در این پایان نامه حل عددی معادلات انتگرال فردهلم و ولترا خطی و غیر خطی، همچنین معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم و ولترا خطی با استفاده از روش توابع متعامد بلاک-پالس مورد بررسی قرار گرفته است. این پایان نامه شامل پنج فصل است که به صورت زیر ارائه گردیده اند. در فصل اول مقدمه ای کوتاه در مورد معادلات انتگرال و تعاریف و قضایای مربوط به این پایان نامه بیان شده است. در فصل دوم مختصر توضیحاتی از توابع متعامد بلاک-پالس و بسط توابع بر حسب سری توابع متعامد بلاک-پالس آن، همچنین همگرایی این روش آورده شده است. در فصل سوم این روش را برای حل عددی معادلات انتگرال فردهلم و ولترا خطی به همراه چندین مثال به کار برده ایم. حل عددی معادلات انتگرال فردهلم و ولترا غیر خطی با استفاده از روش مذکور و چند مثال در فصل چهارم بررسی شده است. در انتها، حل عددی معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم و ولترا خطی را به همراه چند مثال در فصل پنجم بیان نموده ایم.

درجه جابجایی یک گروه یکی از مفاهیم تعریف شده در نظریه احتمالی گروه هاست، که می تواند نقش مهمی در معرفی خواص و برخی ساختار آن گروه داشته باشد.این درجه برای اولین باردر سال 1944 توسط میلر معرفی شد، که با استفاده از آن توانست احتمال جابه جا شدن دو عنصر دلخواه در یک گروه متناهی را به دست آورد در این پایان نامه به معرفی درجه جابجایی یک گروه متناهی و تعمیم های حاصل از آن پرداخته شده است، یکی از تعمیم های درجه جابجایی، درجه جابجایی نسبی است. یکی دیگر از این تعمیم ها، احتمال نرمال بودن یک زیرگروه در یک گروه متناهی است در این پایان نامه قصد داریم نتایجی را که برای درجه جابجایی نسبی به دست آمده، برای درجه نرمال زیرگروه گروه های متناهی تعمیم داده و همچنین کران های بالا و پایینی را برای آن ارایه دهیم.

مطالعه ساختارهای جبری با استفاده از ویژگی های گراف موضوعی است که در سالهای اخیر مورد توجه ریاضیدانان قرار گرفته است. گراف ناجابجایی اولین بار توسط اردوش در سال 1975معرفی شد. اینگونه که رئوس گراف اعضای گروه منهای اعضای مرکزش اند و دو راس متمایز مجاورند اگر با هم جابجا نشوند.

برای حلقه ی یکدار r گراف ایدآل های دو به دو متباین حلقه ی r ، که با(? (r نمایش داده می شود، گرافی ساده با مجموعه رئوس عناصر r است که در آن دو راس متمایز a و b مجاورهستند اگر و تنها اگرr = ar +br. هدف از مطالعه ی گراف ایدآل های دو به دو متباین در حلقه های جابجایی ایجاد ارتباط بین نظریه ی گراف و نظر یه ی حلقه های جابجایی می باشد. در این پایان نامه ابتدا زیر گراف که رئوس آن عناصر غیر یکه r است را معرفی می کنیم و ویژگیهای این گراف از جمله همبند بودن و قطر گراف را بررسی خواهیم کرد. همچنین حلقه های r که گراف وابسته به آن جنگل و یا یک گراف اویلری است را تعیین می کنیم . به علاوه نشان می دهیم که عدد خوشه ای گراف با تعداد ایدآل های ماکسیمال آن برابر است و شرایطی را برای گونای گراف بیان میکنیم .

فرض کنیمrحلقه ای جابجایی باشد. گراف ایدآل های پوچ کننده ی یکدیگر برای حلق? rرا با نماد(ag(rنمایش داده و بصورت گرافی با مجموعه رئوس*(a(r تعریف میکنیم.دو رأس متمایز در این گراف مجاورند اگر و تنها اگر حاصلضربشان برابر با صفر باشد.بهبودی و راکعی در [ m.behboodi and z.rakeei, the annihilating-ideal graph of commutative ringii, j. algebra apple. 10(4]در مورد گراف ایدآل های پوچ کنند? یکدیگر حدس زدند در صورتی که حلق? کاهش یافت? rبیشتر از دو ایدآل اول مینیمال داشته باشد girth(ag(r))=3. در این پایان نامه ثابت می کنیم برای هر حلق? r(نه لزوماً کاهش یافته)(w(ag(r))>|min(rکه نشان می دهد حدس درست بوده است.همچنین به ارای? نتایجی راجع به عددخوشه ای و عدد رنگی گراف برای اصل ضرب مستقیم حلقه ها می پردازیم. به علاوه نشان می دهیم در صورت متناهی بودن عددرنگی گراف مقسوم علیه صفر، عدد رنگی گراف ایدآل های پوچ کنند? یکدیگر نیز متناهی است. در ادامه حلقه های جابجاییی ای را مشخص می کنیم که گراف ایدآل های پوچ کنند? یکدیگر وابسته به آنها دوبخشی است. ثابت می کنیم ag(r) دوبخشی است اگرو تنهااگر ag(r) فاقد مثلث باشد.

در این پایان نامه ویژگی های گراف غیردوری را بررسی خواهیم کردهمچنین برخی از خواص نظری گراف از جمله منظم بودن را برای این گراف در نظر گرفته و ویژگی های گروه متناظر آن را بررسی می کنیم. ثابت می کنیم عدد خوشه ای این گراف متناهی است اگر و تنها اگر خوشه نامتناهی نداشته باشد. مثال هایی از گروههایی مثل g ارایه می دهیم که گراف غیردوری آنها یکتاست. و این حدس را مطرح می کنیم که هر گروه ساده غیرآبلی متناهی دارای گراف غیردوری منحصر به فرد می باشد.

فرض کنیم r حلقه ای جابه جایی و یکدار باشد.در این پایان نامه گراف ایده آل های پوچ ساز یکدیگر r را مطالعه می کنیم.این گراف را با علامت (ag(r نشان می دهیم که گرافی غیر جهت دار با مجموعه رئوس a(r)*=a(r)-{(0)} است. که در آن a(r) مجموعه همه ایده آل هایی از r است که دارای پوچ ساز ناصفر باشند.دو راس iو j در این گراف مجاورند اگر و فقط اگر ij=0 به طور خلاصه مهم ترین ویژگی های مورد بررسی در این پایان نامه عبارتند از : • شرایط متناهی بودن گراف ag(r) • همبندی گراف ag(r) • قطر و کمر(محیط) گراف ag(r) • رنگ آمیزی گراف ag(r)

احتمال اینکه دو عنصر گروه با هم جابجا شوند چیست؟در سال 1944 میلر مفهوم درجه جابجایی گروه متناهی g را که با نماد (d(g نمایش داده میشود را معرفی کرد. با استفاده از این مفهوم احتمال اینکه دو عنصر از گروه متناهی g با هم جابجا شوند، محاسبه میشود. عرفانیان، لسکات و رضائی مفهوم درجه جابجایی نسبی گروه g و زیرگروه h از آن را که با نماد (d(h,g نمایش داده میشود و تعمیمی از درجه جابجایی است را معرفی کردند. با استفاده از این مفهوم احتمال اینکه عناصر زیرگروه h با عناصر گروه g با هم جابجا شوند چیست؟ در سال 2009 ماریوس مفهوم درجه جابجایی زیرگروه گروه متناهی g که با نماد (sd(g نمایش داده میشود را معرفی کرد. با استفاده از این مفهوم احتمال اینکه زیرگروههای گروه متناهی g باهم جابجا شوند، محاسبه میشود. همچنین فرمولهای صریح برای برخی کلاس های خاص گروه متناهی به دست آمده است. در سال 2010 ماریوس با تعریف مفهوم درجه جابجایی شوند را محاسبه کرد. در این پایان نامه به معرفی درجه جابجایی یک گروه متناهی و تعمیم های حاصل از آن پرداخته شده است. این تعمیم ها عبارت است از، درجه جابجایی نسبی، درجه جابجایی زیرگروه، درجه جابجایی زیرگروه نسبی گروههای متناهی میباشد. هرکدام از این تعاریف را میتوان به طور کامل معرفی کرده و کرانهای مختلفی را برای درجات معرفی شده ارایه میدهیم.

در این پایان نامه ویژگی های (?(r مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین زیرگرافی از آن را به گونه ای در نظر میگیریم که رئوس آن عناصر غیروارون پذیر حلقه r بوده و در رادیکال جیکوبسن قرار ندارند.همچنین همبندی و قطر این زیر گراف کاملا مشخص می گردد و برای دو حلقه جابجایی و نیم موضعی متناهی مانند r و s اگر r حلقه ای کاهش یافته باشد آنگاه ثابت می شود که گرافهای حاصل از این دو حلقه با یکدیگر یکریخت هستند اگر و تنها اگر دو حلقه ی r و s یکریخت باشند.

در این پایان نامه به بررسی گراف جابجایی در گروه جبرها می پردازیم. گراف جابجایی اینگونه تعریف می شود ک رئوس اعضای گروه منهای عناصر مرکز اند و یالها بین دو راسی که جابجا شوند وجود دارند.

در این پایان نامه ضمن معرفی مختصر درجه جابجایی و درجه جابجایی نسبی یک تعمیم از آنها را با نام ?nامین درجه پوچتوانی نسبی معرفی کرده و چند کران بالا را برای آن ارایه می دهیم. همچنین قصد داریم ضمن بررسی خواص اساسی گراف ناجابجایی یک تعمیم از آنرا به صورت زیر ارایه دهیم. فرض کنیم g یک گروه باشد که پوچتوان از کلاس حداکثر n نیست (یک گروه غیر n-پوچ ). زیرگروه h از g را در نظر می گیریم. گراف غیر n-پوچ نسبی به این صورت به گروه g و زیرگروه h از آن نسبت داده می شود که رئوس آن از مجموعه g منهای n-امین مرکزساز h در g انتخاب شوند و دو رأس متمایز در این گراف باهم مجاورند هرگاه حداقل یکی از آنها متعلق به h باشد و جابجاگر این رئوس متلق به (1- n)-امین مرکز گروه g نباشد، که در آن ?nامین مرکزساز h در g شامل عناصری مانند g? g است به طوری که به ازای هر h? h،جابجاگرgو h متعلق به(1- n)-امین مرکز گروه باشد g. این گراف، گراف غیر n-پوچ نسبی گروه g نامیده می شود که نخستین بار در سال 2012 توسط عرفانیان و طلوع معرفی شد. به علاوه، درجه n-پوچتوانی نسبی گروه g به عنوان احتمالی در نظر گرفته می شود که نشان می دهد گروه g تا چه اندازه به n-پوچ بودن نزدیک است. همچنین نشان داده می شود دو گروه n-ایزوکلینیک که گروه های n-پوچ نیستند تحت شرایط خاص گراف های یکریخت دارند. هدف اصلی این پایان نامه بررسی ویژگی های گراف غیر n-پوچ نسبی و ارتباط بین درجه n-پوچتوانی و ایزوکلینیسم گروه ها با گراف های غیر n-پوچ می باشد.