در این پایان نامه، مسأله ی کمترین هزینه ی معکوس را در دو حالت بررسی می کنیم. در حالت اول، با کمترین تغییرات، بردار هزینه را اصلاح می کنیم تا جریان شدنی به شکل جریان کمترین هزینه درآید و این اصلاح را به وسیله ی فاصله ی همینگ وزن دار اندازه گیری می کنیم. برای این حالت، دو مورد تجمعی و min-max را در نظر می گیریم و برای مورد اول نشان می دهیم که apx-سخت است و برای مورد دوم الگوریتم قویاً چندجمله ای را ارایه می دهیم. در حالت دوم، مسأله ی کمترین هزینه ی معکوس ظرفیت را در نظر می گیریم که در آن با کمترین تغییرات بردار ظرفیت، جریان شدنی ، بهینه می شود. در این حالت دو اندازه فاصله ی و را درنظر می گیریم و نشان می دهیم که مسأله ی کمترین هزینه ی معکوس ظرفیت در حالت ، np-سخت است و برای نرم ، به وسیله ی الگوریتم حریص در زمان چندجمله ای قابل حل است. هم چنین در این پایان نامه، مسأله ی کمترین جریان معکوس را بررسی می کنیم. در مسأله ی کمترین جریان معکوس به دنبال کمترین تغییرات روی کران های پایین و بالای جریان روی یال ها هستیم به طوری که جریان شدنی داده شده، کمترین جریان شود و برای حل این مسأله، الگوریتم های قویاً و ضعیفاً چندجمله ای را پیشنهاد می دهیم.