در این پایان نامه ابتدا به معرفی تعاریف و خصوصیات اساسی گراف مقسوم علیه های صفر در حلقه جابجایی و حلقه ناجابجایی می پردازیم. سپس نشان می دهیم حلقه جابجایی r و حلقه کسرهای کامل آن،‎q(r)‎،دارای گراف های یکریخت هستند، و در نتیجه قطر و کمر یکسانی دارند. همچنین به بررسی خواصی از گراف (جهت دار) مقسوم علیه های صفر در حلقه ماتریس های مربعی می پردازیم، سپس از این نتایج برای بحث در مورد روابط بین قطر گراف مقسوم علیه های صفر روی حلقه جابجایی r و حلقه ماتریس های مربعی mn(r) استفاده می کنیم همچنین مشخص می کنیم چه هنگام2 diam gr (t(r)) ? یاgr (t(r)) ?4 سپس از این نتایج برای بررسی قطر و کمر گراف مقسوم علیه های صفر در حلقه چندجمله ای های r، حلقه سری های توانی r و توسیع حلقه r توسط r –مدول m می پردازیم در آخر، گراف مقسوم علیه های صفر در حلقه ماتریس های بالا مثلثی روی حلقه جابجایی را مورد بررسی قرار می دهیم