بدست آوردن اطلاعاتی در مورد ساختار یک گروه با استفاده از درجات کاراکترها و طول کلاس های تزویج

فرض می کنیم گروه متناهی و ? مجموعه ای از اعداداول باشد. اعداد ( u_? (g و s_?(g) را بصورت (??irr(g) ?,?(1)?_?=1)? ?(1)?^2 = u_? (g)_? |(n_?=1)??_g (n)n? = |s_?(g _ ? تعریف می کنیم که در آن ? تعداد کلاس های تزویج از طول n است. ثابت می کنیم که: 1.گروه g حاصلضرب مستقیم یک p-گروه و یک p-گروه است اگرو فقط اگر u p? (g) = |g |p? |g : g |p 2.گروه g حاصلضرب مستقیم یک p-گروه و یک p- گروه است اگرو فقط اگر |s p? (g ) |= |g |p? |z ( g )|p همچنین فرض می کنیم گروه g حل پذیر باشد و (?(g گراف درجات کاراکتر گروهg باشد که مجموعه رئوس این گراف مجموعه مقسوم علیه های اول درجات کاراکترهای تحویل ناپذیر می باشد بطوریکه بین دو رأس p, q یک یال وجود دارد اگرو فقط اگر pq یک مقسوم علیه حداقل یک درجه کاراکتر تحویل ناپذیر باشد. ثابت می کنیم اگرg حل پذیر باشد و ? ={p , q,, r} سه رأس متمایز (?(g باشد، آن گاه (q,, r) یا (p , r) یا (p , q ) یک یا ل (?(g می باشد.