در این پایان نامه سیستم های کوانتومی که به معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن منجر می شوند را بررسی می کنیم. ابتدا روش تکرار مجانبی (aim) را معرفی نموده و از آن برای حل پتانسیل های کوانتومی استفاده می کنیم. پتانسیل های کوانتومی حل پذیر غیرنسبیتی مانند پتانسیل گلدمن-کریچنکوف، مربع تانژانت، پتانسیل مختلط کتانژانت برای معادله شرودینگر حل شده و سپس برای معادله دیراک پتانسیل برداری کولنی و پتانسیل df با برهمکنش تانسوری در تقارن شبه اسپین را بررسی کرده ایم. بعد از آن چند مسئله غیرحل پذیر شامل پتانسیل های مربع سینوس، دو کسینوسی و یک پتانسیل شعاعی خاص، که خود شامل پتانسیل های گوناگونی است، به وسیله روش عددی تکرار مجانبی مطالعه شده است. همچنین مسئله شبه حل پذیر پتانسیل متیو حل شده است. نتایج حاصل از این روش در بعضی از مسائل با جواب های روش های دیگر مقایسه شده است.