جواب های موج رونده ی دقیقی برای گروهی از مدل های شبکه ای دور از تعادل یک بعدی تصادفی (n+1)-حالته با مرزهای باز مشروط به اینکه قیدهایی روی آهنگ های برهم کنش ها ارضا شوند وجود دارند. این جواب ها حرکت پخشی یک شوک ضربی یا دیوار حوزه ای با دینامیک یک ولگرد ساده را شرح می دهند. هنگامی که حالت پایای یک دستگاه یک بعدی شامل گونه های مختلف ذرات، که با روند به روز رسانی تصادفی-پی در پی تحول می یابد، بر حسب یک ترکیب خطی از وزن های شوک برنولی با دینامیک ولگشت نوشته می شود، می تواند به صورتی هم ارز با حالت ضرب ماتریسی نیز بیان شود. در این مورد جبر مربعی دستگاه همواره دارای یک نمایش ماتریسی دو بعدی خواهد بود. تحقیقات ما نشان می دهند که این هم ارزی به طرح به روز رسانی دستگاه بستگی نداشته و حداقل برای دستگاه های با به روز رسانی زیرشبکه - موازی نیز وجود دارد. در این پایان نامه فرآیند طردی ساده ی نامتقارن جزئی (pasep)روی یک شبکه ی متناهی با مرزهای باز و با به روز رسانی زیر شبکه - موازی را به عنوان یک مثال ساده در نظر می گیریم.