در این پایان نامه روشهای سازگار را برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی سخت مورد بحث قرار داده و به بررسیدو نوع روش مرتبه دوم برای حل دستگاههای سخت به فرم خودگردان می پردازیم. سپس یک الگوریتم برای انتخاب طول گام سازگار بیان می کنیم. این روند انتخاب طول گام به منظور کنترل رفتار جواب عددی می باشد. برای این الگوریتم یک تابع مانیتور معرفی میکنیم. در الگوریتم بیان شده طول گام تا جایی اصلاح می شود تا تابع مانیتور بین کران های مشخص شده توسط کاربر قرار گیرد. اجرای این روند، این ویژگی را به الگوریتم می دهد که برای مسایل سخت، با دقت نسبتا خوبی قابل بکار گیری باشد. در آخر نحوه اجرای این الگوریتم روی چند مساله سخت نشان داده شده است.