در این پایان نامه برای فضای باناخ eو فراپالایه uفراتوان (e)_uرا معرفی می کنیم که یک فضای باناخ می باشد و eزیرفضایی از آن است. نشان می دهیم برای جبر باناخ a فراتوان (a)_uنیز یک جبر باناخ می شود.اصل انعکاس پذیری موضعی برای جبرهای باناخ بیان شده است روی مدول هاو جبر های باناخ توسیع می دهیم می دانیم که برای جبر باناخ aضرب های آرنز که آن ها را□ و ∆ نمایش می دهیم توسیعی از ضربa روی فضای دوگان دوم a^(**) هستند با استفاده از فراتوان ها ونتایج اصل انعکاس پذیری موضعی برای جبرهای باناخ ومدول ها نشان می دهیم متوان فرا پالایه u را چنان یافت که **a زیر فضایی از (a)_u باشد. از ضرب روی (a)_u استفاده کرده و ضرب جدید * را روی a^(**) تعریف می کنیم. این ضرب توسیعی از ضرب aروی a^(**) می باشد، اما در حالت کلی ممکن است شرکت پذیر نباشد. نشان می دهیم وقتی a آرنز منظم باشد ، می توان* را چنان یافت که ∆ = □ = * و به این ترتیب به یک تعریف متقارن تر از ضرب های آرنز روی **a می رسیم. یک جبر باناخ را دوگان گوییم هرگاه به طور مو لفه ای *w- پیوسته باشد نشان میدهیم a^(**) جبر باناخ دوگان است اگر وتنها اگر aآرنز منظم باشد و∆ = □ = * در انتها از روی فراتوان ها مفهوم فرامیانگین پذیری را برای جبر باناخ a تعریف می کنیمجبر باناخ aفرامیانگین پذیرگوییم هرگاه هر فراتوانa میانگین پذیرباشد معمولا به جای کار کردن مستقیم با تعریف میانگین پذیری با قطرهای تقریبی ومجازی کار میکنند ما در این پایان نامه یک ساختار مشابه رافرامیانگین پذیزی ارائه می دهیم.

دیدونه در سال ‎1944‎ میلادی برای اولین بار فضاهای هاسدورفی، که هر پوشش بازشان دارای یک تظریف باز موضعاً متناهی بود را فضاهای پیرافشرده نامید. ما در این رساله ضمن تعریف مفهوم پیرافشردگی، به بررسی برخی از معادل ها، میزان ارثی بودن، حاصل جمع، حاصل ضرب دکارتی، جایگاه و توابعی که این خاصیت را حفظ می کنند می پردازیم. گردایه وار نرمال و گردایه وار هاسدورف به ترتیب دومین و سومین خواصی هستند که به معرفی و بررسی آنها می پردازیم. یک فضای را گردایه وار نرمال گوییم، هرگاه هر خانواده گسسته از زیرمجموعه های بسته آن دارای تفکیکی باز باشد. همچنین یک فضای توپولوژیک را گردایه وار هاسدورف گوییم، هرگاه هر زیرمجموعه گسسته و بسته آن دارای تفکیکی باز باشد. ما به همان شیوه بررسی خاصیت پیرافشردگی به بررسی این خواص نیز می پردازیم.

در این پایان نامه روی سه موضوع خاص در نظریه فریم متمرکز می شویم. ابتدا نشان می دهیم که مساله پالسن هم ارز مساله تصویر است.سپس شرح می دهیم چه موقع دو فریم تنگ می توانند دوگان یکدیگر باشند.در نهایت رابطه بین دو فریم ?_i }_(i=1)^m} و t?_i }_(i=1)^m} رابررسی می کنیم که t یک عملگر وارون پذیر است. علاوه بر این استقلال خطی {?_i ?_i^*} _(i=1)^m} را بررسی می کنیم.

حلقه ی توابع حقیقیمقدار پیوسته از یک فضای تیخونوف،(c(x، ابزاری بسیار کارآمد برای توسعه ی همزمان و ایجاد ارتباط بین دو شاخه ی جبر توپولوژی است. ما در این پایان نامه به طور ویژه این حلقه را مورد توجه خود قرار داده و هدفمان ارائه ی روشی برای حل مسئله ای است که به وسیله ی ام هنریکسن و ام جریسون درباره ی فضای ایده آل های اول مینیمال در سال 1961 و 1965 مطرح شد. ام هنریکسن و ام جریسون در سال 1961 پرسیدند که آیا برای هیچ x ای فضای ایده آل های اول مینیمال حلقه ی (*c(n، ناهمبند پایه ای است و در سال 1965 آن ها پرسیدند که آیا برای هیچ x ای فضای ایده آل های اول مینیمال حلقه ی (c(x ناهمبند پایه ای نیست. در این پایان نامه ما به دومین پرسش پاسخی مثبت (در zfc) می دهیم و اولین پرسش اگر اصل موضوعی مارتین (ma) برقرار باشد پاسخی منفی دارد، به ویژه اگر فرض زنجیر (ch) برقرار باشد. در ادامه مفهومی را متمم صفرمجموعه کامل نامیده می شود، برای فضاها معرفی می کنیم. در حالی که بسیاری از ویژگی های فضاهای متمم صفرمجموعه کامل شناخته شده است، به نظر می رسد آن ها برای پاسخ به بعضی از پرسش های طبیعی که به وسیله ی جی شاپیرو و لوی مطرح شده، کافی نباشند. این پرسش ها به ارتباط بین متمم صفرمجموعه کامل بودن یک فضا و انواع به خصوصی از زیرفضاهای با این ویژگی و بین متمم صفرمجموعه کامل بودن حاصل ضربی از دو فضا و متمم صفرمجموعه کامل بودن هر کدام از فضاها ارتباط دارد. هم چنین بعضی از شرایط داده می شوند که تضمین می کنند که یک فضای موضعا متمم صفرمجموعه کامل به طور کلی متمم صفرمجموعه کامل باشد. در این پایان نامه به این پرسش ها پاسخ داده می شود.

در این پایان نامه ابتدا به یادآوری تعریف مشتق پذیری توابع برداری و مشتق در راستای یک بردار می پردازیم. سپس کاربردهایی از مشتق این توابع را بررسی خواهیم کرد. در ادامه ضمن تعریف توابع تمامریخت این قضایا را برای فضای توابع تمامریخت تعمیم می دهیم و در این راستا به بیان قضایایی نظیر قضیه نگاشت وارون خواهیم پرداخت.