منظم بودن ارنز برای جبرهای ابر گروهی و جبرهای اندازه عمومی

فرض کنید که x یک فضای ابر گروه باشد. ثابت می کنیم که اگر محمل l (x) شامل نقطه همانی باشد، توپولوژی x گسسته است ، و اگر نقطه همانی نقطه تنهایی در محمل l (x) باشد، l (x) ارنز منظم نیست . احکام فوق زمینه را جهت بررسی "نتیجه یانگ " مهیا می کنند. ابتدا ثابت می کنیم که در فضای ابر گروه فشرده نتیجه یانگ درست است ، ولی، در حالت کلی، چنین نتیجه ای در ابر گروهها برقرار نیست . با ارائه مثالی، ثابت می کنیم که l (x) می تواند ارنز منظم باشد بدون آنکه x متناهی باشد. نتیجه دیگری که از مثال فوق حاصل می گردد این است که اگر بعد l (x) x l (x) برابر یک باشد، l (x) ارنز منظم است . در بخش دیگر، جبر جدیدی بنام "جبر اندازه عمومی" بر فضای اندازه m (x) تعریف می کنیم که ساختمان ریاضی آن جامعتر از ابر گروه است و پیچش آن حالت کلیتری از پیچش جبر اندازه تیلور را دارد. بر این جبر دو مفهوم جدید بنام "انتظام موضعی" و دیگری "انتظام نقطه به نقطه" تعریف می کنیم و تساوی و تمایز این مفاهیم را بر روی جبر اندازه عمومی مورد مطالعه قرار می دهیم. ابتدا ضابطه انتظام نقطه به نقطه را که مشابه با ضابطه "انتظام پیم" است بیان و ثابت می کنیم. سپس ، ثابت می کنیم که جبر اندازه عمومی ارنز منظم است اگر و فقط اگر موضعا منظم باشد. اگر x فشده باشد سه مفهوم انتظام، انتظام موضعی، و بالاخره انتظام نقطه به نقطه یکسانند. در مورد نامنظم بودن جبرهای اندازه عمومی ثابت می شود که اگر نقطه همانی نقطه تنهایی در محمل آن باشد و ضرب آن پیوسته منفک باشد، l (x) ارنز منظم نیست . با مثالهای متنوع ثابت می شود که جبر اندازه عمومی جامعتر از ابر گروه است و مفهوم انتظام نقطه به نقطه متمایز از انتظانم موضعی است .