مرتب های ماکسیمال شامل یک حلقه ی ایدال ساز
Abstract
انگیزه ی اصلی برای این کار مطالعه ی مثال هایی از یک حلقه ی اول نوتری r و مرتب های ماکسیمال شامل r، بوده است. فرض می کنیم q یک حلقه ی خارج قسمتی ساده و آرتینی از r باشد؛ در جبر تعویض ناپذیر، مفهوم یک مرتب ماکسیمال در q که شامل r است تعمیمی از بستار صحیح یک دامنه ی صحیح جابه جایی در میدان خارج قسمتیش است. بنابراین در صورت جابه جایی بودن حلقه، فقط یک مرتب ماکسیمال با این شرط وجود دارد. ولی اگر r جابه جایی نباشد، ممکن است تعداد زیادی مرتب ماکسیمال روی q موجود باشد که شامل r هستند؛ پس طبیعی است که از خود بپرسیم چه تعداد از این مرتب های ماکسیمال موجود است؟ و اینکه آیا در یک روش کلی می توان همه ی آن ها را شناسایی کرد؟ برای این کار حالتی را که به طور طبیعی به وجود می آید، مورد توجه قرار داده و این مطلب را که آیا این حالت پتانسیل تعمیم به حالت های کلی تر را دارد یا خیر بررسی خواهیم کرد. فرض می کنیم c یک دامنه ی ددکیند جابه جایی، s یک c-مرتب ماکسیمال در حلقه ی آرتینی ساده ی q، k یک ایدال راست اساسی سره از s با شرط r ،sk=s حلقه ی ایدال ساز k و b کران k باشد. در این صورت مرتب های ماکسیمال در q که شامل r هستند در تناظر یک به یک با ایدال هایی از s می باشند که شامل k بوده و تحت ضرب از چپ در عناصر r بسته اند. سپس نشان می دهیم که مرتب های ماکسیمال شامل r در q، متناهی بوده و در تناظر یک به یک با ایدال های شامل b از s هستند. در این حالت ایدال وارون پذیر ویژه ای به نام x را که نقش مهمی در این مبحث ایفا می کند، معرفی کرده، نشان می دهیم که ترکیب با x روی مجموعه ی مرتب های ماکسیمال شامل r، همانند حاصل ضربی از ترانهش های مجزا عمل می کند. این مطلب ما را به دریافتن اینکه ایدال های وارون پذیر r چگونه با عمل ترکیب روی مجموعه ی مرتب های ماکسیمال عمل می کنند ؛ رهنمون می شود. در انتها توصیف کاملی از ایدال های وارون پذیر r و نحوه ی عملکرد آن ها ارائه می دهیم و به این نتیجه می رسیم که این عمل ترایایی است اگر و تنها اگر r موروثی باشد.