فرض کنید h یک گروه متناهی و c یک زیر مجموعه از h{1} باشد. در این صورت گراف کیلی جهت دار cay(h,c) گرافی است با مجموعه رئوس v=hو مجموعه یال های e={(x,y) ?| x,y ?h,yx^(-1) ?c}={(x,hx) | x ?h,h ?c} در حالتی که c= c^(-1)، c را زیر مجموعه کیلی می نامیم. در این حالت گراف کیلی cay(h,c)، یک گراف بدون جهت است. یک گراف ?=(v,e) را گراف دوکیلی روی گروه h می نامیم هرگاه گروه h روی مجموعه ی v به صورت نیمه منظم عمل کند و دقیقأ دارای دو مدار با طول یکسان باشد، یعنی aut(?) زیرگروهی یکریخت با h داشته باشد به طوری که روی v به صورت نیمه منظم عمل کند و دقیقأ دارای دو مدار با طول یکسان باشد. هر گراف دوکیلی را می توان با شرایط معادل زیر نیز توصیف کرد. فرض کنید t، s، r زیر مجموعه هایی از گروه h باشند به طوری که s^(-1)=s و r^(-1)=r و r?s شامل عضو همانی h نباشد، گراف bicay(h;r,s,t) را به صورت زیر تعریف می کنیم: مجموعه رئوس آن {0,1}×h است و دو رأس (i,h) و (j,g) مجاورند اگر و تنها اگر یکی از این سه حالت زیر رخ دهد ?)i=j=0 و gh^(-1)?r. ?) i=j=1 و gh^(-1)?s. ?)i=0,j=1 و gh^(-1)?t. نشان می دهیم گراف ?=(v,e) یک گراف دوکیلی روی گروه h است اگر وتنها اگر گروه h روی مجموعه v به صورت نیمه منظم عمل کند و دقیقاً دارای دو مدار با طول یکسان باشد. یک گراف را گراف دوکیلی تک جورساز می نامیم هرگاه گراف دوبخشی القاء شده توسط یال های که این دو مدار را به هم متصل می کنند، بک جورسازی تام باشد. گراف های پترسن تعمیم یافته مثال های نوعی از این چنین گراف ها هستند. در ادامه یک رده بندی از گراف های دوکیلی تک جورساز همبند تراگذار کمانی روی گروه های آبلی را بررسی می کنیم، این رده بندی بدون استفاده از رده بندی گروه های ساده متناهی انجام شده است. در عوض سرشت های تحویل ناپذیر مختلط گروه های آبلی به صورت گسترده استفاده می شود.