در این پایان نامه الگوریتم تقریب تصادفی را برای مساله برش بیشینه و مساله max-2sat ارائه می دهیم که جواب هایی با امید ریاضی حداقل 87856/0برابر مقدار بهینه به وحود می آورد. این الگوریتم از یک تکنیک ظریف وساده استفاده می کند که به طور تصادفی جواب را به رهاسازی بهینه سازی غیر خطی گرد می کند. بهترین الگوریتم تقریبی شناخته شده برای این مسائل تضمین عملی 5/0برای مساله برش بیشینه و75/0برای مساله max-2satدارد. توسعه حزئی تحلیل به الگوریتم 79607/0-تقریب برای مساله برش بیشینه جهت دار و الگوریتم 758/0 -تقریب برای مساله max-satمنتهی می شود که بهترین الگوریتم شناخته شده به ترتیب تضمین عملی 25/0و75/0داشت. این الگوریتم، اولین پیشرفت اساسی در تقریب برش بیشینه تا سال 1997و اولین کاربرد از بهینه سازی نیمه معین در طراحی الگوریتم تقریب می دهد. البته تقریب های بهتری نیز در سال های بعد به وجود آمده اند که در حوزه بحث این تحقیق نمی باشند.

دراین پایان نامه ابتدا به بیان تعاریف و مفاهیم مقدماتی از معادلات دیفرانسیل کسری می پردازیم .با توجه به اهمیت معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری در بسیاری از مسائل ریاضیات کاربردی ، فیزیک و مهندسی که در سال های اخیر مورد توجه فیزیک دانان ، شیمی دانان و مهندسان قرار گرفته است . به دلیل این اهمیت ، در این پایان نامه چگونگی جواب های دستگاه معادلات دیفرانسیل عادی از مرتبه کسری و نیز مسائل مقدار اولیه و مرزی روی آن مورد بحث و بررسی قرار می گیرد . بدین ترتیب که ابتدا قضایای وجود ویکتایی برای دستگاه معادلات با ضرایب ثابت و سپس برای دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری غیر خطی از مرتبه کسری بیان و فرم جواب آنها را با استفاده از مقادیر ویژه برای دستگاه با ضرایب ثابت و تابع گرین کسری برای دستگاه غیر خطی را معرفی می کنیم . و همچنین مسائل مقدار اولیه و مرزی روی آنها را مورد بررسی قرار می دهیم .

نگاشت a یکنوای ترکیبی نامیده می شود هرگاه نسبت به مولفه اول صعودی و نسبت به مولفه دوم نزولی باشد.قضایاو نتایجی درباره نقاط ثابت چندتابعی های انقباضی و نگاشت های یکنوای ترکیبی در فضای متریک و متریک مخروطی بررسی می کنیم.

با پیش رفت علوم، مسایل جدید و متنوع تری در بهینه سازی ایجاد می شوند. برای حل این نوع مسایل جدید، برنامه ریزی خطی را به برنامه ریزی نیمه معین مثبت توسیع دادند اما باز برنامه ریزی نیمه معین مثبت نیز نیاز به توسیع داشت که در سالیان اخیر به دو نوع برنامه ریزی مخروطی متقارن و برنامه ریزی مخروطی خودمقیاس توسیع پیدا کرد. اولین توسیع روش های نقطه درونی اولیه-دوگان بهینه سازی خطی به حالاتی کلی تر را «نستروف» و «تاد» انجام دادند. این دو شخص مفهوم مخروط خودمقیاس و تابع مانع خودمقیاس را بسط دادند و نشان دادند که یکی از روش-های اولیه-دوگان دارای پیچیدگی می باشد که در آن r پارامتر خودسازگاری مخروط است. هم چنین «گولر» ثابت کرد که مخروط های خودمقیاس و مخروط-های متقارن یکی هستند و در واقع الگوریتم نستروف-تاد اولین الگوریتم برای بهینه سازی مخروطی متقارن می باشد.در این پایان نامه هدف بر آن است که این دو نوع مساله بهینه سازی و روش حل آن ها را با استفاده از روش نقطه درونی توضیح داده و ارتباط آن ها را با سایر شاخه های علوم ریاضی شرح دهیم.

در این رساله به بررسی شرایطی روی عملگرهای تصادفی می پردازیم که تحت این شرایط، عملگرهای مورد بحث دارای نقطه ثابت تصادفی باشند. بعنوان نمونه خواهیم گفت کهممکن است عملگرهای تصادفی غیر پیوسته نیز نقطه ثابت تصادفی داشته باشند. علاوه براین بیان می کنیم که تحت چه شرایطی ، نگاشت هی تصادفی روی زیر مجموعه های بی کران یک فضای باناخ نقطه ثابت تصادفی دارند.

فرض کنید xوyفضاهای توپولوژیک باشند.نگاشت t:x?2y را یک چندتابعی و x?x را نقطه ثابت t گویندهرگاه x?tx. اگر e یک فضای باناخ باشدوp زیر مجموعه ای از e یک مخروط و r?? ، در این صورت a:p?p یک عملگر ?-محدب است هرگاه به ازای هر x?p و هر [0?1)t? داشته باشیم a(tx)?t?ax. در این رساله قضایا و نتایج مربوط به وجود و یکتایی نقطه ثابت توابع و چندتابعی های انقباضی، یکنوای ترکیبی، عملگرهای ?-محدب و ?-مقعر، جفت نگاشتهای سازگار و به طور ضعیف سازگار که در شرط انقباضی از نوع انتگرالی صدق می کنند، در فضاهای متریک، متریک کامل و باناخ بیان و ثابت می شود. همچنین قضایای نقطه ثابت جفت شده برای توابع با ویژگی –gیکنوایی ترکیبی در فضاهای متریک مرتب ارایه و اثبات خواهد شد.

در ابتدا با مضروب های موضعی تقریبی شروع می کنیم و بررسی می کنیم که در چه شرایطی مضروب های موضعی تقریبی ، مضروب می شوند. سپس در فصل بعدی به تبیین ارتباط مضروب ها با اشتقاق ها پرداخته و بررس می کنیم که چه شرایطی لازم است که اشتقاق های موضعی تقریبی ، اشتقاق شوند. در فصی بعدی به تعریف جبر های باناخ موضعاٌ یکال پرداخته و نتایج بدست آمده را برای این جبر ها گسترش می دهیم. در آخر نتایج بدست آمده را بر روی جبر باناخ تولید شده توسط خود توان ها ، جبر باناخ تولید شده توسط خود الحاق ها ، جبر گروهی از sin-گروه و گروه کلاٌ ناهمبند می آوریم.

در این پایان نامه مفهوم فضاهای متریک مخروطی معرفی و نتایجی را درباره قضایای نقاط ثابت و نقاط ثابت مشترک توابع انقباضی ارائه داده و ویژگی km را به فضاهای متریک مخروطی تعمیم داده و چند قضیه نقطه ثابت را در این خصوص ارائه می دهیم. همچنین فاصله بین دو مجموعه را در فضای متریک مخروطی منظم تعریف و نتایجی را در مورد بهترین تقریب در این فضاها بدست می آوریم. بعلاوه نقطه ثابت چندتابعی های انقباضی را بررسی و نتیجه اصلی مان را که بیان می کند هر تابع شبه انقباضی در فضای متریک مخروطی نقطه ثابت منحصربفرد دارد ثابت می کنیم. در نهایت فضاهای متریک مخروطی مرتب توصیف می شوند و t-پایداری تکرارهای picard و mann برای توابع انقباضی بررسی می شود. سپس هم ارزی t-پایداری برخی رویه های تکراری را مطالعه می کنیم.

در این رساله، به بررسی چند نتیجه نقطه ثابت روی فضاهای(0)cat و r- درخت ها می پردازیم. فضاهای (0)catاز دیدگاه های فیزیکی و هندسی حاصل شده و مربوط به تئوری خمینه ها می باشند. به علاوه، به بررسی برخی از قضایای تقریب مرتبط با تئوری نقطه ثابت نیز می پردازیم. در این راستا، ابتدا مسیر ژئودزیک را تعریف و بر اساس آن، فضاهای (0)cat وr-درخت ها را تعریف می کنیم. در فصل اول، تعاریف، مقدمات و قضایای موردنیاز این رساله را ارایه می نماییم. در فصل دوم، ?- همگرایی در فضای (0)cat را بررسی و بر اساس آن، چند قضیه نقطه ثابت برای برخی نگاشت های غیر توسیعی، شبه غیر توسیعی و چند تابعی ها بیان می کنیم. در فصل سوم به ارایه نتایجی درباره تقریب های پایای نگاشت ها و چند تابعی های تعویض پذیر خواهیم پرداخت. بالاخره، در فصل چهارم چند قضیه تقریب مرتبط با تئوری نقطه ثابت را برای چند تابعی ها و نگاشت های غیر توسیعی و نگاشت های تقریباً نیم پیوسته پائین روی r-درخت ها ارایه خواهیم نمود.

در این پایان نامه، برخی نتایج نقطه ثابت، بخصوص چند نتیجه غیر کلاسیک را بررسی خواهیم نمود. فرض کنید (x,d) یک فضای متریک و t یک خود نگاشت روی x و x_0 نقطه ثابت t باشد. بدیهی است که به ازای هر عدد طبیعی n ، x_0 نقطه ثابت t^n نیز هست. نکته جالب این است که عکس موضوع برقرار باشد، یعنی اگر به ازای یک عدد طبیعی m، x_0 نقطه ثابت t^m باشد، آن گاه x_0 نقطه ثابت t نیز باشد. در این راستا، مفهوم خاصیت (p) را برای خود نگاشت ها تعریف می کنیم. گوییم t دارای خاصیت (p) است هرگاه به ازای هر f(t)=f(t^n) ,n>1، که در آن (f(t مجموعه نقاط ثابت t است. در این رساله به بررسی نگاشت هایی خواهیم پرداخت که دارای خاصیت (p) باشند. خواهیم دید که نگاشت های غیر خطی، ناپیوسته و غیر کلاسیکی وجود دارند که دارای خاصیت (p) هستند. بالاخره، خاصیت (p) برای برخی نگاشت های روی فضاهای متریک مخروطی، متریک جزیی و فضاهای متریک مرتب را نیز مورد بررسی قرار خواهیم داد و نتایج جالب توجهی را در این زمینه ارائه خواهیم نمود.

نظریه نقطه ثابت و t-پایداری روشهای تکراری، از مفاهیم اساسی ریاضی هستند که در شاخه های مختلف مانند نظریه بازیها، معادلات دیفرانسیل، آنالیز عددی و غیره کاربرد دارند. در این پایان نامه t-پایداری روشهای تکراری و هم ارزی همگرایی روشهای تکراری مختلف را مورد بررسی قرار دادیم. این پایان نامه از چهار فصل تشکیل یافته است . در فصل اول به بیان تعاریف مقدماتی، در فصل دوم مطالب مربوط به هم ارزی همگرایی روشهای تکراری مختلف را مطرح کردیم. فصل سوم به مفهوم t-پایداری اختصاص دارد. تقریبا دو نوع مقاله در این خصوص وجود دارد. مقالاتی که به t-پایداری روشهای تکراری میپردازند و مقالاتی که به هم ارزی t-پایداری روشهای تکراری میپردازند. در فصل چهار به بررسی t-تقریبا پایداری روش تکراری مان پرداختیم که ابتدا با بیان مفهوم t-تقریبا پایداری و نگاشت فی-انقباضی، t-تقریبا پایداری روش تکراری مان را برای برخی نگاشتها بررسی کردیم.

هدف این پایان نامه بررسی یکدستی رده ی خاصی از جبرهای باناخ موسوم به جبرهای نیمگروهی است

وجود روشی جهت یافتن نقاط بهترین تقریب یک خود نگاشت از دو رویکرد قابل تامل است. اول اینکه مفهوم نقطه بهترین تقریب یک خود نگاشت، تعمیم مفهوم نقطه ثابت است و دوم، قضایای نقطه بهترین تقریب، در مقایسه با قضایای بهترین تقریب این برتری ارزشمند را دارند که از شرط پیوستگی نگاشتها کاسته و روشی برای تقریب زدن نقطه تقریب و بهترین تقریب را بدست می دهد. در این رساله وجود نقطه بهترین تقریب برای نگاشتهای دوری از دو رویکرد متفاوت مورد بررسی قرار گرفته است. در رویکرد اول از مفاهیم توپولوژیکی برای یافتن این نقاط استفاده نموده و در رویکرد دوم از ویژگی های توپولوژیکی کاسته و روابط ترتیب را جایگزین می نماییم.

در این پایان نامه تحلیل حساسیت مسایل بهینه سازی نیمه نامتناهی بررسی شده است. این مسایل به صورت خطی در نظر گرفته شده و پریشدگی در سمت راست قیدها، بردار هزینه و یا پریشیدگی همزمان آن ها فرض می شود. دو نوع افزار ارائه شده اند که با استفاده از آن ها، به بررسی رفتار تابع مقدار بهینه مساله بهینه سازی نیمه نامتناهی پرداخته و شرایط کافی برای خطی بودن تابع مقدار بهینه نسبت به پریشیدگی های مفروض، مطالعه می شود.

نظریه ‎ ‎kkm‎‎ توسط ناستر، کاراتوفسکی و در سال ‎1929‎ در فضای اقلیدسی‎‎‎‎ روی سیمپلکس ‎-‎nبعدی‎‎ مطرح و در سال ‎1961‎ تعمیم آن به فضای برداری توپولوژیک هاوسدورف زمینه ساز نتایج قابل توجه زیادی در آنالیز غیر خطی نظیر نظریه نقطه ثابت، بهینه سازی، نظریه بازی ها، نامساوی های مینیماکس و مسائل اقتصاد انتزاعی شد. همچنین بررسی قضایای نقطه ثابت برای چندتابعی ها در سال ‎1941‎ توسط کاکوتانی‎‎ در فضاهای با بعد متناهی آغاز شد و در سال ‎1950‎ بونن بلاست و کارلین این ‎نتایج را در فضاهای باناخ نامتناهی البعد و سپس فان‎ در سال ‎1952‎ در فضاهای موضعا محدب مطرح کردند. در این رساله نقش ‎-‎kkm‎‎نگاشت ها و ‎-‎kkmچندتابعی ها‎‎ را در نظریه نقطه ثابت بررسی می کنیم. بررسی قضایای نقطه ثابت نتیجه شده از اصل ‎ ‎kkm‎‎ از این جهت مورد توجه ریاضی دانان بوده است که در این نوع قضایا وجود نقطه ثابت را در ناحیه اشتراک متناهی مجموعه خاصی از مقادیر یک چندتابعی مورد بررسی قرار می دهند که البته در این نوع قضایا، این برقراری اصل ‎ ‎kkm‎‎ روی چندتابعی است که وجود اشتراک ناتهی را تضمین می کند. ‎این رساله به چهار فصل تقسیم شده است. در فصل اول تعاریف و لم های مقدماتی مورد نیاز در سراسر رساله آورده شده است. در فصل دوم ‎-‎kkmچندتابعی ها‎‎ و قضایای نقطه ثابت بدست آمده از آنها در فضاهای مختلف را مورد بررسی قرار دادیم. هدف از این فصل بررسی این مساله است که در حالت کلی‎ تغییر توپولوژی فضاهای مورد بحث خللی در وجود نقطه ثابت برای یک چندتابعی ایجاد نمی کند. در فصل سوم ‎-‎kkm‎‎نگاشت ها را در فضاهای محدب مجرد مطرح و فضاهای ‎ ‎kkm‎‎ را معرفی می کنیم. همچنین صورت های معادل اصل ‎‎kkm‎‎ را در فضاهای محدب مجـرد بررسی می کنیم. فصـل چهارم به نامسـاوی‎‎‎ مینیماکس فان که یکی از قضایای بنیادی در آنالیز تابعی غیر خطی و نظریه بازی ها است اختصاص داده شده است.

در این رساله به بررسی روش سوزوکی در نظریه نقطه ثابت خواهیم پرداخت. این روش تعمیمی جدید از اصل انقباضی باناخ است که در سال 2008 توسط سوزوکی معرفی شد و پس از آن توسط ریاضی دانان دیگر ادامه یافته است. در فصل اول، تعاریف، قضایا و لم های مورد نیاز را ارائه می دهیم. فصل دوم شامل برخی از کارهای قدیمی سوزوکی مانند تعمیم قضیه مایر-کیلر و برخی قضایای مربوط به نگاشت های غیرتوسیعی است. روش جدید سوزوکی و نتایج آن را در فصل سوم بررسی می کنیم. در فصل چهارم، قضایای مربوط به روش سوزوکی برای چندتابعی ها که توسط سوزوکی و دیگر محققین ارائه شده را بررسی خواهیم نمود.

فرض کنید (x,d) یک فضای متریک و? یک ترتیب روی x باشد که لزوما ارتباطی بین d و ترتیب ? وجود ندارد. در این حالت، (x,d,?) را یک فضای متریک مرتب می نامند. در سال های اخیر ثابت شده است که اغلب نتایج نظریه نقطه ثابت روی فضاهای متریک مرتب تعمیم نتایج مشابه روی فضاهای متریک هستند. در این رساله، برخی معادلات دیفرانسیل را معرفی نموده، برخی نتایج نقطه ثابت برای خودنگاشت ها و چندتابعی ها روی فضاهای متریک مرتب را بررسی و کاربردهایی از این نتایج را برای برخی معادلات دیفرانسیل ارائه می نماییم. این کاربردها معمولا در نظریه معادلات دیفرانسیل بررسی نمی شوند و موضوعی جدید در این گرایش هستند.

برنامه ریزی ریاضی(بهینه سازی) شاخه ای از ریاضی کاربردی است که در شاخه های مختلف علم چون صنعت، اقتصاد و...، کاربرد دارد. در برنامه ریزی با یک هدف و ناحیه ای که مسئله روی آن تعریف شده است (ناحیه جواب مسئله) روبرو هستیم،که هدف بیشینه یا کمینه کردن تابع هدف روی این ناحیه است. اما متناظر با اینکه تابع هدف یا ناحیه جواب مسئله خطی باشند یا غیر خطی، مسئله ی ما نیز برنامه ریزی خطی و غیر خطی، به طور متناظر، خوانده می شود. به دلیل خواص مسائل برنامه ریزی که از لحاظ تئوری برای بیان و تفسیر روش ها مناسب تر هستند، مبنا را در این رساله برنامه ریزی خطی می گیریم، و به طور خلاصه تر به برنامه ریزی غیر خطی خواهیم پرداخت. به طور خلاصه روش های نقطه درونی به روش هایی اطلاق می شود که با اتخاذ روندی در الگوریتم خود تکرارهای حاصل شده از محاسبات الگوریتم را درون ناحیه ی شدنی حفظ می کنند. این روش که در سال 1984 و با مقاله ی کارمارکار معرفی شد، به طور گسترده ای در شاخه های مختلف ریاضی و به خصوص برنامه ریزی گسترش یافت. نسبت به وضعیت های مختلف از مسائل، روش های نقطه درونی هم به اقتضای این وضعیت ها تغییر کردند و روش های نقطه درونی طیف گسترده تری پیدا کردند. مسائل نقطه ثابت به مسائلی اصلاق می شود که در آنها با فرض اینکه برای تابعی چون ، نقطه ای با این خاصیت که مقدار تابعش برابر خودش باشد، که دررساله پی یافتن آن هستیم.f:a?b حالت های خاصی هم برای نقطه ثابت و نواحی که تابع روی آن تعریف می شود، وجود دارد. هرکجا از رساله نیاز باشد این حالت های خاص و خواص آنها و روش های متناظر با آنها بررسی می شود. اما هدف اصلی در این رساله یافتن روابط و خواص مشترک در روش های حل مسائل برنامه ریزی ریاضی، با مسائل نقطه ثابت و روش های متناظر یافتن نقطه ثابت توابع با چنین خاصیتی، است. روش هایی چون روش هموتوپی که هم برای مسائل برنامه ریزی ریاضی در قالب الگوریتم های نقطه درونی ، و هم برای یافتن نقطه ثابت توابع، به کار بسته می شوند دارای خط سیر های بسیار متشابه در برنامه ریزی ریاضی و مسئله یافتن نقطه ثابت هستند.مفهوم های دیگری چون خاصیت نقطه ثابت در الگوریتم های نقطه درونی، موازی با آن خط سیر روش هموتوپی که برای یافتن نقطه ثابت توابع با چنین خاصیتی استفاده می شود دارای خاصیت حفظ نقطه درونی بودن تکرارها که مدنظر روش های نقطه درونی در برنامه ریزی ریاضی است، هستند. کلمات کلیدی: روش های نقطه درونی، برنامه ریزی خطی و غیر خطی، مسئله نقطه ثابت، روش های هموتوپی

در این پایان نامه مثالی از فضای باناخ ارائه می دهیم که اندیس عددیش به طور اکیدبزرگتر از اندیس عددی دوگان فضا است. اما حالت های خاصی می توان روی فضا ایجاد کرد که اندیس عددی فضا با اندیس عددی دوگان فضا برابر باشد (مثلاً اگر فضا انعکاسی یا دارای خاصیت رادون نیکودیم باشد). همچنین فضای باناخی ارائه می دهیم که پربار نیست ولی دوگان آن پربار است با این مثال نشان می دهیم که اندیس عددی یک معادل پرباری نیست.همچنین خاصیت های مشخصه برای فضای پرباری روی فضای خارج قسمتی از فضاهای l1(m)ونتایج جدید روی زیر فضاهای c-غنی از c(k) ارائه میدهیم. همچنین نشان می دهیم که فضای پربار ممکن است دوگان پرباری نداشته باشد ولی اگر دوگان دوم فضا پربار باشد حتماً خود فضا پربار است.

نظریه نقطه ثابت کاربردهای متعددی در حل مسائل معادلات دیفرانسیل، نظریه بازی ها و اقتصاد دارد. در این رساله چند نتیجه را برای ‎ نقطه ثابت برخی نگاشت ها و چندتابعی ها بررسی خواهیم نمود. در ادامه، مفهوم چندتابعی های نیم محدب را ارائه و نشان خواهیم داد که این مفهوم مستقل از مفاهیم قدیمی مرتبط است. همچنین نتایجی در خصوص نقطه ثابت چندتابعی های نیم محدب ارائه می کنیم. در سال 2008، سوزوکی تعمیم جدیدی از اصل انقباضی باناخ ارائه داد و بعد از آن برخی محققین آنرا به روش های مختلفی تعمیم دادند. در این رساله با ارائه یک روش جدید نشان خواهیم داد که بسیاری از این نتایج اخیر، حالت خاص این روش هستند. در ادامه به بررسی روش تکراری رایخ خواهیم پرداخت و با ترکیب آن با روش سوزوکی، نتایج جدیدی روی فضاهای متریک و گراف ها ارائه خواهیم نمود. بالاخره، اثباتی از قضیه کریستی روی گراف ها ارائه خواهیم نمود.

چکیده:نظریه نقطه ثابت, به خاطر کاربرد آن در حل معادلات دیفرانسیل و همچنین کاربرد ان در سایر شاخه های ریاضیات و نیز سایر علوم به زمینه مهمی از ریاضیات محض و کاربردی تبدیل شده است . محققین بسیاری تلاش نموده اند بین نظریه نقطه ثابت و گرایش های دیگر ریاضی، بخصوص توپولوژی جبری ارتباط برقرار کنند. بهترین روش برای ایجاد ارتباط، بررسی خواص توپولوژیک مجموعه نقاط ثابت چند تابعی ها است. همچنین افراد بسیاری سعی نموده اند نتایجی را در این زمینه با به کارگیری شرایط مختلف برای چند تابعی ها بدست آورند. در سال ‎2007‎، سنت مارین نتایجی را ارائه نمود که نشان می داد تحت چه شرایطی مجموعه نقاط ثابت مشترک دو چند تابعی می تواند درون بری مطلق برای فضاهای متریک باشد. در این رساله نتایج سنت مارین را تعمیم خواهیم داد. در سال ‎2012‎، صامت‎ و همکارانش روش جدیدی را در نظریه نقطه ثابت با به کارگیری تابعی مانند ‎ به عنوان یک ضریب ارائه نمودند. نتایج آنان بسیاری از نظریه های قدیمی مرتبط نقطه ثابت بخصوص روی فضاهای متریک مرتب را تعمیم می داد. در این رساله با بکارگیری متد سوزوکی و نیز به کارگیری روش جدید صامت و همکارانش، نتایجی ارائه خواهد شد که نتایج قبلی را بهبود خواهد بخشید. در سال های اخیر، نتایج متعددی درباره ی روش های تکراری برای نگاشت های مختلف ازجمله نگاشت های غیرمنبسط و هیبریدی تعمیم یافته ارائه شده اند. در فصل آخر این رساله به بررسی برخی روش های تکراری برای نگاشت های ‎هیبریدی می پردازیم و نتایجی جدید بررسی می شوند که برخی نتایج قدیمی مرتبط در این زمینه را تعمیم می دهند.

نظریه نقطه ثابت یکی از شاخه های ریاضی است که کاربرد فراوانی به خصوص در حل معادلات دیفرانسیل دارد. تعمیم های مختلفی توسط ریاضیدانان متعددی در این نظریه ارائه شده اند. یکی از این تعمیم ها مربوط به فضاهای متریک تعمیم یافته است. در این رساله تاریخچه ای مختصر از فضاهای متریک تعمیم یافته ارائه نموده و چند نتیجه درباره نقطه ثابت چندتابعی ها روی این فضاها ثابت می کنیم. در این راستا از تکنیک سوزوکی برای تعمیم برخی نتایج فدیمی استفاده خواهیم کرد. همچنین با ترکیب تکنیک اخیر صامت و تکنیک سوزوکی، نتیجی را درباره نقطه ثابت نگاشت ها و چندتابعی های انقباضی ثابت می کنیم. علاوه بر ارائه چند نتیجه در خصوص قضایای نقطه ثابت در فضاهای متریک جزئی، چند نتیجه را نیز درباره مسائل تعادلی بیان خواهیم نمود.

نظریه نقطه ثابت زوجی یک روش برای مشخص نمودن برخی ویژگی های فضاهای متریک است. در این رساله قضایای نقطه ثابت زوجی را برای برخی نگاشت ها و توابع مجموع مقدار ارایه خواهیم نمود. همچنین مفهوم نگاشت های ‎?-?-انقباضی را معرفی خواهیم کرد و به بررسی چند قضیه برای نقاط ثابت زوجی چنین نگاشت هایی می پردازیم. در این رساله قصد داریم نشان دهیم که بسیاری از نتایج نقاط ثابت زوجی ‏را می توان با به کارگیری ‎‏یک‎ روش ساده‏، از قضایای موجود نظریه نقطه ثابت بدست آورد. همچنین‏، به بررسی برخی کاربردهای نقطه ثابت زوجی به خصوص معادلات دیفرانسیل برای نگاشتهای انقباضی خواهیم پرداخت.

این پایان نامه شامل سه فصل می باشد که در فصل اول به ارائه مقدمات لازم برای آمادگی جهت مطالعه فصلهای بعدی پرداخته شده است. در فصل دوم به ارائه مفاهیمی از میانگین پذیری (انقباض پذیری) تقریبی و روابط بین این مفاهیم می پردازیم و سرانجام در فصل سوم تعمیم های تقریبی از میانگین پذیری مشخصه ای را ارائه داده و چند مثال در این مورد بیان می کنیم. همچنین در این فصل میانگین پذیری مشخصه ای تقریبی را برای برخی از گروه های موضعاً فشرده و نیم گروه های گسسته بررسی می کنیم. در این پایان نامه ثابت می کنیم که یک جبر باناخ میانگین پذیر ضعیف-ستاره است اگروتنهااگر میانگین پذیر مشخصه ای تقریبی است اگروتنهااگر انقباض پذیر مشخصه ای تقریبی است. بعلاوه نمونه هایی ارائه شده است که نشان می دهند میانگین پذیری مشخصه ای تقریبی، میانگین پذیری مشخصه ای یکنواخت تقریبی یکنواخت را نتیجه نمی دهد.

در این پایان نامه به چند سوال باز در نظریه ی میانگین پذیری تقریبی جبرهای باناخ پاسخ داده می شود. ابتدا مثالی از جبرهای باناخی ارائه می شود که میانگین پذیر تقریبی کراندار هستند اما واحد تقریبی کراندار ندارند. این پاسخ سوال بازی بود که سال 2000 قهرمانی و لوی وقتی مفهوم میانگین پذیری تقریبی را معرفی کردند مطرح بود. برای c_0 مجموع مستقیمی از جبرهای باناخ میانگین پذیر شرایطی را فراهم می کنیم تا میانگین پذیر تقریبی باشند و پس از بررسی جزئیات مثال های مطرح شده به سایر سوالات باز پاسخ می دهیم:دو مفهوم میانگین پذیری تقریبی کراندار و انقباض پذیری تقریبی کراندار یکی نیستند، مجموع مستقیم دو جبر باناخ میانگین پذیر تقریبی لزومی ندارد میانگین پذیر تقریبی باشد و یک ایده آل هم بعد یک در یک جبر باناخ میانگین پذیر تقریبی کراندار لازم نیست میانگین پذیر تقریبی باشد

در این پایان نامه نشان می دهیم که اندیس عددی یک فضای ‎-l‎محاط شده و اندیس عددی یکی از دوگان های آن برابر می باشد.در حالت خاص اندیس عددی پیش دوگان یک جبر حقیقی یا مختلط فون نیومن یا سه گانه‎jbw* ‎ با اندیس عددی خود فضا برابر می باشد. ما ثابت خواهیم کرد که اگر ‎ xیک فضای باناخ ‎-m‎محاط شده با اندیس عددی ‎1‎ باشد آنگاه هر زیرفضای بسته ‎ x**‎ شامل ‎x‎ نیز دارای اندیس عددی ‎ 1می باشد.(در حالت خاص x*‎ و x** دارای اندیس عددی ‎1‎ می باشند.) نشان می دهیم که هر فضای باناخ ‎x‎ که شامل یک نسخه c0 یا ‎است, یک نرم معادل را می پذیرد که برای آن اندیس عددی فضای دوگان آن اکیدا کوچکتر از یکی از فضاها می باشد. در حالت خاص از یک فضای جدایی پذیر ‎x‎ شامل c0 , در واقع این امکان وجود دارد که ‎ x‎را با مقدار ماکزیمم اندیس عددی دوباره نرم بندی کنیم( مثلا با 1 ) ‎در حالی که اندیس عددی دوگان خیلی کوچکتر می باشد(مثلا ‎0‎ در حالت حقیقی و ‎1e‎ در حالت مختلط).

در این پایان نامه ابتدا مفاهیم مشتق و انتگرال کسری به ترتیب از نوع ریمان-لیوویل و کاپوتو ارایه می گردد و خاصیت های مشتق ها و انتگرال های کسری بیان و اثبات می شوند. سپس در ادامه نظریه وجود جواب های مثبت دسته خاصی از معادلات دیفرانسیل کسری که شامل مشتقات چپ و راست ریمان-لیوویل می باشند را با استفاده از مباحث فضاهای متریک مخروطی و قضایای نقطه ثابت ارایه می کنیم. در نهایت وجود جواب های مثبت دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری را با استفاده از نظریه فضاهای باناخ مرتب شده و مخروط نرمال ارایه می کنیم.

‎‎‎‎بحث و مطالعه ی ‎‎مشتق و انتگرال گیری کسری حدود 300‎ ‎ سال پیش وقتی شروع شد که لایب نیتز این سوال را مطرح کرد اگر در فرمول مشتق معمولی ‎‎‎n=1/2‎ باشد چه ‎‎إتفاقی می ‎‎‎اُفتد. در آن زمان آبل و اویلر و... پاسخ هایی به این سوال دادند ولی این مفاهیم و مباحث هم چنان بدون توجه‎‎ باقی ماندند تا اینکه کاربردهای محاسبات کسری در فیزیک و مهندسی ظاهر شد به این صورت که وقتی برای پدیده های فیزیکی و مهندسی مدل ریاضی ساختند به معادلات دیفرانسیلی برخوردند که تابع مجهول در آن ها مشتق کسری پیدا کرد. دراین پایان نامه, ابتدا با استفاده از فرمول های انتگرال چندگانه پیوسته‏, انتگرال ‏و مشتق کسری به مفهوم ریمان-لیوویل و سپس خاصیت های این نوع از انتگرال و مشتق در طی چند لم و قضیه بحث می شود.‎‎ در ادامه, مسئله مقدار اولیه برای یک دستگاه از معادلات دیفرانسیل کسری بررسی می شود که هدف این پایان نامه اثبات تعدادی قضایای وجود و یگانگی جواب برای تعدادی معادلات دیفرانسیل کسری غیرخطی و سپس بررسی وجود و یگانگی جواب برای یک دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری می باشد. در پایان کاربرد های ا‏ین گونه معادلات را در علوم و مهندسی بیان می کنیم.

معادلات دیفرانسیل کسری کاربردهای بسیاری در فناوریهای جدید مانند توصیف پسبندگی یا کشش مواد پلاستیکی نانو و مدلهای اقتصادی و نظریه کنترل سیستمهای دینامیکی دارند. در معادلات دیفرانسیل اغلب از تکنیک های مشخصی مانند روش تکراری پیکارد برای حل معادله استفاده می کنند حال آنکه در حل معادلات دیفرانسیل کسری بهتر است از تکنیک های جدید برای حل این نوع معادلات استفاده نماییم. در این رساله با بکارگیری نظریه نقطه ثابت روی فضاهای متریک و متریک مرتب وجود جواب برخی از معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری با مشتق کسری ریمن لیوویل و مشتق کسری کاپوتو را بررسی می کنیم.

در این ‏پایاننامه ‏قصد داریم به بررسی نامساوی کوشی ـ شوارتز برای عملگرهای مختلط مقدار خود الحاق روی فضاهای هیلبرت بپردازیم. در این راستا مثال های مختلفی ارائه خواهیم نمود. ‎همچنین معکوس نامساوی مثلثی در ‏ ‎ c^{*} ‎ -‏مدول های هیلبرت را بررسی خواهیم نمود. بالاخره معکوس نامساوی های کوشی ـ شوارتز جمعی و ضربی را برای فرم های یک و نیم خطی مورد مطالعه ‏قرار خواهیم داد.

در چند دهه اخیر تلاش های زیادی برای ترکیب کردن نظریه نقطه ثابت با سایر شاخه های ریاضی از جمله معادلات دیفرانسیل،هندسه و توپولوژی جبری صورت گرفته است. درسال ‎2005‎ اچنکیو با ارایه یک اثبات کوتاه برای قضیه نقطه ثابت تارسکی ترکیب نظریه نقطه ثابت و نظریه گراف را شروع کرد. در سال ‎2006‎ اسپینولا و کرک ترکیب این دو نظریه را ادامه دادند و قضایای بسیار مفیدی ارائه نمودند‎‎‏. در سال ‎2008‎ یاچیمسکی با ادامه دادن این ایده ها قضایای مفیدی در باره گراف ها به اثبات رساند‎‎‎. بعداً دونالد ریگان در ‎2008،‎ بوژور در ‎2010،‎ بگ‏،بات و رادویویچ در‎2010،‎ اسپینولا و نیکولای در ‎2011،‎ اوریگان و پتروشل در‎2012،‎ بوژور در ‎2012‎، آل عمرانی نژاد‏، رضاپور و شهزاد در‎2012 ‎‏ ‎‎مقالاتی در این زمینه به چاپ رساندند. اخیراً این زمینه مورد توجه پژوهشگران این گرایش واقع شده است.

در این پایان نامه، کاربردی عددی از روش گالرکین سریع برای معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم را بااستفاده از موجک های تکه ای چند جمله ای نشان می دهیم. روی مسائل اساسی برای کاربرد عددی چنین روشی متمرکز می شویم که شامل یک انتخاب از استراتژی برش عملی، انتگرالگیری عددی انتگرال های منفرد ضعیف وکنترل خطای انتگرال گیری عددی می باشند.همچنین یک روش تکراری را برای حل دستگاه خطی فشرده شده حاصل به کار می بریم.

نظریه نقطه ثابت کاربردهای متعددی در حل مسائل معادلات دیفرانسیل، نظریه بازی ها و اقتصاد دارد. همچنین نظریه فازی در علوم مختلفی کاربرد پیدا کرده است. به عنوان مثال ریاضیات فازی در فیزیک ذرات~کوانتومی، به خصوص در ارتباط با نظریه ریسمـــان و ‎$epsilon$-‎بینهایت که توسط ‎{it‎‎ النشیه} معرفی شده است، را نام برد. نظریه نقطه ثابت نگاشتهای انقباضی در فضاهای متریک فازی شهودی به عنوان یک ابزار قدرتمند و مفید در آنالیز غیرخطی، بر تحقیق و پژوهش در شاخه مذکور از اهمیت ویژه ای برخوردار است. در این رساله نتایجی درباره نقطه ثابت انواع نگاشتها‏، به خصوص نگاشتهای ‎$alpha$-$psi$-‎انقباضی را در فضاهای متریک~فازی بررسی می کنیم. همچنین نتایجی از نقطه ثابت برخی چندتابعی های ‎$alpha$-$psi$-‎انقباضی روی فضاهای متریک فازی ارائه می کنیم.

نظریه نقطه ثابت کاربردهای متعددی در حل مسائل معادلات دیفرانسیل، نظریه بازی ها و اقتصاد دارد. نظریه نقطه ثابت ابزاری کاربردی در آنالیز غیر‎‎ خطی است و تکنیک های بسیار زیادی در این حوزه وجود دارد‎.‎ در این پایان نامه قصد داریم به برخی از تکنیک ها و تعمیم های جدید در این حوزه بپردازیم که اغلب مطالب درباره نگاشت های چند مقداری خواهد بود. در این راستا به معرفی نگاشت های ‎$ alpha $-‎انقباضی و ‎$ eta $-‎تعمیم یافته انقباضی ضعیف و بررسی نتایجی درباره خاصیت نقطه ثابت تقریبی چنین نگاشت هایی ‎می پر‎‎‎‎‎‎دازیم.

نظریه نقطه ثابت یکی از شاخه های مهم و اساسی در ریاضیات و آنالیز خطی و غیرخطی است.مهمترین نتیجه در نظریه نقطه ثابت اصل انقباض باناخ است. حالات مختلفی از این اصل در فضاهای متفاوت ارایه شده است و همچنین تعمیم های متعددی از آن برای نگاشت ها و چندتابعی های از نوع انقباضی به اثبات رسیده است. در این رساله ابتدا مفاهیمی از قبیل نگاشتها و چندتابعی های eta-پذیرفتنی، eta-منقبض، eta-همگرا،eta-psi-xi- انقباضی و غیره را تعریف نموده و به بیان نتایج در ارتباط با نقطه ثابت چنین چندتابعی هایی میپردازیم. همچنین مفهوم نقطه انتهایی را برای یک چندتابعی مطرح و به تعمیم برخی نتایج نقطه انتهایی می پردازیم

بسیاری از نگاشت ها وجود دارند که نقطه ثابت ندارند. در چنین موقعیتی، نقاط ثابت تقریبی نقش مهمی ایفا می کنند. نظریه نقطه ثابت تقریبی کاربردهای فراوانی در اقتصاد، نظریه بازی، برنامه ریزی دینامیکی، آنالیز غیرخطی، نظریه معادلات دیفرانسیل و چندین زمینه دیگر از آنالیز کاربرد دارد. بنابراین تحقیق و پژوهش در این شاخه از اهمیت ویژه ای برخوردار است. در این رساله سعی داریم نتایجی درباره نقطه ثابت تقریبی و نقطه ثابت انواع نگاشت ها بخصوص نگاشت های ‎$-alpha$‎انقباضی تعمیم یافته، انقباض های محدب تعمیم یافته و چند تابعی های را در فضاهای متریک بررسی کنیم. همچنین چند نتیجه درباره نقطه ثابت تقریبی و نقطه ثابت چندتابعی های ‎$-eta$‎انقباضی تعمیم یافته را نیز روی فضاهای متریک بررسی می کنیم.

بسیاری از پدیده ها در جهان ما اساساً غیرخطی هستند، و توسط معادلات غیرخطی ‎‏بیان شد‎‎‏ه اند. از آنجا که ظهور کامپیوترهای رقمی با عملکرد بالا، حل مسایل خطی را آسان تر می کند. با این حال، به طور کلی به دست آوردن جوابهای دقیق از مسایل غیرخطی دشوار است. روش عددی، به طور کلی محاسبه پیچیده مسایل غیرخطی را اداره می کند. با این حال، دادن نقاط به یک منحنی و به دست آوردن منحنی کامل که اغلب پرهزینه و وقت گیر است. علاوه بر این درک کامل و ضروری از مسایل غیرخطی مشکل است. روش های عددی و تحلیلی، دارای مزایا و محدودیت هایی است. به طور کلی روش های تحلیلی برای مسایل غیرخطی، مانند اختلال وجود دارد و با استفاده از روش های اختلال، بسیاری از خواص و پدیده های جالب و مهم از مسایل غیرخطی حل می شوند. روش های اختلال نقش مهمی در توسعه علوم و مهندسی دارد. این روش به دلیل سادگی در اجرا و دقت بالا، مورد توجه محققان ریاضی، فیزیک و علوم مهندسی در سرتاسر جهان قرار گرفته است. روش ‎$ l‎^{p}‎ $‎ و کاربرد آن درحل مسایل غیرخطی است.‎ روش ‎$ l‎^{p}‎ $‎ ‎‎ برای حل معادله غیرخطی پاره ای انتشار گاز در محیط متخلخل استفاده شده است که روابط جریان گاز حقیقی که در آنها خواص گاز به صورت تابعی ضمنی از دما، فشار و ترکیب بیان می شوند، همواره مورد بحث بوده اند. چرا که معادله انتشار جریان گاز غیرخطی می باشد. روش های مختلفی برای حل تقریبی معادله انتشار گاز حقیقی وجود دارد اما همه آنها دارای محدودیت هایی هستند، مثلاً برخی تنها در دامنه خاصی از فشار‏، ‏جواب می دهند و برخی در فضای غیرحقیقی ‎(لاپلاس)‎ می باشند. روش ‎ ‎$ ‎l‎^{p}‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ $‎ جواب هایی با دقت بالا در فضای حقیقی ارائه داده و نسبت به روش های موجود ساده تر می باشد. همچنین می توان از این روش در تحلیل داده های تولید و چاه آزمایی استفاده نمود و خواص مهم مخزن را نظیرتر سازند، ضریب پیوسته و...تخمین زد‎.‎ اولین بار در سال‎$ 1820 $‎ آبل در یکی از کارهایش با معادله انتگرال مواجه شد. البته نام تعداد زیادی از ریاضیدانان همچون کوشی-فردهلم-ولترا و دیگران به موضوع وابسته است.

در این پایان نامه به بررسی چند نوع معادله دیفرانسیل کسری با مشتق کاپوتو یا ریمان لیوویل با شرایط مرزی انتگرالی‏، متناوب و غیر متناوب می پردازیم. همچنین چند شمول دیفرانسیل مرتبه کسری با شرایط مرزی ‏انتگرالی‏، سیگما‏، خاص و غیر تناوبی را مورد بررسی قرار خواهیم داد. در این راستا از قضایای متعدد نقطه ثابت برای وجود جواب معادلات و شمول های دیفرانسیل کسری با شرایط مرزی مختلف استفاده خواهیم نمود.

در این پایان نامه ابندا تعاریف و قضایای اصلی میانگین پدیری ضعیف را بیان می کنیم سپس به بررسی میانگین پذیری ضعیف جبرهای برلنگ تعویض پدیر می پذدازیم و سپس در مورد 2- میانگین پدیری ضعبف روی جبرهای برلینگ به بررسی مس پردازیم. در فصل آخر نیز به بیان مسایل باز می پردازیم

در این پایان نامه، یک معاددله ولترا-هامرشتین غیرخطی منفرد ضعیف نوع دوم که با یک عملگر فشرده تعریف شده ارائه شده است و یک درونیاب نوع نیستروم از جواب بر پایه نقاط گاوس-رادو ارائه می دهیم. همچنین همگرایی دورنیاب را اثبات کرده و تقریبهای همگرایی را ارائه می دهیم. برای معادلات جبری غیر خطی، سرعت همگرایی را با استفاده از انتقال هموار بهبود می بخشیم. همچنین برای نشان دادن کارایی و دقت روش پیشنهادی چند مثال عددی ارائه شده است.

مدل سینک گالرکین برای جواب های عددی مسائل غیرخطی استفاده می شود که این مسائل غیر خطی شامل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و چهارم و ششم، همگن و غیرهمگن با شرایط مرزی کرانداری باشد. این طرح در چهار مسئله غیرخطی آزمایش شده است. نتایج بدست آمده نشان می دهد که قابلیت اطمینان و کارایی این الگوریتم بسیار بالاست.

در این پایان نامه چند مساله مقدار مرزی را برای معادلات کسری گسسته بررسی می کنیم. در این راستا توابع گرین و توابع کوشی مرتبط را بدست آورده و برخی از ویژگی های آن ها را برای چند مساله مقدار مرزی کسری از مرتبه ی? بین صفر ویک رابررسی می کنیم.

در این پایان نامه حالت قوی تر شده ای از صورت عمومی اصل بازتابی موضعی مورد بررسی قرار گرفته است. در آن، اصل بازتابی نسبت به زیر فضاها اضافه شده است. همچنین، کاربردهایی از این اصل در خصوص خاصیت تقریب کراندار برای زوج ها متشکل از فضاهای باناخ و زیر فضاهای آن ارائه شده است.

نظریه نقطه ثابت یکی از پر کابردترین ابزارهای انالیز غیرخطی می باشد. دراین نظریه نتایج مختلفی روی فضاهای متریک ثابت شده است و در طول چند دهه گذشته بسیاری سعی نمودند کشابه این قضایا را روی برخی فضاهای تعمیم یافته همچون فضاهای متریک مخروطی، شبه متریک و متریک جزیی بررسی کنند در این پایان نامه برخی نتایج قضایای نقطه ثابت روی فضاهای متریک جزی را بررسی می کنیم و با تئجه به مقاله ای که در سال 2013 چاپ شده است ، روی نکاتی تمرکز کنیم که برخی محققین به آن ها توجه نکرده اند.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

دراین پایان نامه حل مسئله برش-بیشینه با استفاده از روش برش های چندوجهی و قیمت گذاری بررسی می شود. دوگان مسئله رهاسازی نیمه معین از مسئله برش بیشینه به عنوان مسئله بهینه سازی خطی نیمه نامتناهی فرمول بندی می شود و سپس این مسئله با استفاده از روش برش نقطه درونی در مجموعه دوگان حل می شود(مرحله قیمت گذاری). صفحه های برش بر اساس نظریه چندوجهی از مسئله برش بیشینه به مسئله اولیه افزوده می شوند تا مسئله رهاسازی نیمه معین را بهبود بخشند(مرحله برش).

برای گراف g با مجموعه راس های v و یال های e و scv متناظر با مجموعه s که با (δ(s نشان داده میشود به صورت δ(s)={(i,j)∈e:i∈s,j∄s} است. اگر یال های گراف وزن های نامنفی |w=wij∈r|e داشته باشند آنگاه وزن برش به صورت w(δ(s) )=σ(i,j∈δ(s))wij تعریف می شود. مساله برش- بیشینه عبارت است از پیدا کردن برشی با وزن بیشینه در گراف که به صورت {max{w(δ(s))sv} فرمول بندی می شود.در این پایان نامه پس از بیان تعریف ها و قضیه های اساسی در فصل اول، روش گرادیان تصویر شده را برای حل مسایل بهینه- سازی خطی و غیرخطی معرفی می کنیم. آن گاه پس از معرفی بهینه سازی نیمه معین، شکل رهاسازی شده نیمه معین مساله برش- بیشینه را در نظر گرفته و آن را با استفاده از تجزیه چولسکی به شکل غیر خطی تبدیل می کنیم و پس از آن الگوریتم گرادیان تصویر شده را برای حل آن ارائه می دهیم و در پایان مزایا و تفاوت های این روش و روش مشابه که توسط هومر و پینادو ارائه شده است را با تعیین پیچیدگی الگوریتم بیان می کنیم.

فرض کنید x یک فضای برداری باشد. زیرمجموعه c را از x یک مخروط گوییم هرگاه برای هر 0 <λ داشته باشیم λcc. در این رساله توسط مخروط c یک رابطه ترتیب روی x تعریف می کنیم. خاصیت یکنوایی توابع را نسبت به این رابطه ترتیب تعریف می کنیم توابع یکنوا که روی مخروط دلخواه تعریف شده اند را بررسی و در نهایت مفاهیم متخلخل و σ- متخلخل را مطرح و نتایجی را درباره آنها ثابت می کنیم.

چکیده فرض کنید x و y دو فضای توپولوژیک و ? t:x یک چند تابعی باشد. تابع پیوسته f:x?y را یک انتخاب برای t نامند هرگاه برای هر x ? x داشته باشیم f(x) ? t(x). در این پایان نامه به بررسی شرایط کافی برای وجود انتخاب چند تابعی ها خواهیم پرداخت. قضیه مایکل یکی از مهمترین نتایج در این زمینه است. انتخابهای تقریبی و مساله تجزیه انتخابها نیز از موضوعات اساسی این پایان نامه می باشد. ما همچنین انتخابهای چندتابعی های لیپشیتز و چند تابعی های نا پیوسته پایینی را مورد بررسی قرار خواهیم داد. واژه های کلیدی: انتخاب پیوسته، چند تابعی، چند تابعی لیپشیتز، انتخابهای تقریبی، مساله تجزیه انتخابها.