گروه g دقیقا غیر x نامیده می شود اگر g در کلاس x نباشد اما همه خارج قسمت های محض آن x-گروه باشند. توصیفی از گروههای دقیقا غیر پوچ توان بوسیله متناهی و گروههای دقیقا غیر ابرحلپذیر بوسیله متناهی در این پایان نامه داده شده است.در این پایان نامه ثابت می شود، زیرگروه فیتینگ یک گروه دقیقا غیر پوچ توان بوسیله متناهی یا آبلی غیر تابدار یا آبلی از نمای p می باشد. بدیهی است هر گروه ساده نامتناهی یک گروه دقیقا غیرپوچ توان بوسیله متناهی می باشد لذا در این پایان نامه گروههای دقیقا غیر پوچ توان بوسیله متناهی را با زیرگروه فیتینگ غیر بدیهی بررسی می کنیم. گروههای دقیقا غیرپوچ توان بوسیله متناهی و گروههای دقیقا غیر ابرحلپذیر بوسیله متناهی با توجه خاصی به گروههای منولیدیک بررسی می شوند.

هدف این پایان نامه مطالعه گروههایی با تعداد متناهی نرمالساز از زیرگروههایی می باشد که خاصیت tندارند. در فصل اول به بیان تعاریف و قضایای مقدماتی پرداخته ایم که در فصول دوم و سوم به آنها پرداخته ایم که در فصول دوم و سوم به آنها احتیاج داریم.این فصل مشتمل بر 8 بخش شامل جابجاگرها، گروههای عملگر، شرایط ماکسیمال و مینیمال،گروههای حلپذیر و پوچتوان، سریهای مرکزی بالایی و پایینی ، بستار نرمال متوالی،کلاس گروهها و گروههای چند دوری می باشد. در فصل دوم به بررسی t-گروههای حلپذیر می پردازیم که شامل دو بخش x_k-گروهها و گروههایی است که بخش ساده نامتناهی ندارند. هم چنین در فصل سوم به بیان نتایج اصلی در مورد گروههایی با تعداد متناهی نرمالساز از زیرگروههای بدون خاصیت نرمال متعدی می پردازیم که دارای 6 بخش می باشد. این فصل شامل it-گروهها ، گروههای موضعا چند دوری ، گروههای حلپذیری که چرنیکف نمی باشند، گروههایی که دارای یک زیرگروه نرمال آبلی دوره ای آزاد می باشند ، گروههای دارای پوشش متناهی و قضیه اصلی می باشد.

گروه های بل نوعی از گروه ها هستند که ابتدا توسط برندل در سال 1987 مورد مطالعه قرار گرفت و در ادامه توسط برندل و کاپه در سال 1989 این بررسی ها ادامه یافت. در بخشی از این پایان نامه ثابت می کنیم که اگر g یک گروه n – بل باشد، آنگاه دارای نمای متناهی است که تنها به n وابسته می باشد. علاوه بر این به طور موضعی متناهی یا g دارای زیرگروه به طور متناهی تولید شده ای مانند h است به طوری که یک گروه نامتناهی از نمای متناهی است. بعلاوه با استفاده از این مطلب که اگر g یک گروه n – بل باشد آنگاه گروه خارج قسمتی دارای نمای متناهی است که آن را عاد می کند، نشان می دهیم این کران می تواند دقیقتر شود. علاوه بر این ثابت می کنیم هر گروه n – بل یک گروه n – پوچ توان می باشد، در نتیجه با استفاده از نتایج بئر روی گروه های n – پوچ توان متناهی ساختاری از گروه های n – بل به طور موضعی متناهی بدست می آوریم. در نهایت گروه های n – بل به طور موضعی مدرج شده را برای مقادیر خاصی از n بررسی می کنیم.

بررسی شرایط توانایی گروههاو 2گروههای دو مولدی از کلاس پوچتوانی دو می باشد.

این نتایج اخیراً در مورد گروههایی با محدودیتهای مشابه روی زیرگروههای آبلی توسیع داده شده است. علاوه بر این رومالیز 1 و سسکین 2 روی گروه- هایی که همهی زیرگروههای غیرآبلیشان نرمال هستند، مطالعه داشتند. در این پایاننامه، گروههایی با شرایط نرمالی از نوع نویمن را برای زیرگروههای غیرآبلی بررسی میکنیم.

همه خودریختی های مرکزی، داخلی اند همه خودریختی های مرکزی،عناصر مرکز را ثابت نگه می دارند همه خودریختی های مرکزی، یک گروه پوچتوان که عناصر مرکز را ثابت نگه می دارند

خودریختی ? از گروه g را یک خودریختی مرکزی گوییم هرگاه ? بر عناصر گروه g/z(g) همانی القا کند. به عبارت دیگر برای هر عنصر g از g، g-1 ?(g) عنصری از مرکز g باشد. مجموعه ی همه ی خودریختی های مرکزی گروه g را با نماد autc(g) نمایش می دهیم. این مجموعه یک زیرگروه نرمال از گروه aut(g) تشکیل می دهد. اگر g یک گروه آبلی باشد آنگاه autc(g) با aut(g) یکسان خواهد بود. گروه خودریختی مرکزی یک گروه متناهی در بحث خودریختی ها از اهمیت بسیاری برخوردار است و پژوهشگران بسیاری به مطالعه و بررسی این گروه پرداخته اند. در این پایان نامه به طور کامل پوچ توانی و حل پذیری گروه خودریختی مرکزی یک گروه متناهی را مورد بررسی قرار می دهیم. ارائه ی شرایط لازم و کافی برای پوچ توانی گروه autc(g)در حالتی که g یک گروه متناهی است، از مهم ترین اهداف این پایان نامه است. در حالتی که g یک p-گروه متناهی است و در آن z(g) ? ?(g)، یک کران بالا کلاس پوچ توانی گروه autc(g)ارائه می دهیم. مشابه این کارها را برای بررسی حل پذیری گروه خودریختی مرکزی یک گروه متناهی انجام خواهیم داد.

در این پایان نامه به بیان مفهوم گردش پذیری و به طور ویژه ‎‎‎‎‎‎-s-x‎‎گردش پذیری‏ می پردازیم‏، و سپس این مفهوم را در تشکل گروه های ابر حل پذیر بررسی کرده‏، به ویژه ثابت می کنیم اگر ‎ g‎یک گروه‏‏، ‎ x‎زیر مجموعه ی غیر تهی از آن و h?g‎ ‏، k?g ‎ و ‎‎‎‎‎h‎‎ در‎‎‏ ‎‎‎g‎‎‏‏، ‎‎-s-x‎گردش پذیر باشد‏، آنگاه ‎hk/k‎ در ‎g/k‎، ‎ -s-xk/k گردش پذیر است. ‎‎ ‎‎فرض کنید? ‎‎‏ تشکل اشباع شده گروه های ابر حل‎‏ پذیر و ‎‎‎g‎‎‎‏ یک گروه باشد و همچنین فرض کنید ‎‎‎x‎‏ یک زیر گروه نرمال حل پذیر از ‎‎‎g‎‏ باشد در این صورت ‎‎‎g‎‏(ابر حل پذیر‎‎ است) اگر و تنها اگر زیر گروه نرمال ‎‎‎h‎‏ از ‎‎‎g‎‏ وجود داشته باشد به طوری که ‎‎‎g/h‎‎ ‏ ابر حل پذیر و‎ ‎‎هر زیر گروه ماکسیمال از هر سیلو زیر گروه ‎‎‎‎h‎‏ درg‎‏‏، ‎‎‎s-x‎‎‏-گردش پذیر باشد

فرض کنید g یک گروه باشد، a و bزیرگروههایی از آن و ??x?g. در این صورت دو زیرگروه a و x ،b -گردش پذیرند، اگر x شامل عنصری مانند x باشد به طوری که ab^x=b^x a. در این پایان نامه مشخصه هایی از کلاس گروههای حل پذیر، ابرحل پذیر و پوچ توان متناهی را بررسی می کنیم.

فرض کنید g گروهp-حل پذیر متناهی و p یک سیلوp- زیرگروه آن باشد. ثابت خواهیم کرد که اگر تمام اعضای p که مرتبه p هستند، مشمول در k-امین جمله از سری مرکزی بالایی p باشند، آن گاه p-طول g حداکثر m2+1 است، که در آن m بزرگترین عدد صحیحی است که .p^m-p^(m-1)?k

فرض کنیم g یک گروه و aut}(g) گروه خودریختیهای g‎ باشد. در این صورت برای هر عنصر را خودجابجاگر g و alpha می نامند و زیر گروههای ‎‎ ‎l(g)= lbrace gin g‎ ~ ‎vert‎ ~ ‎[g,alpha]= 1‎, ‎quad forall alphain { m aut}(g) brace‎ و ‎k(g)= langle [g,alpha]‎ ‎~vert~‎ ‎gin g‎, ‎quad alphain { m aut}(g) angle‎ را بترتیب مرکز مطلق و زیرگروه خودجابجاگر ‎g می نامیم. در فصل دوم پایان نامه خواصی از زیرگروه مرکز مطلق را بیان کرده و سپس شرایط کافی برای اینکه مرکز مطلق یک گروه غیر بدیهی باشد‏، ارائه می دهیم. در فصل سوم‏، ابتدا تعریف جدید گروههای ‎$‎a‎$‎-کامل را ارائه داده و سپس گروههای آبلی متناهی که ‎$‎a‎$‎-کامل هستند را مشخص سازی می کنیم. در ادامه زیرگروههای خودجابجاگر از وزن بالاتر را معرفی کرده و سپس تابعی بازگشتی تعریف می کنیم و با استفاده از آن زیرگروههای خودجابجاگر از وزن بالاتر گروههای آبلی متناهی را محاسبه می کنیم. همچنین مفهوم گروههای ‎$‎a‎$‎-پوچ توان را ارائه داده و گروههای آبلی که ‎$‎a‎$‎-پوچ توان هستند را دسته بندی می کنیم. در فصل آخر این پایان نامه‏، ابتدا به موضوع زیرگروه مرکزساز و گروههای n -مرکزساز می پردازیم. سپس با ایده گرفتن از این موضوع‏، تعاریف جدید زیرگروه خودمرکزساز و گروههای ‎n -خودمرکزساز را ارائه داده و در نهایت ساختار تمام گروههای n‎ -خودمرکزساز با nleq 5‎را مشخص می کنیم. ‎

مجموعه ی همه ی خودریختی های مرکزی گروه g ‎ ‎‏ را با(autc (g ‏‎ ‎نشان‎ می دهیم. زیرگروه ‎‎ h ‎ ‏ از گروه g ‎‏ را زیرگروه c ‎‎‏- مشخصه گوییم‏، اگر برای هر‎‏‏ ?? autc (g)، ‎?(h)=h. گروهg ‎‏ را گروه به طورc ‎‎‏- مشخصه ا ی ساده گوییم‏، اگر هیچ زیرگروه ‎‎ c ‎‎‏- مشخصه ی نابدیهی نداشته باشد. اگر هر زیرگروه از g‎‎‏‏، زیرگروه c ‎‎‏- مشخصه باشد ‎ ‏، آنگاه ‎‎ g ‎‏را گروه هم ددکیند نامیم. ‎‏ در این پایان نامه ابتدا برخی خواص از گروه های هم ددکیند ارائه می شود. از جمله اینکه اگر g ‎‏ حاصل ضرب مستقیم از دو گروه a‎‏و b‎‏ باشد‏، ارتباط بین ‏زیرگروه های هم ددکیند از g ‎‏ با زیرگروه های هم ددکیند a‎‏و b ‎‏ ‎‏را بررسی می کنیم. سپس‏ هدف ما پیدا کردن برخی شرایط لازم برای p ‎‎‏- گروه های خاص با دومین مرکز غیر دوری آبلی است که گروه های هم ددکیند می شوند و ارتباط بین گروه های ددکیند (یعنی گروه هایی که هر زیرگروه آن نرمال است) و گروه های هم ددکیند را شرح می دهیم. در پایان گروه های به طور c- مشخصه ا ی ساده را توصیف می کنیم.

چکیده در مدلهای بهینه سازی ریاضی، غالبا عدم قطعیت داده ها در نظر گرفته نمی شود. اما در دنیای واقعی بیشتر مسائل بهینه سازی فاقد قطعیت در داده های خود هستند که این عدم قطعیت میتواند ناشی از عوامل مختلفی از جمله خطای اندازه گیری باشند. یکی از روش های بهینه سازی در شرایط کار با داده های مبهم روش بهینه سازی استوار است. اما این روش منجر به افزایش پیچیدگی محاسباتی می گردد. در این پایان نامه روش جدیدی در بهینه سازی استوار معرفی شده که انعطاف پذیری بیشتری از لحاظ نظری و عملی از ساختار استوار کلاسیک تضمین می کند. طیف گسترده ای از مسائل بهینه سازی ریاضی مانند بهینه سازی خطی ‎ (lp) ‎، بهینه سازی درجه دوم با قیدهای درجه دوم ‎ (qcqp) ‎، بهینه سازی مخروطی کلی از جمله برنامه ریزی مخروطی مرتبه دوم ‎ (socp) ‎، بهینه سازی شبه معین ‎ (sdp) ‎ را شامل می شود. روش ارائه شده به مدلساز این اجازه را می دهد تا میزان محافظه کاری جواب استوار را بویژه برای مدلهای ‎ sdp,socp,mip,lp‎ برحسب کران های احتمالی از انحراف های قید تغییر دهد در حالیکه مسئله را همچنان انعطاف پذیر حفظ می کند. این روش پیچیدگی محاسباتی مدل اصلی را حفظ می کند.

فرض کنید g یک گروه متناهی باشدو برای x,y?g که به دلخواه انتخاب شده اند، (d_2 (g احتمال اینکه x,y,y]=1] فرض شود. می خواهیم کران بالا و پایین برای(d_2 (g بدست آوریم،در حالی که مجموعه های {e_g (x)={y?g? [y,x,x]=1 برای هر x?g، زیرگروههای g هستند. همچنین مثالهای داده شده نشان می دهند که این کرانها، بهترین هستند.

مسائل بهینه سازی گسسته در شرایطی که داده ها تحت تأثیر عدم قطعیت هستند، مورد بررسی قرار می گیرد. در مدل های بهینه سازی ریاضی، فرض بر این است که داده های ورودی قطعی هستند و تأثیر عدم قطعیت پارامترها و شدنی بودن مدل نادیده گرفته می شود.