در این پایان نامه ابتدا، یک کلاس جدید از جبرهای باناخ را به نام جبرهای 1? -مان که ابزار مفیدی در مطالعه ی جبرهای نیم گروهی هستند، معرفی می کنیم. همچنین نشان می دهیم که اگر یک جبر 1? -مان دارای همانی تقریبی کراندار باشد، آنگاه مجموعه های اندیس متناهی هستند. سپس انواع مختلف ایده آل ها، رادیکال جیکبسون و رادیکال قوی از جبرهای 1? -مانی که همانی تقریبی کراندار دارند را بررسی می کنیم. علاوه بر این، انواع مختلف * -نمایشها و تابعکهای مثبت از جبرهای 1? -مان برگشتی را مطالعه می کنیم. در نهایت، کاربردهایی را از نتایج قسمتهای قبل به منظور ساختن انواع * -نمایشهای نیمگروه های وارون کاملاً o -ساده، ارائه می نمائیم. این مطلب، برخی از نتایج بارنز را با اثباتهای متفاوت و خیلی کوتاهتر تعمیم میدهد.