تعمیم هایی از ایده آل های اول

فرض کنید rیک حلقه ی جابجایی و یکدار باشد. تعمیم های متعددی از ایده آل های اول مورد بررسی قرار گرفته است. برای مثال یک ایده آل محض i از r به طور ضعیف اول است (به همین ترتیب، به طور تقریبی اول) اگر برای a,b متعلق به r که ab متعلق به i و مخالف صفراست، آنگاه a متعلق به i یا b متعلق به i. (به همین ترتیب اگر برای a,b متعلق به r که ab متعلق به i ولی متعلق به i بتوان دو نباشد، آنگاه a متعلق به i یا b متعلق به i). فرض کنید فی یک تابع باشد که از مجموعه ی تمام ایده آل های r به مجموعه ی تمام ایده آل های r به استثنای تهی تعریف شود. ایده آل محض i از r یک ایده آل فی - اول نامیده می شود اگر برای a,b متعلق به r که ab متعلق به r ولی متعلق به فی r نباشد، آنگاه a متعلق به r یا b متعلق به r باشد. نشان می دهیم که ایده آل های فی - اول دارای ویژگی های بسیار مشابهی با ایده آل های اول هستند.