فرض کنیم $a:[0,infty] ightarrow l(mathbb{c}^n,mathbb{c}^n)$ نگاشت اندازه پذیر لبگی باشد که در شرط $$sup_{sgeq0}int_0^infty |e^{int_s^t [a( au)-2m(a( au)i_n]d au}|dt<infty.$$ صدق کند. نگاشت فنرگون $-a(t)$ مجانبی را در فضای اقلیدسی $mathbb{c}^n$ تعریف می کنیم و به بررسی ارتباط بین این مفهوم و زنجیرهای لاونر می پردازیم. همچنین با تعریف مفهوم نمایش $-a(t)$ پارامتری، نشان می دهیم هرگاه $sup_{sgeq0}int_0^infty |e^{int_s^t [a( au)-2m(a( au)i_n]d au}|dt<infty$ در این صورت $fin s(b^n)$ نگاشت فنرگون $-a(t)$ مجانبی است اگر و تنها اگر نمایش $-a(t)$ پارامتری داشته باشد. یعنی نشان می دهیم زنجیر لاونر $f(z,t)$ وجود دارد به طوری که $df(0,t)=e^{int_0^t a( au)d au}$ و $ {e^{-int_0^t a( au)d au} f(z,t)}_{tgeq 0}$ بر $b^n$ خانواده ی نرمال است و $f=f(.,0)$. همچنین ثابت می کنیم کلاس نگاشت های دو تحلیلی غیر نرمالیزه، $s^0_{a(t)}(b^n)$، که نمایش $-a(t)$ پارامتری دارند، بر $b^n$ فشرده است. سپس، جواب های به فرم چند جمله ای کراندار متناظر زنجیر لاونر $f(z,t)=e^{int_0^t a( au){ m d} au}z+ldots$، را معرفی کرده و شرط کافی برای این که نگاشت $g(z,t)=m(f(z,t))$ به فرم چندجمله ای کراندار باشد را به دست می آوریم، که در آن $m$ تابع تام و $f(z,t)$ جواب زنجیر لاونر به فرم چند جمله ای کراندار $-a(t)$ نرمالیزه است. همچنین نشان می دهیم جواب زنجیرِ لاونرِ به فرم چند جمله ای کراندار $-a(t)$ نرمالیزه، خود یک زنجیر لاونر است. می دانیم عملگر توسیع رافِر-سافریج نگاشت های تک ارز از قرص واحد $mathbb{c}$ را به نگاشت های دو تحلیلی $mathbb{c}^n$ توسیع می دهد، همچنین این توسیع حافظ ستاره گونی و تحدب نیز می باشد. فرض کنیم $f$ نگاشت موضعاً تک ارز بر قرص واحد و $q: mathbb{c}^n ightarrowmathbb{c}$ چندجمله ای همگنی از درجه 2 باشد، عملگر توسیع $ phi_{n,q} $ را به صورت $$[phi_{n,q}(f)](z)=(f(z_1)+f(z_1)q(hat{z}),sqrt{f(z_1)}hat{z})$$ تعریف می کنیم. این عملگر اخیراً توسط میوِر معرفی شده است. قرار می دهیم $ q(eta)=1+frac{4}{pi^2}(log frac{1+sqrt{eta}}{1-sqrt{eta}})^2 $. با فرض $g=frac{1}{q}$, به کمک زنجیرهای لاونر نشان می دهیم اگر $f$ در عنصر اول زنجیر $-g$ لاونر نشانده شود، آن گاه $f=phi_{n,q}(f)$ نیز در عنصر اول زنجیر $-g$ لاونر نشانده می شود. همچنین هرگاه $f$ نگاشت ستاره گون سهموی در قرص واحد $u$ باشد در این صورت $f=phi_{n,q}(f)$ ستاره گون سهموی در گوی واحد $b^n$ است اگر و تنها اگر $|q|leqfrac{1}{4}$. و در نهایت نشان خواهیم داد این عملگر فنرگونی از نوع $eta$ را نیز حفظ می کند.

چکیده ندارد.