مسائل حساب تغییرات دسته ی مهمی از مسائل کنترل بهینه را تشکیل می موارد، بدست آوردن جواب آنها به کمک روشهای تحلیلی و همچنین به کمک روشهای مستقیم امکان باشد. ممکن است در مواردی که جوابی هم بدست می آید، دقت لازم را ارائه ندهد. هدف این پژوهش، مطالعه ی روشی برای بدست آوردن تقریبی از اکسترمم مسائل حساب تغییرات است. برای بدست آوردن اکسترمم مسائل حساب تغییراتی گوناگون، دو روش شبه طیفی ارائه می شود. یکی روش شبه طیفی چبیشف بر اساس ماتریس عملیاتی مشتق و دیگری روش شبه طیفی چبیشف بر اساس ماتریس عملیاتی انتگرال. در هر دو روش برای گسسته سازی شبکه از نقاط گره ی چبیشف و از چندجمله ای های لاگرانژ برای تقریب توابع مجهول استفاده می شود. در روش اول، برای یافتن تابع مجهول ابتدا آنرا در نقاط گره ای گسسته کرده و مقادیر تابع مجهول در این نقاط را به عنوان مجهولات جدید مساله در نظرمی گیریم. برای یافتن مقادیر مشتق تابع مجهول از ماتریس عملیاتی مشتق استفاده کرده و مقادیر مشتق تابع مجهول را بر حسب مجهولات مسلاه بازنویسی می کنیم. در روش دوم تابع مشتق مجهول مساله را به عنوان مجهول در نظر می گیریم و آنرا در نقاط گره گسسته سازی کرده و مقادیر تابع مجهول را بر حسب مجهولات می نویسیم. سپس برای تقریب عبارت انتگرالی مساله حساب تغییراتی ، از کوادراتور کلن شاو کرتیس استفاده کرده و پس از گسسته سازی شرایط مساله، مساله حساب تغییراتی را به یک مساله برنامه ریزی غیر خطی نبدیل می کنیم. با حل مساله جدید، جوابی تقریبی برای مساله حساب تغییراتی اولیه بدست خواهد آمد.

هدف از انجام این پژوهش بدست آوردن یک سری طرح های تفاضلات متناهی برای حل برخی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی غیر خطی بوده است. بدلیل پیچیدگی و غیرخطی بودن این معادلات بیشتر روش های عددی برای حل این معادلات با مرتبه دقت مطلوبی همراه نبوده است. در این پایان نامه با ارائه طرح های تفاضلاتی به حل این دسته از معادلات با مرتبه دقت مطلوب می پردازیم.

در این تحقیق روش جدیدی به نام روش شبه طیفی رادو‎ (rpm) ارائه شده است. (rpm) یک روش مستقیم است که با استفاده از پارامتر سازی معادلات وضعیت، کنترل وقیود دینامیکی توسط چندجمله ای لژاندر روی نقاط کوادراتور لژاندر- گاوس- رادو‎‎ ‎‎(‎lgr‎)‎‎‎پیاده سازی می شود‎. ‎‎‎از آن جایی ‎‎که در روش مطرح شده در این تحقیق، معادلات دینامیکی در نقطه پایانی هم مکان نمی شوند، لذا از روش شبه طیفی لباتو متفاوت است. این نشان می دهد که ‎شرایط ‎kkt‎ از ‎nlp‎ معادل با فرم گسسته شرایط لازم بهینگی مرتبه اول برای مساله کنترل بهینه است؛ بنابراین این روش قادر به ارائه تقریب دقیقی از هم وضعیت برای مساله پیوسته با استفاده از ضرایب ‎ kkt‎ از ‎nlp‎ است، با توجه به این که دینامیک ها در نقطه پایانی هم مکان نمی شوند، مقدار هم وضعیت در این نقطه از ‎$nlp‎ به دست نمی آید، با این حال این مقدار در زمان نهایی با استفاده از کوادراتور رادو به دقت قابل تخمین زدن است. روش مورد بحث به دلیل هم مکانی معادلات دینامیکی در نقطه ابتدایی متفاوت از روش شبه طیفی گاوس است؛ نتایج به دست آمده از این روش، مقدار کنترل در نقطه ابتدایی را به دست می دهد. روش شبه طیفی رادو، دارای مزایای بسیاری نسبت به روش های عددی به کار گرفته شده برای حل مسایل کنترل بهینه است که به برخی از آن ها اشاره می کنیم: پیاده سازی این روش آسان است و هرگونه تغییر در محدودیت ها را می توان در آن گنجاند.‎ می توان یک پاسخ بدون نیاز به حدس اولیه برای متغیرهای هم وضعیت مسأله، با استفاده از شرایط ‎ kkt به دست آورد‎. ‎متغیرهای هم وضعیت را می توان بطور مستقیم با استفاده از شرایط kkt‎ از ‎nlp‎‎ تخمین زد. مزیت نهایی ومهم روش شبه طیفی رادو، همگرایی نمایی سریع، نسبت به سایر روش های شبه طیفی است. این نرخ همگرایی، نشان می دهد با استفاده از این روش می توان جواب دقیقی برای مساله کنترل بهینه با استفاده از تعداد نقاط هم مکانی کمتر و زمان محاسباتی بسیار کمی نسبت به روش های دیگر به دست آورد. پاسخ سریع مساله همراه با تقریب دقیق برای متغیرهای هم وضعیت و کنترل اولیه، می تواند کنترل بهینه زمان-واقعی برای سیستم های غیر خطی را فراهم سازد.

در این تحقیق ابتدا به تعریف مسأله کنترل بهینه در حالت خاص و بعد در حالت کلی تری که توأم با قیود نامساوی روی متغیرهای وضعیت و کنترل باشد می پردازیم. با استفاده از روش شبه طیفی، مسأله کنترل بهینه که یک مسأله با بعد نامتناهی است به یک مسأله برنامه ریزی غیرخطی که مسأله ای با بعد متناهی است تبدیل می شود. در این مسأله برنامه ریزی غیرخطی هدف یافتن یک بردار از پارامترهای وضعیت که تابع هدف را تحت قیود جبری مینیمم می کند می باشد‎.‎ در بخش بعد، مفاهیمی از مینیمم سازی غیر مقید، مینیمم سازی با قیود مساوی و مینیمم سازی با قیود نامساوی از یک تابع مورد بحث قرار می گیرد. روش شبه طیفی بهبود یافته برای حل مسأله کنترل بهینه غیرخطی مورد استفاده قرار می گیرد. برای این هدف بازه زمانی مسأله، یعنی ‎ [t_0,t_f] ‎، به چند زیر بازه مساوی تقسیم می شود و هریک از زیربازه ها با یک تبدیل خطی به ‎ [-1,1] ‎ انتقال داده می شود. در هر زیربازه، متغیرهای وضعیت و کنترل توسط چندجمله ای های درونیاب لاگرانژ که مبتنی بر نقاط لژاندر-گاوس-لوباتو هستند تقریب زده می شوند. با استفاده از کوادراتور انتگرال و همچنین ماتریس عملیاتی مشتق بر پایه نقاط لژاندر-گاوس-لوباتو، مسأله کنترل بهینه به یک مسأله برنامه ریزی غیرخطی تبدیل می شود. با حل مسأله برنامه ریزی غیرخطی به دست آمده توسط الگوریتم های موجود، تقریبی برای جواب مسأله کنترل بهینه به دست می آید. در نهایت به اعمال روش شبه طیفی بهبود یافته روی بازه های نامساوی می پردازیم. در این قسمت، تقریبی برای جواب مسأله کنترل بهینه و همچنین نقاط شکست به دست می آید.

در این پژوهش، هدف مطالعه و بررسی روش تبدیل دیفرانسیل است. این روش با توجه به نیازهایی که به حل معادلات دیفرانسیل در شاخه های مختلف علوم و مهندسی وجود داشت، نخستین بار توسط ژو ‎ltrfootnote{zhou}‎پایه گذاری شد. این روش بر پایه روش سری تیلور است اما مشکلات اساسی روش تیلور، همچون محاسبه ی مشتق مراتب بالا را ندارد. با تمام ویژگی های خوب، این روش کاستی هایی نیز دارد که با کمک گرفتن از برخی تکنیک ها این مشکل نیز تا اندازه ای بر طرف می شود. در روش تبدیل دیفرانسیل یک بعدی به کمک تبدیل لاپلاس و تقریب پاده، همچنین با کمک تقسیم بازه ی معادله به بازه های کوچکتر می توان روش را بهبود بخشید. برای محاسبه تبدیل دیفرانسیل توابع غیر خطی نیز راه هایی پیش بینی شده است که در این پژوهش به آنها پرداخته می شود. این روش در ابعاد بالا نیز دارای مشکلاتی است که به کمک روش تبدیل دیفرانسیل تصویری این مشکلات مرتفع می شوند. در آخر، ثمره ی این مطالعات حل یک مسأله ی مقدار مرزی در شیمی و بیو شیمی و نیز حل معادله ی برگرز است، که ارائه خواهد شد.

هدف اصلی این پژوهش، حل عددی معادلات دیفرانسیل و انتگرال تعریف شده در بازه ی نامتناهی، با استفاده از روش های طیفی مبتنی بر چندجمله ای ها و توابع هرمیت است. ما با پیاده سازی روش بر روی برخی مثال های عددی، به مقایسه ی این روش با روش های دیگر می پردازیم و همچنین برخی قضایای همگرایی مربوط به این چندجمله ای ها و توابع بیان می گردد. در این تحقیق معادله ی بیضوی با پتانسیل هارمونیک در یک و دو بعد مورد بررسی قرار گرفته و روش ارائه شده برای مسائل غیرخطی دیگر نیز قابل اجرا است. همچنین با استفاده از نگاشت های مناسب توابع هرمیت را به بازه های نیمه متناهی و متناهی منتقل نموده ایم و سپس مسائل تعریف شده در این بازه ها را حل کرده و همگرایی آنها نیز بررسی شده است. به علاوه‏، صورت های مختلف معادلات لین-امدن را به عنوان مسائل مقدار اولیه ی منفرد روی دامنه ی نیمه متناهی و همچنین بعضی مسایل مقدار مرزی منفرد در بازه های متناهی ‎‎ازجمله معادله ی لیوویل-براتوو-گلفاند را با این روش حل کرده ایم. با به کارگیری این روش‏، اغلب ‎به‎ جواب های عددی با دقت مناسب می رسیم.

در این پایان نامه به ارائه یک روش عددی برای معادلات دیفرانسیل معمولی و همچنین معادلات دیفرانسیل جزئی پارابولیکی که در علم فیزیک ومهندسی دارای کاربردهای فراوانی هستند، پرداخته ایم.جواب های تقریبی این معادلات را با دقت مناسبی به دست می آوریم. در این پایان نامه علاوه برتعریف چندجمله های برنشتاین، به بررسی ویژگی پیوستگی، استقلال خطی و به بهترین تقریب با استفاده از چندجمله های برنشتاین می پردازیم.با استفاده از چندجمله های برنشتاین به محاسبه ماتریس های عملیاتی که شامل انتگرال، مشتق و حاصلضرب می پردازیم. سپس با استفاده از ماتریس های عملیاتی به حل مسایل مقدار اولیه و مرزی پرداخته می شود.

هدف از این پژوهش، بررسی سازگاری، پایداری و آنالیز همگرائی از یک روش جداسازی عملگر، یعنی روش جداسازی تکراری عملگر، با استفاده از شیوه های مختلف برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی می باشد. ایده این روش جداسازی مسائل پیچیده و تبدیل آن به مسائل ساده تراست بنابراین، هر زیر مساله با طرحهای تکراری ترکیب شده و با انتگرالگیریهای مناسب حل می شودآنالیزها بستگی به نوع عملگرهای مسائل دارند

در این رساله مسایل کنترل بهینه ی غیرخطی و تاخیری غیرخطی همراه با شرایط لازم برای بهینگی جواب آن ها معرفی شده و روش شبه طیفی گوس به منظور حل عددی مسایل کنترل بهینه ی تاخیری غیرخطی توسیع داده شده است. بر این اساس ابتدا روش شبه طیفی گوس برای حل عددی مسایل کنترل بهینه ی غیرخطی به طور کامل توضیح داده شده و همچنین در راستای بیان اعتبار جواب های به دست آمده با استفاده از آن تعدادی قضایای تقریب موجود ارایه شده است. با تلفیق توابع بلاک - پالس و چند جمله ای های لاگرانز بر پایه ی نقاط لژاندر - گوس توابع ترکیبی معرفی شده و بر اساس آن توسیع روش شبه طیفی گوس بیان شده است. همچنین به عنوان بهبود روش برای حل مسایل کنترل بهینه ی تاخیری ماتریس عملیاتی مشتق مبتنی بر نمایش ضعیف عملگر مشتق معرفی گردیده و با استفاده از آن شیوه ی گسسته سازی مسایل کنترل بهینه ی غیرخطی و تاخیری غیرخطی به طور کامل شرح داده شده است. به منظور بیان اعتبار جواب های عددی به دست آمده با استفاده از روش جدید قضایای تقریب بیان شده در روش شبه طیفی گوس برای روش جدید تعمیم داده شده است. در آخر سه مساله ی کنترل بهینه ی غیرخطی و دو مساله ی کنترل بهینه ی تاخیری غیرخطی مهم حل و مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته و همچنین کاربرد روش جدید در حل عددی مسایل حساب تغییرات مسایل مقدار مرزی و مسایل معادلات انتگرال بیان شده است. با مشاهده ی جواب های عددی به دست آمده این مطلب به دست می آید که روش جدید برای تقریب جواب مسایل کنترل بهینه به طور هم زمان هم از دقت بالای روش شبه طیفی گوس برخوردار است و هم از ویژگی های ترکیب توابع بلاک - پالس و چند جمله ای های متعامد بهره مند می باشد. از یک سو دقت جواب های مبتنی بر روش جدید تا آن جاست که حتی در بعضی موارد منجر به تولید جواب دقیق می شود و از سوی دیگر دامنه ی کاربرد این روش تا آن جاست که از آن می توان در طیف وسیعی از مسایل از جمله معادلات دیفرانسیل معمولی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی و معادلات انتگرال استفاده کرد.