زنجیره غذایی در اکولوژی یک مسأله قابل تأمل می باشد. در حقیقت زنجیره غذایی مجاری سیر انرژی در یک اکوسیستم می باشد که از پشت سر هم قرار گرفتن سطوح غذایی حاصل می شود. تا کنون زنجیره غذایی شش عضوی در طبیعت شناخته شده است. با مدلبندی و تجزیه و تحلیل مدلهای ریاضی مربوط به زنجیره غذایی می توان به محیط زیست کمک شایانی ارائه کرد. از آنجایی که تجزیه و تحلیل زنجیره غذایی در خدمت محیط زیست و منابع طبیعی می باشد، و با گذشت زمان جمعیت جهان به طور چشمگیری رو به افزایش است و افزایش بی رویه جمعیت مشکلاتی به وجود می آورد، لذا به منابع محیط زیست نیاز بیشتری احساس می شود. در حقیقت این تجزیه و تحلیل زنجیره غذایی به استفاده بیشتر از محیط زیست کمک می کند. در این تحقیق سعی بر آن است که چندین مدل از زنجیره های غذایی را بررسی نموده و در صدد تعیین شرایطی در خصوص وجود جمعیت های تعادلی و پایداری این جمعیت ها باشیم. ابتدا به بیان مفاهیم و تعاریف و قضایای مورد نیاز در فصل های بعدی پرداخته می شود به نحوی که این فصل پوشش مناسبی برای فصل های بعدی درست کرده است. سپس به معرفی پیشینه ی جمعیت، اکولوژی و مدل های بیش از دو جمعیتی، زنجیره های غذایی سه گونه ای لوکتا- ولترا و پدیده آشوب در این مدل ها و پیشینه تداوم و ماندگاریی در این نوع از زنجیره ها با دفاع گروهی پرداخته می شود. بعد از آن تجزیه و تحلیلی به این زنجیره های غذایی در مدل های گوناگون ارائه می شود. اولی، تجزیه تحلیل مدل های زنجیره ی غذایی لوکتا- ولترا است. دومی، تجزیه و تحلیل تداوم در مدل های زنجیره ی غذایی سه گونه ای با دفاع گروهی است و سومی در حالت غیر بعدی با نسبت وابستگی به تجزیه و تحلیل این زنجیره های غذایی می پردازد. در آخر بحث و نتیجه گیری ارائه می شود.

دلایل گوناگون برای انقراض جانداران می توان برشمرد. مهمترین دلایل انقراض عبارتند از اینکه: یک گونه توانایی زایش و یا توانایی رقابت با دیگر جانداران برای بدست آوردن غذا را از دست می دهد. شکار جاندار توسط گونه شکارچی قوی تر نیز از دلایل انقراض گونه هاست، در این صورت جاندار نمی تواند به بقا ادامه دهد و منقرض می شود. وجود چنین بحرانی، نیاز به انجام چنین تحقیقاتی را افزایش داده است، در تحقیق حاضر روابط میان گونه ها (همزیستی، رقابتی و شکار- شکارچی) بررسی می شود و در طول تحقیق مراحل رسیدن به یک رابطه کلی به جهت شرح روابط ذکر شده، تشریح می گردد. کلموگروف (1936) توانست چنین رابطه کلی را بیابد، اگرچه این مدل نواقصی داشت، اما در نوع خود ارزشمند است. این مطالعه نیازمند تعاریف و مقدماتی است که در فصل اول مورد مطالعه قرار می گیرند. پس از آن مروری به تحقیقات گذشته می شود و سیر تکاملی مدل هایی که به منظور بیان نوع رابطه میان گونه ها ساخته شده اند، بیان می شود و به دنبال آن موضوع اصلی تحقیق که در پاسخ به سوال : "چگونه می توان یک رابطه کلی برای بیان نوع رابطه میان گونه ها بیان کرد؟" آمده است، تجزیه وتحلیل می شود و بلاخره نتایج و پیشنهاداتی ارائه می گردد، که می تواند مورد استفاده پژوهشگران آینده قرار گیرد.

اغلب مدل های ریاضی ‏در اکولوژی به منظور بررسی پویایی جمعیت کاربرد دارند. در این مدل ها ‏ ‏واکنش های بیولوژیکی معمولاً با استفاده از توابع ریاضی ساده توصیف شده اند. به هرحال این توابع می توانند واکنش های بیولوژیکی پیچیده ای را به نمایش بگذارند. یکی از معمول ترین مدل های ریاضی در اکولوژی‏، مدل شکار-شکارچی می باشد که در آن واکنش بین دو گونه مدل سازی می گردد.‎‎‏‎ در این پایان نامه به مدل سازی و تحلیل کلی مدل حاضر که با استفاده از نماد های ریاضی به دستگاه معادله دیفرانسیل تبدیل می شود می پردازیم‏، و ‏همچنین نشان می دهیم بعضی مدل ها می توانند با نظریه های معادلات دیفرانسیل و انشعاب تحلیل شوند. بویژه محاسبه انشعاب هاف اطلاعاتی درباره ی پویایی سراسری و موضعی بعضی مدل ها فراهم می کند. با در نظر گرفتن پارامتری به عنوان پارامتر انشعاب، پایداری نقطه تعادل و انشعاب هاف را بررسی می کنیم. در پایان مشاهده می کنیم با تغییر دادن مقادیر پارامترها پویایی دستگاه رفتارهای پیچیده تر و غیرقابل پیش بینی به نام بی نظمی (آشوب) را موجب می شود.

در این پایان نامه، به مطالعه ی گراف مقسوم علیه صفر وابسته به یکمجموعه ی مرتب جزیی پرداخته و خواص این گراف از جمله قطر گراف، کمر گراف و همبندی گراف را بررسی می نماییم. همچنین -بخشی را مطالعه می کنیم. در پایان مسطح بودن این گراف را به طور k گراف های مقسوم علیه صفر کامل مورد بررسی قرار می دهیم.

پایه ی شروع فعالیت ها در زمینه ی مدل بندی اکوسیستم ها فعالیت های توماسمالتوس 1 بود. وی منطقی را برای رشد در طبیعت یافت کرد. پس از او، ورهاست 2اولین مدل منطقی ریاضی را مطرح نمود. اما اولین دستگاه از معادلات اکولوژیک را لوتکا 3 و ولترا 4 مطرح نمودند. کلموگروف 5 توانست دستگاه های بیان شده را بهینه سازی نماید و دستگاه معادلات مستقل کلموگروف را معرفی نماید که با توجه به شرایط خود به انواع مختلفی تقسیم میگردد. ما در اینجا روی معادلات شکار و شکارچی از نوع کلموگروف تمرکز می کنیم و آن را در حالت دو بعدی و سه بعدی از لحاظ بقا بررسی می نماییم