بررسی شبکه های ارتومدولار و جبر بولی جزئی به مثابه پایه هایی برای منطق کوانتوم

زبان ریاضی می تواند رفتار یک سیستم فیزیکی را در قالب نظریه هایی مانند مکانیک نیوتن یا مکانیک کوانتوم توصیف کند، عبارات ریاضی مربوط به نظریه، گزاره هایی حامل اطلاعاتی راجع به ماهیات و سیستمهای مرتبط با آن نظریه هستند. این عبارات ساختاری جبریرا نشان می دهند و متناظر با روابط جبری بین عبارات ریاضی، روابط منطقی بین گزاره ها وجود دارد، یعنی بین گزاره هایی که با توجه به نظریه، سیستمی را توصیف می کنند. حال ساختار ریاضی حاکم بر فیزیک نیوتن، جبری از مجموعه هاست و در واقع جبری بولیستو روابط منطقی آن دقیقاً روابط منطق کلاسیک می باشد. اما در مکانیک کوانتوم ساختار جبری، بولی نیست و منطق سازگار با آن منطقی متفاوت و غیرکلاسیک است که آنرا با نام "منطق کوانتوم" می شناسند. در سال 1936بیرکهوف و فون نویمان در مقال? "منطق مکانیک کوانتوم"، شبکه ای از گزاره ها را در نظر گرفتند.آنها با استفاده از فرمولبندی مکانیک کوانتوم، ساختار جبری حاکم بر منطق کوانتومی را تحت عنوان شبکه های ارتومدولار ارائه کردند، که متفاوت از ساختار جبری منطق کلاسیک می باشد و به تازگی این دیدگاه با رویکردهایی متفاوت راجع به نقش و ویژگیهای منطق کوانتوم، مورد توجه منطق دانان بسیاری قرار گرفته است. در مکانیک کوانتوممتفاوت از مکانیک نیوتن حالت یک سیستم، با یک نقطه در فضای فاز با ابعاد متناهی نشان داده نمی شود، بلکه توسط یک بردار(با ابعاد نامتناهی) در فضای هیلبرت بیان می شود. فضاهای فاز مکانیک نیوتن فضاهای حقیقی هستند، در حالیکه در مکانیک کوانتوم فضاهای فاز، فضاهای مختلطند. جملاتی با فرم x?l (بطوریکه x حالت برداری یک سیستم است و lیک زیرفضا از فضای هیلبرت است) گزاره های کوانتومیهستند، این جملات برای خلاصه کردن اطلاعات ما از نتایج آزمایشهای آن سیستم بکار می روند و منطق کوانتوم روابطی که بین گزاره های کوانتومی یک سیستم فیزیکی معین صادق هستند، را مورد بررسی قرار می دهد. این روابط منطقی با روابط جبری بین زیرفضاهای فضای هیلبرت متناظر هستند. جبراین مجموعه از زیرفضاها، غیر بولی است و مجموع? زیرفضاهای فضای هیلبرت را می توان بعنوان شبکه های ارتومدولار و یا یک جبر بولی جزئی مورد بررسی قرار داد.هر کدام از این ساختارها بعنوان ساختاری مناسب برای جبر گزاره های کوانتومی معرفی شده اند و متناظربا هر یک از این ساختارها، منطقی ارائه شده است. منطق های حاصل از این دو رویکرد، ویژگیهای صوری متفاوتی خواهند داشت، این تحقیق بهمعرفی ساختار نحوی و معنایی منطق کوانتومی و تفاوتهای آن با منطق کلاسیک می پردازد، مباحث معناشناسی این منطق با عنوان تعابیر یک زبان صوری در یک ساختار جبری آمده است؛ یک تعبیر، جملات زبان را بنحو همریخت روی عناصر ساختار جبری می نگارد و با توجه به ساختار معنایی، درستی و تمامیت ضعیف این حسابها اثبات شده است.