موضوع تعیین انرژی یک مولکول همواره مورد علاقه دانشمندان علم شیمی بوده است و برای محاسبه آن از فرمول های انتگرالی استفاده می کردند. از آنجا که برای نمایش ساختار هر مولکول از گراف استفاده می شود لذا در چند دهه اخیر دانشمندان ریاضی نیز سعی کرده اند از خواص گراف ها در محاسبه انرژی مولکولی استفاده نمایند و راه حل ساده تری برای محاسبه انرژی مولکولی بیابند. کمیت محاسبه شده از این طریق را انرژی گراف نامیده اند که تقریبا هم ارز انرژی مولکول متناظرش است. در این پایان نامه سعی شده است تا موضوعات مربوط به انرژی انواع گراف ها مورد مطالعه قرار گیرد و یک دسته بندی از آن ارائه گردد. به این منظور، در فصل اول به مفهوم طیف گراف و کران های آن پرداخته شده است. در فصل دوم رابطه طیف گراف با انرژی و بیان کران هایی که برای انرژی گراف با استفاده از روابط ساده ریاضی وجود دارد، ارائه شده است. در فصل سوم انرژی درخت ها و گراف های بدون دور بیان شده است و درخت هایی که دارای بیشترین انرژی و کمترین انرژی هستند مورد بررسی قرار گرفته شده اند. در فصل چهارم انرژی گراف های دوبخشی و کران بالا وپایین آن ها ارائه شده است. در فصل پنجم انرژی گراف های دوری و تک دوری و بیان حدود انرژی این دسته از گراف ها پرداخته شده است. در فصل ششم انرژی گراف های منتظم و خطی محاسبه شده است و در فصل هفتم نیز انرژی، برای دسته ای از گراف ها به نام گراف اسپایدر بررسی شده است و کران بالا و پایین برای ان ارائه شده است.

در دنیای اطراف ما، وضیعت¬های فراونی وجود دارند که می¬توان توسط نظریه گراف به توصیف آنها پرداخت. به¬عنوان مثال، فرض کنید که کشور¬ها نماینده رئوس در گراف¬ و یال¬ها هم روابط ممکن بین کشور¬ها باشند. مجموعه چند کشور تشکیل یک اتحاد می¬دهند هرگاه هر کشور در داخل آن مجموعه حداقل همان اندازه که دوست دارد به¬همان اندازه دشمن در خارج این مجموعه داشته باشد. به¬عبارت دیگر مجموعه¬هایی از رئوس در گراف تشکیل اتحاد می¬دهند هرگاه هر رأس در این مجموعه، حداقل همان اندازه که با رئوس داخلی مجموعه مجاور است به¬همان اندازه مجاور، با رئوس بیرونی این مجموعه باشد چنین اتحادی را اتحاد دفاعی می¬گوییم که اولین بار توسط استیفان هدیتنمی و همکارانش در سال 2001 در مقاله¬ای تحت عنوان اتحاد در گراف مطرح شد. از آن پس این موضوع مورد بحث و بررسی قرار گرفت که در سایه این تلاش¬ها اتحادهای دیگری هم تعریف شد که شامل اتحاد تهاجمی و اتحاد نیرومند است. اخیراً در سال 2007 رابرت سی بریقام و همکارانش تعریف جدیدی به عنوان مجموعه امن ارائه کردند که تعریف¬شان مبتنی بر زیرمجموعه¬های یک مجموعه بود. در فصل اول مفاهیم و مقدمات نظریه گراف که در فصل¬های بعد به آن نیازمندیم را یاد آوری می¬کنیم. در فصل دوم اتحادها را به¬طور کامل بررسی خواهیم کرد. در فصل سوم شرایط لازم و کافی براینکه یک مجموعه امن باشد را معین می¬کنیم و در آخر این فصل کران¬هایی برای کوچکترین مجموعه امن بدست می¬آوریم. همچنین در فصل چهارم ما اتحاد باز که یکی از مسایل باز است را مورد مطالعه قرار می¬دهیم و بسیاری از خواص این مفهوم را استخراج کرده، سپس روی کران¬های آن بحث می¬کنیم.

تئوری مکان یابی به طور سنتی علاقه مند به مسایلی است که وزن سرویس دهنده ها و در دسترس بودن آن ها دقیقا مشخص است. اما اغلب یک برآورد دقیق از تمامی این پارامترها امکان پذیر نیست. بخش مهمی از داده های زندگی واقعی، اغلب شامل عدم قطعیت است و این پارامترها ممکن است با زمان تغییر کنند. بنابراین در سال های اخیر مدل های مکان یابی شامل عدم قطعیت بررسی شده، برخی حالت های آن ها تعریف و مورد مطالعه قرار گرفته است. یک حالت خاص از این مساله مدل قابلیت اطمینان است که در این مدل بعضی اوقات ممکن است سرویس دهنده ها شکست بخورند و مشتریان اختصاص داده شده به این سرویس دهنده ها مجبورند از سرویس دهنده های در حال کار سرویس بگیرند.‎ مساله ‎2-‎میانه نیز همانند مدل قابلیت اطمینان بررسی شده که در آن هر سرویس دهنده ممکن است با یک احتمال معین شکست بخورد. مساله ‎پشتیبان‎‏ ?-میانه همانند مدل قابلیت اطمینان است که در آن به دنبال یافتن یک زوج از رئوس هستیم که مجموع فاصله وزنی از تمام رئوس به سرویس دهنده های در حال کار را مینیمم کند. با توجه به اهمیت موضوع‏، مدل های مختلفی که تا کنون در این زمینه مطرح شده اند را مورد مطالعه قرار داده و با ارایه الگوریتمی به بررسی مساله پشتیبان ?-میانه نیمه ناخوشایند می پردازیم.

برای گراف دلخواه g ، تابع یک تابع 2- احاطه گری رنگین کمان ( یا به اختصار 2rdf ) برای گراف g نامیده می شود، هرگاه برای هر رأس به طوری که ، داشته باشیم . وزن یک تابع 2- احاطه گری رنگین کمانی ، با نمادگذاری ، به صورت ذیل تعریف شده است . کمترین وزن یک 2rdf گراف g از میان همه ی چنین توابعی، عدد 2- احاطه گری رنگین کمانی گراف g نامیده شده و با نشان داده می شود. در فصل نخست این پایانامه، تعاریف و قضیه های موردنیاز در نظریه ی گراف ها را بیان می کنیم . در فصل 2، مقادیر دقیقی برای عدد 2- احاطه گری رنگین کمانی مسیرها ، دورها و گراف های خورشیدی ارایه می دهیم. همچنین، تعدادی کران برای عدد 2- احاطه گری رنگین کمانی در گراف های پترسن توسعه یافته ارایه می کنیم. در فصل 3، مفهوم بحرانی برای 2- احاطه گری رنگین کمانی در گراف ها را مطالعه می کنیم و یک طبقه بندی برای گراف های 2- احاطه گری رنگین کمانی رأسی (یالی) بحرانی و گراف های 2- احاطه گری رنگین کمانی رأسی (یالی ) ابربحرانی به دست می آوریم . در آخر ، در فصل 4، چندین کران پایین و در دسترس ( دقیق ) برای یک گراف دلخواه ارایه می کنیم. علاوه بر این، ارتباط بین 2- احاطه گری رنگین کمانی با نوع دیگری از احاطه گری در گراف ها را مطالعه می کنیم.