در این پایان نامه برای گروه جابجایی موضعاً فشرده ی ، به بررسی زیرفضاهای تحت انتقال پایای می پردازیم. همچنین یک تابع در فضای اصلی تحت انتقال پایا پیدا می کنیم به طوری که انتقال هایش یک قاب پارسوال باشد و نشان می دهیم هر فضای تحت انتقال پایا را می توان به صورت جمع متعامد زیرفضاهایی نوشت که هر کدام از این زیرفضاها توسط یک تابع منحصر به فرد تولید می شوند که انتقال های آن تابع یک قاب پارسوال می باشد. در بخش دیگر با فرض اینکه یک خودریختی توپولوژیکی روی باشد، با تعریف یک تابع ضرب داخلی جدید روی ،که ضرب داخلی - براکت نامیده می شود، به بررسی مفاهیم - متعامد، نامساوی بسل و پایه ی - متعامد متناظر با ضرب داخلی معمولی فضای می پردازیم.