چکیده ی فارسی یک رنگ آمیزی رأسی سره از گراف ‎g‎ را یک bرنگ آمیزی از گراف ‎ g‎ می نامند هرگاه هر کلاس رنگی دارای رأسی باشد که این رأس در تمام کلاس های رنگی دیگر همسایه داشته باشد. هر رنگ آمیزی از گراف ‎g‎ با ‎chi(g)‎ رنگ، یک bرنگ آمیزی از‎ g‎ است. به بزرگ ترین عدد طبیعی‎ k‎ که یک bرنگ آمیزی از گراف‎ g‎ با‎ k رنگ وجود داشته باشد، عدد b رنگی ‎گراف‎g‎ می گویند و آن را با phi (g) نمایش می دهند. گراف‎g را b‎ پیوسته گویند هرگاه برای هر عدد طبیعی ‎k‎ که ‎chi (g) ? k ? phi (g)، یک b رنگ آمیزی از گراف ‎g ‎با ‎k ‎ رنگ وجود داشته باشد. در این پایان نامه، ابتدا ارتباطی بین همریختی های گراف ها و b‎ ‎ رنگ آمیزی های گراف ها می یابیم و با استفاده از این ارتباط، نشان می دهیم که برای هر عدد طبیعی ‎k‎، گراف کنسر‎kg(2k+1,k)‎، b‎ پیوسته ‎است. سپس به بررسی عدد b رنگی گراف های dمنتظمی که دور به طول ‎4‎ ندارند می پردازیم. نشان می دهیم که برای هر گراف dمنتظم‎ g‎ که دور به طول‎ 4 نداشته باشد، phi(g) ? lfloorfrac{d+3}{2} floor. همچنین نشان می دهیم که اگرg‎ یک گراف d منتظم باشد که دور به طول‎4‎ نداشته باشد و ‎diam(g) ? 6‎، آن گاه phi(g)=d+1‎ . ثابت می کنیم برای هر گراف d منتظم ‎g‎ که دور به طول ‎4‎ ندارد و ‎kappa(g) ? frac{d+1}{2}‎، رابطه ی ‎varphi(g)=d+1‎ برقرار است، که ‎kappa(g) ‎ بیانگر همبندی رأسی گراف ‎g‎ است. همچنین نشان می دهیم که هر گراف d منتظم که ‎ c_{4}‎ را به عنوان زیرگراف در بر نداشته باشد و فراهمبند یالی نیز نباشد، دارای عدد b رنگی‎d+1‎ است. یک رنگ آمیزی رأسی سره از گراف ‎g‎ را یک رنگ آمیزی برگ ریزان از گراف ‎g‎ می نامند هرگاه هر رأس، تمام رنگ ها را در همسایگی بسته ی خود ببیند. هر رنگ آمیزی برگ ریزان، یک bرنگ آمیزی است. در انتها، رنگ آمیزی های برگ ریزان رده های خاصی از گراف ها را بررسی خواهیم کرد. کلمات کلیدی : bرنگ آمیزی، b‎ پیوسته، همریختی نیمه-موضعی-پوشا، رنگ آمیزی برگ ریزان.