در مقاله ای فوکز، هینزر و البردینگ برای ایده آل های یک حلقه جابجایی، یک تجزیه به صورت اشتراکی از مولفه های ایزوله اولیه را بدست آورده اند. سپس فوکز و ریس این ایده ها را به شبکه های ضربی توسیع دادند. هدف از این پایان نامه توجه به این نکته است که در حالت شبکه ای برای ایده آل های یک حلقه جابجایی، تجزیه ارائه شده توسط فوکز و ریس، تجزیه بدست آمده در مقاله فوکز، هینز و البردینگ را نتیجه نمی دهد و دو حالت برای تجزیه فوکز و ریس بدست می آید. در یکی از این حالتها، با در نظر گرفتن خاصیت شبکه ای برای ایده آل های یک حلقه، تجزیه ارائه شده توسط فوکز، هینزر و البردینگ بدست می آید و در حالت دیگر، تجزیه ای که از برخی جهات برتر است نتیجه می شود.

در سال های اخیر موضوع بسیا مهمی که توسط کارشناسان نظریه گروههای متناهی برسی می شود، این است که چه ارتباطی بین اندازه کلاسهای تزویج یک گروه متناهی و ساختار آن گروه وجود دارد به عبارت دیگر اگر اندازه اگر اندازه کلاسهای تزویج یک گروه متناهی را بدانیم آنگاه در رابطه با ساختار آن گروه چه اطلاعات مفیدی می ‍ توان به دست آوریو در این پایان نامه فرض کنیم که g یک گروه متناهی باشد و مجموعه طول کلاسهای تزویج گروه g مجموعه {1,m,n,mn} باشد که در آن m و n اعداد طبیعی متباین هستند. در این صورت g حلپذیر است و نتیجه خواهیم گرفت که دg پوچتوان است و اعداد ائل p و q موجوداند بطوریکه m=p^a و n=q^b که در آن a و b اعداد صحیح نامنفی هستند.

فرض کنید m یک مدول متناهی مولد روی حلقه نوتری، جابجایی و یکدارr باشد. اگرr موضعی باشد، نشان داده می شود که m کوهن- مکالی تعمیم یافته است، هرگاه یک ایده الa موجود باشد، به طوریکه همه مدول های کوهمولوژی موضعیm ، نسبت به a با طول متناهی باشند. همچنین نشان داده می شود که اگرr یک عدد صحیحی باشد، به طوریکه(m) ??dim?_r 0?rآنگاه هر عضو ماکسیمال مجموعه غیر تهی {a:? نیست آرتینی h?_a^(i ) (m) طوریکه به باشد داشته وجود i?r} از ایده ال های r ، یک ایده ال اول است و برای هر i?r همه اعداد باس h_q^i (m) متناهی هستند.

فرض می کنیم r ‎ یک حلقه موضعی (نوتری) و جابجایی‏، ‎‎‎‎i‎ یک ایده آلی از ‎‎‎‎r‎ و ‎‎‎‎m‎‎‏، ‎n‎‎‎‎ دو ‎‎-r‎ مدول با تولید متناهی باشند. پس از بررسی خواص اساسی مدول‎‎های h‎‎‎‎_{‎i‎}‎^{‎i‎}‎(m,n) ‎‎ ‎نشان می دهیم‎‎ که ‎‎ f-depth (i+ann_{r}(m),n) = inf{ i?n_{0 | نیست آرتینیh_{i}^{i}(m,n)} سپس فرض می کنیم ‎‎‎‎t‎‎‎‎ یک عدد صحیح مثبت باشد. نشان می دهیم:‎ (‎1) اگر برای هر ‎ i<t ‎‎ -‎r ‎ مدول h_{i}^{i}(m,n) مینیماکس باشد‏، در این صورت برای هر ‎ i<t ‎ h_{i}^{i}(m,n) ‎-i هم متناهی است. (2)‎ ‎اگر ‎pd (m)=d<? ‎ و dim n=n<?در این صورت h_{i}^{d+n}(m,n) ‎‎ ‎-i هم متناهی و آرتینی است.‎ ‎همچنین‎ با ارائه یک مثال نشان می دهیم که هرگاه‎m ‎ یک ‎-r مدول دوری و غیرصفر‏، ‎n یک ‎-r مدول با تولید متناهی و ‎t‎‎‎‎ یک عدد طبیعی باشد به قسمی که برای هر ‎i<t ‎-r مدول های h_{i}^{i}(n) و ‎-r‎ مدول hom_{r}(m, h_{i}^{t}(n)) ، با تولید متناهی است‏، در این صورت ‎ ‎-r مدول h_{i}^{t}(n) ، لزوماً با تولید متناهی نیست.‎‎ بعلاوه، به عنوان هدفی دیگر‏، تعمیمی از قضیه برادمن-لشگری ارائه می دهیم. در انتها‏، با ارائه قضیه زیر به نتایجی مفید می رسیم. ‎قضیه: فرض کنیم ‎i‎ ایده آلی از ‎r‎ و ‎ m‎ ,‎n دو ‎-r مدول با تولید متناهی و غیرصفر باشند. اگر ‎t یک عدد طبیعی باشد، به قسمی که برای هر ‎i<t داشته باشیم: supp_{r}( h_{i}^{i}(m,n)) ?max(r) آنگاه برای هر ‎i< t ‎‎ -‎r مدول h_{i}^{i}(m,n) آرتینی است.

فرض می کنیم r ‎ یک حلقه موضعی (نوتری) و جابجایی‏، ‎‎‎‎i‎ یک ایده آلی از ‎‎‎‎r‎ و ‎‎‎‎m‎‎‏، ‎n‎‎‎‎ دو ‎‎-r‎ مدول با تولید متناهی باشند. پس از بررسی خواص اساسی مدول‎‎های h‎‎‎‎_{‎i‎}‎^{‎i‎}‎(m,n) ‎‎ ‎نشان می دهیم‎‎ که ‎‎ f-depth (i+ann_{r}(m),n) = inf{ i?n_{0 | نیست آرتینیh_{i}^{i}(m,n)} سپس فرض می کنیم ‎‎‎‎t‎‎‎‎ یک عدد صحیح مثبت باشد. نشان می دهیم:‎ (‎1) اگر برای هر ‎ i<t ‎‎ -‎r ‎ مدول h_{i}^{i}(m,n) مینیماکس باشد‏، در این صورت برای هر ‎ i<t ‎ h_{i}^{i}(m,n) ‎-i هم متناهی است. (2)‎ ‎اگر ‎pd (m)=d<‎ و dim n=n<در این صورت h_{i}^{d+n}(m,n) ‎‎ ‎-i هم متناهی و آرتینی است.‎ ‎همچنین‎ با ارائه یک مثال نشان می دهیم که هرگاه‎m ‎ یک ‎-r مدول دوری و غیرصفر‏، ‎n یک ‎-r مدول با تولید متناهی و ‎t‎‎‎‎ یک عدد طبیعی باشد به قسمی که برای هر ‎i<t ‎-r مدول های h_{i}^{i}(n) و ‎-r‎ مدول hom_{r}(m, h_{i}^{t}(n)) ، با تولید متناهی است‏، در این صورت ‎ ‎-r مدول h_{i}^{t}(n) ، لزوماً با تولید متناهی نیست.‎‎ بعلاوه، به عنوان هدفی دیگر‏، تعمیمی از قضیه برادمن-لشگری ارائه می دهیم. در انتها‏، با ارائه قضیه زیر به نتایجی مفید می رسیم. ‎قضیه: فرض کنیم ‎i‎ ایده آلی از ‎r‎ و ‎ m‎ ,‎n دو ‎-r مدول با تولید متناهی و غیرصفر باشند. اگر ‎t یک عدد طبیعی باشد، به قسمی که برای هر ‎i<t داشته باشیم: supp_{r}( h_{i}^{i}(m,n)) max(r) آنگاه برای هر ‎i< t ‎‎ -‎r مدول h_{i}^{i}(m,n) آرتینی است.

در این پایان نامه فرض می کنیم r یک حلقه جابجایی، نوتری و i ایده آلی از r و m وn ، -rمدول های غیر صفر باشند. نشان می دهیم که اگر m، -iهم متناهی،n با تولید متناهی و dimn?2 باشد، آنگاه برای هرi?0 ،(n,m) ? ext?_r^iیک -rمدول -iهم متناهی است. بعلاوه نشان میدهیم که اگرdimm?1 ، آنگاه برای هر i?0،-r مدول (n,m) ?ext?_r^i ، -iهم متاهی است. اگرi ایده آلی از r با بعد 1 باشد، یعنی1 dimr/i=، آنگاه برای هر i?0 ، و هر -r مدول با تولید متناهی m و -i، ?ext?_r^i (n,h_i^i (m) )،nهم متناهی است. همچنین نشان می دهیم که اگرr موضعی باشد، آنگاه برای هر -r مدول -i هم متناهی مانندm و هر-r مدول با تولید متناهی n که dimn?3، برای هر i?0، (n,m) ?ext?_r^i یک -rمدول -iهم متناهی ضعیف است. سرانجام نشان خواهیم داد که اگر r موضعی وn با تولید متناهی وm، -i هم متناهی باشد بقسمی که dimm?2، آنگاه برای هر،i?0 (n,m) ?ext?_r^i یک -rمدول -iهم متناهی ضعیف است.

گروههای پوچتوان و کلاسهای تزویج

هدف از انجام این رساله بررسی ساختار حلقه های روی گروههای بی تاب بوده و سعی بر آن است که با در نظر گرفتن خواص مربوط به برخی پایاهای گروههای بی تاب، که برخی از مهمترین آنها عبارتند از: نوع، رتبه، گروه همه ی ضربهای روی یک گروه و ...، خواص حلقه های روی گروه پیش بینی و تشخیص داده شود یا بالعکس. در منابع [1] و [2] اقدم و نجفی زاده با استفاده از مجموعه نوع برخی گروههای غیرپوچ از رتبه دو، حلقه های روی چنین گروههایی را شناسایی کردند. در این رساله ما این یافته ها را برای هر گروه بی تاب غیرپوچ از رتبه ی دو، توسیع داده و تعیین می کنیم که در یک گروه از رتبه ی دو یا یک گروه کاملاً تجزیه پذیر، چه زیرگروههایی می توانند ایده آل (زیر حلقه)، از هر حلقه روی گروه باشند. ‎همچنین برای گروههای از رتبه سه مشاهده خواهیم کرد که وجود یک حلقه ی غیر صفر روی گروه، محدودیت هایی را روی اعضای مجموعه نوع اعمال می کند. در ادامه نشان خواهیم داد که برخی روابط بین نوعهای جمعوندهای چنین گروههایی، وجود برخی حلقه های خاص روی گروه یا پوچ بودن آن را ایجاب کرده و همچنین گروه mult (a) را برای برخی از گروههای کاملاً تجزیه پذیر از رتبه ی سه مشخص خواهیم کرد. فصل آخر نیز به مجموعه ی هم نوع یک گروه بی تاب از رتبه ی متناهی اختصاص داده شده و در ابتدا سعی بر آن داریم که ارتباطی بین اعضای مجموعه ی نوع و هم نوع بیابیم. سپس اطلاعاتی راجع به مجموعه ی هم نوع یک گروه تجزیه پذیر به دست آورده و در انتها به شناسایی بهتر و معرفی رده ها ی خاصی از گروهها می پردازیم که در آنها شبکه ای از اتومرفیسمهای گروه، زیرگروههای تولید کننده ی گروههای خارج قسمتی را، بروی هم می نگارند.

در سال 2001 هاوی یک حدسی را مطرح کرد که اگر r یک حلقه ی جابجایی و کوهرنت باشد آنگاه یک ایزومورفیسمی از شبکه ها مابین کلاس زیرکاتگوری های کوهرنت از زیر کاتگوری کامل از کاتگوری r-مدولهای متناهیا نمایش داده شده و کلاس زیرکاتگوری های تیک از کاتگوری مشتق شده از هم بافت های کامل روی r وجود دارد. در این پایان نامه دو قضیه ی زیر را اثبات خواهیم کرد: قضیه a)فرض کنیم r یک حلقه ی جابجایی و نوتری باشد.دراین صورت هر زیر کاتگوری کوهرنت یک زیر کاتگوری سر است و ایزومورفیسمی از شبکه ها مابین کلاس زیرکاتگوری های کوهرنت از زیر کاتگوری کامل از کاتگوری r-مدولهای متناهیا نمایش داده شده و کلاس زیرکاتگوری های تیک از کاتگوری مشتق شده از هم بافت های کامل روی r وجود دارد. قضیه b)فرض کنیم r یک حلقه ی جابجایی و نوتری باشد.در این صورت ایزومورفیسمی از شبکه ها را مابین کلاس زیر مجموعه های تمامی ایدآل های اول r و کلاس زیر کاتگوری های کامل از زیر کاتگوری کامل از کاتگوری r-مدولهای متناهیا نمایش داده شده که تحت زیرمدولها و توسیع ها بسته هستند. علاوه بر این نشان خواهیم داد که کاتگوری گروههای آبلی p-کامل یک کاتگوری آبلی نیست.

فرض کنیم d درجه ی کاراکتر تحویل ناپذیری از یک گروه متناهی g باشد. چون d مرتبه g را می شمارد،برای عدد صحیحی مانند m می توان نوشت g|=dm|و چون g|?d^2|، داریم m?d.بنابراین می توان نوشت m=d+e که در آن e?0 . داریم (g|=d(d+e|.بدیهی است که e=0 اگر وتنها اگر g|=1|.مساله مورد نظر ما ارائه یک تابع چند جمله ای بر حسب e به عنوان کران بالایی برای مرتبه ی g است.

چکیده ندارد.