)، بصورت صریح و مثبت است. اگر n=2 باشد، این ویژگی تحت نوسانات منظم کوچک از دامنه پایدار است. تلاش ما در این پایان نامه این است که پایداری چنین نتیجه ای را برای n?3 مورد بررسی قرار دهیم

در این پایان نامه به مطالعه ی وجود‏، یکتایی‏، رفتار مجانبی و ویژگی های کیفی جواب های شعاعی از معادله ی دو - همساز فوق بحرانی ‎‏، می پردازیم‏ابتدا یادآوری می کنیم که معادله ی فوق بحرانی درجه دو متناظر با معادله ی فوق به طور کامل مطالعه شده است‏. ا برای بررسی جواب ها از روش پرتابی استفاده می کنیم که از مشتق دوم به عنوان پارامتر استفاده می کند

اگر‎ پیشینه دمایی در سطح یک جسم معلوم باشد، در این صورت توزیع دمایی را در کل جسم می‎mbox{}‎توان محاسبه کرد. چنین مساله‎mbox{}‎ای در اصطلاح یک مساله مستقیم‎lt‎rfootnote{direc‎t ‎proble‎m‎‎}‎‎‎‎ ‎‎نامیده می‎mbox{}‎شود. اما در بسیاری از موارد نیاز داریم که پیشینه دمایی سطح جسم را از روی دمای اندازه‎mbox{}‎گیری شده در یک یا چند نقطه درون جسم تعیین کنیم؛ در این صورت این یک مساله معکوس‎ltrfootnote{invers‎e ‎problem‎‎}‎‎‎‎ خواهد بود. به خصوص در طول چند دهه گذشته حالت خاص تقریب زدن شرایط سطحی با استفاده از اندازه‎mbox{}‎گیری‎mbox{}‎های داخلی به عنوان مساله هدایت حرارتی معکوس‎ltr‎footnote{invers‎e ‎hea‎t ‎conductio‎n ‎problem‎ ‎‎‎(ihcp)}‎‎‎‎ شناخته شده است. مسایل معکوس متعددی وجود دارند، اما تنها این مساله خاص به این صورت نامگذاری شده است و در واقع موضوع اصلی این نوشتار نیز هست. جواب دادن به مساله هدایت حرارتی معکوس به صورت آنالیزی بسیار سخت‎mbox{}‎تر‎ از مساله مستقیم است. اما مساله مستقیم موانع دست و پاگیر آزمایشگاهی بسیاری را برای اندازه‎mbox{}‎گیری و مهیا کردن شرایط محیطی فراهم می‎mbox{}‎آورد. از آن جمله اینکه موقعیت فیزیکی سطح جسم برای نصب سنسور حرارتی، یا به عبارتی ترموکوپل، مناسب نیست، به این معنی که، دقت انداره‎mbox{}‎گیری‎mbox{}‎های انجام شده توسط سنسور در سطح جسم، بسیار پایین است و محاسبات را به شدت نامطمئن می‎mbox{}‎کند. زیرا شرایط محیطی در اطراف سطح جسم بر این اندازه‎mbox{}‎گیری‎mbox{}‎ها تاثیر خواهد گذاشت. لذا بهتر است که پیشینه دمایی را با دقت بالا، در مکانی داخل جسم یا بر روی سطحی که عایق‎mbox{}‎کاری شده، اندازه بگیریم. بنابراین ما ناچاریم که بین اندازه‎mbox{}‎گیری نادقیق یا یک مساله سخت‎mbox{}‎تر از نظر آنالیزی یکی را انتخاب کنیم. یک جواب دقیق برای مساله معکوس مهار شده، می‎mbox{}‎تواند تاثیر هر دوی این اشکالات را با هم کم کند. مساله هدایت گرمایی معکوس را به این صورت تعریف می‎‎mbo‎x{}‎کنیم: ihcp عبارت است از، تقریب پیشینه دمایی سطحی یک جسم رسانای حرارتی، که پیشینه دمایی یک یا چند نقطه درون آن اندازه‎mbox{}‎گیری شده است.

در‎‎‎‎‎‎‎ این پایان نامه به کمک الگوریتم ژنتیک به حل چندین مسأله ی هدایت گرمایی معکوس خواهیم پرداخت. نتایج نشان می دهد که یک تقریب خوب برای جواب، با پیاده سازی الگوریتم ژنتیک سریال در یک پردازنده ی تک هسته ای با سرعت ساعت 2.4 گیگا هرتز و الگوریتم ژنتیک موازی در یک پردازنده ی 16 هسته‎‎ ای با سرعت ساعت 2.4 گیگاهرتز برای هر کدام به دست می آید.

در این پایان نامه قصد داریم به کمک مشتق تعمیم یافته دو رده از مسائل مربوط به معادلات دیفرانسیل فازی را مورد بررسی قرار دهیم که عبارتند از: ‎1. حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول فازی به کمک فرمول تغیراتی ثابت ‎2.بررسی وجود جواب مسأله مقدار مرزی برای معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم فازی در واقع با استفاده از مفهوم مشتق تعمیم یافته جواب های جدیدی را که منطبق بر رفتار واقعی سیستم های وابسته به این معادلات دیفرانسل هستند معرفی خواهیم کرد .

در این پایان نامه معادله موج ویسکوالاستیک همراه با یک جمله جاذب و یک جمله تعدیل کننده وابسته به مکان و زمان مورد مطالعه قرار می گیرد. چندین l^2 تخمین کاهشی از جواب این معادله، با استفاده از روشی موسوم به روش انرژی وزنه با فرض اینکه هسته معادله به طور نمایی کاهش می یابد بدست می آید.

در این پایان نامه مسئله ی کوشی را برای معادله حرارت با جمله غیر خطی نمایی در فضاهای اورلیچ مطالعه می کنیم. ما وجود جوابهای سراسری را برای این معادله تحت شرط کوچکی داده ی اولیه در فضاهای اورلیچ ثابت می کنیم.

در این پایان نامه مسئله کوشی را برای معادله موج میرا مطالعه می کنیم. با استفاده از روش انرژی وزن دار تخمین هایی از جواب این مسئله را به دست خواهیم آورد و نشان خواهیم داد که این تخمین ها در حالت فوق بحرانی به طور تقریبی بهینه هستند.

یک مساله رسانش گرمایی معکوس را وقتی که داده‏ ها را در ‎ x=1 داشته باشیم‏‏، در نظر می گیریم. این مساله یک مساله سهموی کناره ای نامیده می شود و به شدت بد وضع است. روش های استانداردسازی تیخونف و فوریه توسعه یافته اند، اما این روش‏ ها شامل مرز ابتدایی برای جواب ها در انتخاب پارامترهایشان هستند. یک مرز تخمینی بزرگ باعث ایجاد نتایج عددی نامناسب می شود. در اینجا رده دیگری از رو ش ‏های تکرار نیز برای جواب مساله رسانش گرمایی با ایده گرفتن از روش های استاندارد سازی تیخونف و فوریه و نیز روش تکرار لندوبر، معرفی می شود و ثابت می شود که این روش ها تحت هر دو قانون توقف استنتاجی و ابتدایی به صورت نمایی همگرا هستند. انتخاب مناسب یک پارامتر در روش تکرار کمک می کند تا گام های تکراری کاهش یابند و جواب تقریبی رضایت بخشی را به دست می دهد. به علاوه اگر از قاعده استنتاجی برای توقف گام های تکراری استفاده کنیم، می توان از انتخاب یک مرز ابتدایی جلوگیری کرد.

‏دستاورد‎‎ اصلی این پایان نامه مطالعه ی مسأله ی هدایت گرمایی معکوس در حل مسأله ی یک بعدی می باشد. مسائل هدایت گرمایی معکوس یک نمونه بارز از مسائلی هستند که چندین پارامتر مجهول از جمله منابع گرمایی ساکن و متحرک‏، شرایط اولیه‏، شرایط مرزی و ... همزمان قابل تخمین می باشد. در این پایان نامه‏، به محاسبه ی شرایط مرزی می پردازیم.‎‎‏‎ ابتدا مفاهیم اساسی معادلات با مشتقات جزئی ارائه می شود‏، سپس مسائل هدایت گرمایی معکوس و مثالهایی از کاربرد این مسائل مطرح می گردد و در فصل سوم روشهای حل مسائل هدایت گرمایی مستقیم ‏بحث خواهد شد و در فصل چهارم به معرفی الگوریتم ‎$ ‎pso‎ $‎‏ و کاربرد این الگوریتم در حل مسائل هدایت گرمایی معکوس پرداخته می شود و نهایتاً‎ در فصل پنجم‏، چند مسأله ی هدایت گرمایی معکوس با شرایط مرزی مجهول با روش پیشنهادی فصل چهارم حل می شود که نتایج به دست آمده نشان می دهد این الگوریتم راه حل مناسبی برای حل همچین مسائلی است.

در این پایان نامه، رفتار میرایی یکنواخت جواب های معادلات حرارت خطی را در فضای l^2 مطالعه خواهیم کرد. بدین منظور از یک روش اصلاح شده از موروتز استفاده کرده و نشان می دهیم که میرایی جواب ها در بینهایت برای یک خانواده از داده های اولیه ی وزندار بر حسب 1/t می باشد. در مرحله بعد موج میرا را در یک دامنه بیرونی مورد مطالعه قرار می دهیم، در واقع تحت شرایط کلی روی داده های اولیه و با تعیین تخمین های مهمی پدیده پخش را برای این معادله در دامنه بیرونی نتیجه می گیریم. به طور دقیق تر با استفاده از روش انتگرال گیری زمانی و حذف شرایط روی مرز ناحیه، تخمین هایی برای جواب های مسئله روی مخلوط بیرونی ثابت خواهیم کرد.

هدف ما این است که با تععین شرایط لازم روی داده های اولیه پدیده پخش را نتیجه بگیریم برای این کار با تعریف فضای وزن دار مناسب و انتخاب داده اولیه در این فضاها ثابت میکنیم نرخ میرایی تفاضل جواب های معادله موج و حرارت در فضای لبگ مناسب از نرخ میرایی جواب های معادله موج و حرارت بیشتر است.

در این پایان نامه نسخه ی مجردی از پدیده ی انتشار را اثبات می کنیم که یک ارتباط قوی بین رفتار مجانبی معادلات هذلولوی میرا و سهموی مجرد را ارائه می کند. یکی از کاربرد های مهم آن استفاده از آنالیز طیفی بدون دخالت تخمین های تجزیه می باشد. برای اثبات پدیده ی پخش از رفتار انحصاری جواب ها استفاده نکرده و به جای آن رفتار تفاضل جواب ها را مورد بررسی قرار می دهیم. نرم هیلبرت تفاضل را، برحسب نرم هیلبرت جوا ب های مسائل سهموی تخمین می زنیم که همین امر سبب انتقال میرایی از مسائل سهموی به مسائل هذلولوی می گردد. کاربرد این تخمین ها برای عملگرهایی دارای خاصیت مارکوف همراه با نامساوی وزن دار نش، نرخ میرایی صریح و بهینه ای برای مسائل هذلولوی با ضریب وابسته بهx در دامنه های خارجی می باشد.