در این پایان نامه نابرابری تغییراتی را معرفی می کنیم. سپس به تعمیم و بیان حالت های مختلف این مسائل می پردازیم. همچنین تئوری مسائل تکمیلی را بیان می کنیم. در این پایان نامه نابرابری تغییراتی برداری را در یک فضای توپولوژیکی برداری در نظر می گیریم. سپس وجود جواب ها ی این مسائل را تحت شرایط مناسب بررسی می کنیم. همچنین مفهوم پیوستگی با علامت بالایی را برای توابع مقدار برداری گسترش و برخی نتایج وجود جواب های نابرابری های تغییراتی را به دست می آوریم و کلاسی از مسئله تکمیلی را مطرح می کنیم و آن را مسئله شبه تکمیلی آمیخته می نامیم نشان می دهیم که مسئله شبه تکمیلی آمیخته هم ارز مسئله شبه تغییراتی آمیخته است و وجود جواب این مسائل را بررسی می کنیم.