عملگرهای خودالحاق بر رویه ها در r^4

بر رویه‏ ی هموار و جهت پذیر ‎m‎‎‏ در فضای اقلیدسی ‎‎‏‏، می توان عملگر خود الحاق شکل ‎s‎‎‏ را بر صفحات مماس در هر نقطه ی ‎m‎‎‏ تعریف کرد. با عملگر شکل s‎‎‏ می توان از طریق محاسبه ی خمیدگی های اصلی‏، میانگین‏، گاوسی و نیز تعریف و محاسبه ی راستاهای اصلی‏، مجانبی‏، مشخصه و... شکل رویه را تعیین کرد. بر‏ ‎‎‎‎m‎‎‏ سه جفت بر‏گ‏ بندی تعریف می شود که به ‎‎‎‎s‎‎‏ وابسته هستند‏، این برگ بندی ها شامل خطوط انحنای اصلی‏، خم های مجانبی و خم های مشخصه هستند ‏ که خطوط انحنای اصلی در نقاط غیر نافی رویه‏، خم های مجانبی در ناحیه ی هذلولوی رویه و خم های مشخصه در ناحیه ی بیضوی رویه تعریف می شوند.‏ در مختصات موضعی سه جفت برگ بندی مذکور با معادلات دیفرانسیل دوتایی (‎bdes‎‎‏) که به عنوان معادلات دیفرانسیل درجه ی دوم نیز شناخته می شوند‏، نشان داده می شود. این معادلات به صورت a(x,y)dy^2+2b(x,y)dxdy+c(x,y)dx^2=0 هستند که ضرایب ‎a‎‎‏‏، ‎‎‎‎b‎‎‏ و ‎‎‎‎c‎‎‏ توابع حقیقی هموار در نقطه ی ‎‎‎‎(x,y)‎ ‎‏ می باشند. در ‏این پایان نامه تلاش شده یک روش طبیعی برای تولید جفت هایی از راستاهای متعامد یکه (راستاهای اصلی) در بیشتر نقاط بر رویه‎‏‏ ‎‎ی هموار ‎‎‎‎m‎‎‏ در ‎ ارائه شود. تعریف ما در این مورد از مفاهیم مطالعه شده درباره ی عملگرهای شبه شکل بر رویه های ‎‎‏ مشتق می شود. یک مفهوم کلیدی در این بحث‏، این است که معادله ی دیفرانسیل دوتایی مجانبی بر رویه ی دو بعدی هموار در ‎ خوش تعریف است (برای دیدن جزئیات بیشتر به [27] مراجعه کنید). بنابراین‎ عملگر خود الحاق ‎s‎‎‎‎‏ در این حالت می تواند از معادله ی دیفرانسیل دوتایی مجانبی به دست آید و نیز می توان راستاهای شبه اصلی و شبه مشخصه را با این عملگر تعیین کرد. معادلات دیفرانسیل دوتایی خم های مجانبی‏، اصلی و مشخصه مشابه معادلات دیفرانسیل دوتایی رویه های رفتار می کنند. نشان می دهیم که میدان برداری قائم ‎‎‏ بر ‎m‎‎‏ وجود دارد به طوری که راستاهای اصلی که اینجا تعریف می شوند راستاهای ‎‎‏- اصلی ‎‎‏ هستند که در [34] تعریف شده اند.‎ ‎ در فصل اول این پایان نامه به بیان مفاهیمی نظیر عملگر شکل‏، معادلات دیفرانسیل دوتایی‏ خم های اصلی‏، مجانبی و مشخصه در فضای اقلیدسی ‎ می پردازیم همچنین قضایا و لم هایی را که برای اثبات قضایای اصلی مورد نیاز است‏، بیان و برخی از آن ها را اثبات می کنیم. در فصل دوم خواص کلی رویه های نشانده شده در r^n ‎‎‏ را توضیح می دهیم و همچنین با تعریف عملگر شبه شکل‏‏، شرایط تبدیل آن به عملگر شکل را بیان می کنیم. در ادامه ی این فصل جزئیات معادلات دیفرانسیل دوتایی خم های شبه اصلی‏، شبه مشخصه و شبه مجانبی حاصل از عملگر شبه شکل را تبیین خواهیم کرد. فصل سوم نیز به بررسی پیکره ی خم های جواب معادلات دیفرانسیل دوتایی شبه مجانبی و شبه مشخصه در تکینگی مشترک آن ها پرداخته و با بیان و اثبات گزاره‎‏ ی (3 .2 .2) نشان می دهیم نوع این تکینگی در دو معادله یکی نیست. در همین گزاره ثابت می کنیم که نوع نقاط شبه نافی معادلات دیفرانسیل دوتایی شبه اصلی و شبه مشخصه ارتباطی به هم ندارند. در انتها به تعریف ‎‏دقیق خم های اصلی بر رویه ها در ‎‎‏ مطابق مفاهیم و اصطلاحات این پایان نامه پرداخته و معادلات دیفرانسیل دوتایی این خم ها و خم های مشخصه را بیان و اثبات می کنیم.