فرض کنید ‎ ‎r‎ ‎ حلقه ای جابه جایی و یکدار باشد. گراف حلقه ‎ ‎r‎ را بدین صورت تعریف می کنیم که عناصر حلقه‏،‎ رأس های گراف هستند و دو عنصر ‎x,y در ‎ ‎r‎ ‎ در گراف وابسته به حلقه ‎r‎ ‎ با هم مجاورند اگر و تنها اگر ‎ ‎.xy=0‎ ‎ در این رساله نشان می دهیم برای چه حلقه هایی عدد خوشه ای و عدد رنگی این گراف برابر است و به موضوع رنگ آمیزی این گراف ها می پردازیم. همچنین گراف مقسوم علیه صفر حلقه ‎ ‎r‎ ‎ را با توجه به مجموعه مقسوم علیه صفر ناصفر حلقه ‎r‎ ‎ تعریف می کنیم و به بررسی تأثیر متقابل جبر و نظریه گراف خواهیم پرداخت.‎ ‎هم چنین کاربردی از نظریه گراف را در قالب اثباتی گرافی برای یک برابری کاملا جبری ارائه می کنیم.