در این رساله رده ایی خاص از گرافها به نام k-گرافها معرفی شده و نحوه نمایش و خواص اساسی این گرافها بررسی شده سپس بوسیله اطلاعاتی از سیستمهای دینامیکی که از انتقالهای دو بعدی حاصل شده اند خانواده ایی از 2-گرافها ساخته شده و ثابت شده فضای انتقال این سیستمهای دینامیکی با فضای مسیر های نامتناهی دو سویه این 2-گرافها همسانریخت است. در ادامه به معرفی c*-جبرهای k-گرافها پرداخته شده و برخی خواص اساسی این –c*جبرها بیان شده است. در بخش آخر وجود ویکتایی *c-جبرهای این 2 –گرافها ثابت شده و برخی خواص *c-جبر 2-گرافهای متناظر با سیستمهای دینامیکی مورد بحث در این رساله بیان شده است و همچنین ثابت شده است که *c-جبرهای این 2-گرافها ساده و یکدار می باشند.

گراف خوشه تخویل ناپذیر است اگر هر خوشه از اندازه خداقل دو یالی داشته باشد که در هیچ خوشه ی دیگری قرار نداشته باشد.گراف خوشه تخویل ناپذیر رأسی است اگر هر خوشه از اندازه رأسی داشته باشد که در هیچ خوشه ی دیگری قرار نداشته باشد.

در این پژوهش که به راهبردهای به کار رفته توسط تعدادی از دانش آموزان سال سوم متوسطه در رشته ریاضی فیزیک در حل 6 مسئله ریاضی غیر تکراری و نو پرداخته شده است، نگاهی خواهیم داشت. اطلاعات نشان می دهد که دانش آموزان رفتارهای زیادی از خود نشان داده اند که در این پژوهش آنها را به دو نوع حل کننده ماهر و تازه کار میشناسیم و با این وجود این دو اصطلاح به طور کامل گستره رفتارهای مشاهده شده را توصیف نمی کند، به این دلیل از تقسیم بندی دیگری تحت عنوان نگرش سطحی نگر و رویه نگر و عمقی نگر برای رفتارهای حل مسئله استفاده می کنیم. همچنین بررسی هر یک از موارد مطالعه نشان می دهد که هر شخص در فرایند حل مسئله در یک حوزه از مسائل رفتار پایدار و ثابتی در قالب تقسیم بندی سطحی نگر، رویه نگر و عمقی نگر نسبت به آن مسائل از خود بروز می دهد. در این پژوهش رفتارهای متداول حل مسئله را بیان می کند و به ذکر جزئیات هر سه نوع رفتار می پردازد.

صورت های عملگری نامساوی های عددی به شکل ها و روش های متنوعی مورد بررسی قرار گرفته اند. در این پایان نامه ضمن تعمیم نامساوی کلاسیک دانکل-ویلیامز در فضاهای نرم دار نمونه های متنوعی از صورت های عملگری آن را می یابیم و نیز چندین شرط لازم و کافی برای حالت تساوی ارائه می دهیم. در مطالعه نامساوی دانکل-ویلیامز در فضاهای دیگر، نخست آن را در فضاهای ضرب داخلی بررسی کرده و بر مبنای تعمیمی از آن به یک مشخصه سازی از فضای ضرب داخلی دست می یابیم. همچنین نامساوی دانکل-ویلیامز و تعمیم آن را در c*-مدول های ضرب داخلی ارائه می دهیم در پایان حالت تساوی را در تعمیم نامساوی دانکل-ویلیامز در c*-مدول های ضرب داخلی بر مبنای وجود حالت در c*-جبر زمینه مشخصه سازی می کنیم.

در این پایان نامه هم اشتقاق ها روی هم جبر ماتریس های حقیقی و هم جبر ماتریس های هم جبری مورد بررسی قرار می گیرند. هم جبر (c,?,?) روی میدان ?، عبارتست از فضای ?-خطی c به همراه نگاشت های ?-خطی ? : c ? c? c و ?: c ? ? به طوری که i ? ?) ? = (? ? i) ? و i? ?) ? = (?? i) ?. نگاشت ?-خطی f روی ?-هم جبر (c,?,?) یک هم اشتقاق نامیده می شود، اگر ?f = (i? f + f? i) ?. با اثبات این مطلب که هم جبر ماتریس های حقیقی یک هم جبر هم جدایی پذیر است، نشان می دهیم هر هم اشتقاق روی آن درونی است و سپس ساختار هم اشتقاق های روی این هم جبر را مشخص می کنیم. همچنین نگاشت برگشتی روی هم جبر ماتریس های حقیقی تعریف می کنیم که این هم جبر تحت آن یک *-هم جبر است و به بررسی *-هم اشتقاق ها روی این *-هم جبر می پردازیم. در قسمت دیگری از پایان نامه، ثابت می کنیم جبر لی شامل هم اشتقاق ها روی هم جبر دلخواه c با زیرجبری از جبر لی شامل هم اشتقاق ها روی هم جبر ماتریس های هم جبری روی c یکریخت است. همچنین نشان می دهیم که ویژگی درونی بودن اشتقاق ها و هم اشتقاق ها یک ویژگی دوگانی است و با استفاده از این مطلب هم اشتقاق ها روی هم جبر ماتریس های روی هم جبر c با بعد متناهی، را مشخص می کنیم.

دراین پایان نامه نشان خواهیم داد که ?- مرکز سازهای جردن و ?- مرکز سازهای موضعی تحت شرایط خاصی ?- مرکزساز هستند. همچنین نوع جدیدی از اشتقاق تعمیم یافته مرتبط با 2- همدورهای هوخشیلد بیان میکنیم و ثابت میکنیم چنانچه l یک cdcsl روی فضای هیلبرت مختلط جدایی پذیر h باشد و اگر(?, ?) یک اشتقاق تعمیم یافته موضعی ازalgl به یک algl - دومدول باناخ یکانی دوگان نرمالm باشد آنگاه (?, ?) یک اشتقاق تعمیم یافته است

توانایی فضایی، عددی، انتزاعی و کلامی معلمان ریاضی بر اساس پژوهش های گذشته ، مرتبط با تدریس ریاضی می باشد. همچنین نگرش ریاضی و خودکارآمدی ریاضی آن ها نقشی مهم در آموزش ریاضی بازی می کند. با توجه به رابطه ای که بین تونایی و انتخاب استراتژی های فرد در آموزش ریاضی وجود دارد و بر اساس نقش مهم میدان وابستگی در آموزش علوم، این مطالعه به بررسی رابطه بین سبک شناختی معلمان ریاضی و توانایی شناختی آن ها پرداخته است. همچنین رابطه بین میدان وابستگی معلمان ریاضی ،نگرش و خودکارآمدی آن ها مورد بررسی قرار گرفته است. 68 معلم زن ریاضی مقطع راهنمایی مشهد به سوالات این پژوهش پاسخ دادند. نتایج این پژوهش نشان داد که معلمان ریاضی با سبک شناختی میدان وابسته به طور معناداری، توانایی فضایی، عددی، انتزاعی و کلامی پایین تری نسبت به معلمان با سبک شناختی میانه و میدان ناوابسته دارند. مشخص کردن سبک میدان وابستگی معلمان ریاضی به ما کمک می کند تا معلمانی که نیاز بیشتر به دوره های ضمن خدمت را دارا می باشند ، شناسایی کنیم و آنان را در آموزش ریاضی به طور علمی یاری نماییم .همچنین فرصت هایی را برای دانش آموزان شان فراهم آوریم که بتوانند بین مفاهیم ریاضی ارتباط برقرار نمایند ، ایده ها و فهم ریاضی را گسترش دهند.

مهمترین مساله در علوم کامپیوتر و یکی از مسایل مهم قرن ریاضی اثبات یا رد حدس استیفن کوک است. این اهمیت از آنجا ناشی می شود که با اثبات یا رد این حدس دنیای علوم کامپیوتر و تمام شاخه هایی از ریاضیات که با این شاخه در ارتباطند، با تحولی عظیم روبرو می گردند. در این طرح رهیافتی هندسی به ایم مساله در پبش گرفته شده است.

در این رساله، به بررسی عملگرهای خطی کراندار و فشرده بر روی فضاهای برداری توپولوژیک و همچنین، همسانی های کراندار، کراندار کلی، و فشرده بر روی حلقه های توپولوژیک می پردازیم. در واقع، خواصی چون جبر توپولوژیک بودن و کامل بودن را برای رده های متفاوت از عملگرهای خطی کراندار بر روی یک فضای برداری توپولوژیک مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین، روابطی را بین عملگرهای خطی کراندار و عملگرهای فشرده بر روی یک فضای برداری توپولوژیک، به دست می آوریم. در ادامه، برخی نا مساوی ها را برای شعاع های طیفی تعریف شده برای یک عملگر خطی بر روی یک فضای برداری توپولوژیک به دست آورده و همچنین به عنوان یک کاربرد، شرایطی را برای معکوس پذیری هر رده از عملگرهای خطی کراندار مورد بررسی قرار می دهیم. به معرفی همسانی های گروهی کراندار بر روی یک حلقه توپولوژیک پرداخته و با تجهیز هر رده به یک توپولوژی مناسب، نشان می دهیم هر رده از این همسانی ها، نسبت به توپولوژی خاص هر رده، تشکیل یک حلقه توپولوژیک می دهد. در ادامه، همسانی های گروهی دو جمعی را بر روی یک حلقه توپولوژیک، مورد بررسی قرار داده و مشابه حالت همسانی های گروهی کراندار بر روی یک حلقه توپولوژیک، شرایطی را برای حلقه توپولوژیک بودن آن ها، مورد بررسی قرار خواهیم داد. همچنین، با معرفی همسانی های گروهی فشرده بر روی یک حلقه توپولوژیک، برخی روابط بین آن ها و همسانی های کراندار را، مورد بررسی قرار خواهیم داد. در پایان، همسانی های کراندار کلی را بر روی یک حلقه توپولوژیک معرفی کرده و با تجهیز آن ها به یک توپولوژی مناسب، خواص حلقه توپولوژیک بودن و کامل بودن را برای آن ها، مورد بررسی قرار خواهیم داد.

این پایان نامه شامل سه فصل است. فصل اول شامل سه بخش است. بخش یکم به مقدمات اختصاص دارد که در آن مفاهیمی اساسی از آنالیز مقدماتی بیان می شوند که در طول پایان نامه به کار رفته اند. در بخش دوم مجموعه ی فازی، مجموعه ی ‎آلفا-‎برش ها، میدان فازی و فضای خطی فازی روی آن را تعریف می کنیم. همچنین مفهوم عدد فازی، عدد فازی مثبت و اعمال ریاضی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد فازی را تعریف و روابط مرتب جزیی را برای مقایسه و شناخت و درک کامل تری از فضای اعداد حقیقی فازی ارائه می کنیم. پس از تعریف فضای برداری فازی روی مجموعه ی اعداد فازی به تعریف تابع توزیع و تابع توزیع مثبت می پردازیم و برای مجموعه توابع توزیع اعمال جمع، ضرب، ضرب اسکالر و همچنین یک رابطه مرتب جزیی ارائه می دهیم و کوچک ترین فضای برداری حقیقی شامل مجموعه ی توابع توزیع مثبت را می سازیم که در واقع یک جبر جابجایی و شرکت پذیر است که یکی از ضرب های داخلی فازی ارائه شده در فصل دوم، بر اساس آن تعریف می شود. در بخش سوم نرم فازی ای را تعریف می کنیم که وابسته به ضرب داخلی فازی جدیدی که در فصل سوم ارائه شده است، می باشد. همچنین پس از تعریف مفاهیم کوشی بودن و همگرایی دنباله ها بر اساس آن به تعریف فضای باناخ فازی می پردازیم. فصل دوم تنها جنبه معرفی ضرب های داخلی فازی ای که تا کنون ارائه شده است‏، را دارد. در هر بخش به تعریف یک ضرب داخلی فازی و نرم فازی وابسته به آن می پردازیم. فصل سوم که فصل اصلی پایان نامه است پنج بخش را در بر دارد. در بخش یکم ضرب داخلی فازی روی فضای برداری حقیقی را تعریف می کنیم و مثالی برای آن ارائه می دهیم. در بخش دوم نوعی عمود بودن را بر پایه ضرب داخلی فازی تعریف می کنیم و سپس به کمک آن، دو شرط از تعریف ضرب داخلی فازی را در قالب یک شرط بازنویسی می کنیم. همچنین در بخش سوم نوعی نامساوی کوشی-شوارتز را اثبات می کنیم. در بخش چهارم با استفاده از نامساوی کوشی-شوارتز ثابت می کنیم که ضرب داخلی فازی مذکور، نرم فازی ارائه شده در بخش سوم فصل اول که از نوع بگ و سامانتا است را تولید می کند و تعریفی از فضای هیلبرت فازی را بر پایه آن به دست می دهیم. در بخش پنجم صورتی از قانون متوازی الاضلاع را بیان و اثبات می کنیم و همچنین صورت معادلی برای آن ارائه می دهیم.

در این پایان نامه ابتدا مفهومی از‎f-متریک به عنوان نگاشتی با فاصله تابع مقدار، روی مجموعه ‎x‎ معرفی می شود و نظریه فضاهای ‎$f$-‎متریک بررسی میشود. نشان می دهیم که هر فضای متریک می تواند به عنوان یک فضای ‎f‎-متریک تلقی شود و هر فضای f‎-متریک می تواند به عنوان یک فضای توپولوژیک در نظر گرفته شود. علاوه بر این نشان می دهیم که رسته ی موسوم به گسترش یافته فضاهای ‎-f‎متریک، شامل رسته ی فضاهای متریک است. در ادامه یک فضای f‎متریک را معرفی می کنیم که به عنوان مکمل فضای ‎-f‎متریک است. به عنوان کاربردی در توپولوژی نشان می دهیم که هر فضای توپولوژیک نرمالf‎-متریک پذیر است.

می دانیم کوچکترین مولد نیگروههای یک پارامتری به طور یکنواخت پیوسته از همریختیها یک اشتقاق می باشد. در این رساله، ابتدا در مورد خواص sigma-اشتقاقها (نوعی از اشتقاقهای تعمیم یافته)، نظیر ارتباط آنها با اشتقاقهای معمولی، پیوستگی و تعمیم فوق اشتقاق و اشتقاق توانی برای این نوع از اشتقاقها بحث می شود. بعد از آن، نیمگروههای دوپارامتری و نیمگروههای دوپارامتری دوگانه را معرفی و نشان می دهیم که در شرایط خاص، مولد بینهایت کوچک آنها، به ترتیب، sigma-اشتقاق و (sigma, tau)-اشتقاق می باشند. در انتها نیز در مورد خواص نوع دیگری از اشتقاقهای تعمیم یافته با عنوان اشتقاق دوگانه مورد بررسی قرار میگیرید.

نظریه فردهلم را نسبت به هر ایدآل دلخواه روی جبرهای باناخ یکدار گسترش می دهیم. اگر ‎$ heta:mt alongrightarrowmt b$‎ نگاشت خطی و در حد ایدآل ‏غیراساسی پوشا باشد، در حالت هایی که ‎$mt c_r(mt a)$‎ یا ‎$mt c_r(mt b)$‎ جبر باناخ جابه جایی است یا ‎$mt a$‎ و ‎$mt b$‎، ‎$ce$-‎جبرهای یکدار یا ‎$mt a$‎ یک ‎$ce$-‎جبر یکدار از رتبه ی حقیقی صفر و ‎$mt b$‎ یک جبر باناخ یکدار باشد به بیان شرایطی می پردازیم که معادل با حفظ شدن عناصر فردهلم و نیم فردهلم (راست، چپ) توسط ‎$ heta$‎ ‏در دو جهت می باشد. همچنین نتایجی را در مورد نگاشت های حافظ انواع ضرب صفر بیان کرده و نشان می دهیم اگر ‎$ heta$‎ این نوع ضرب های صفر را( به طور اساسی) حفظ کند، آن گاه مجموعه عناصر نیم فردهلم و فردهلم نسبی توسط ‎$ heta$‎ در دو جهت حفظ می شود. ‎ همچنین نگاشت های فشرده ی طیفی را معرفی کرده و شرایطی را بیان می کنیم که این نگاشت ها تبدیل به همریختی جردن شده و ضرب های صفر و عناصر فردهلم را حفظ می کنند

برچسب گذاری دلپذیر یکی از شاخه های تحقیقاتی فعال در نظریه گراف هاست که در این زمینه مقاله های زیادی به رشته تحریر در آمده است. اما شمار مسایل حل نشده در این زمینه بسیار زیاد است. یکی از معروف ترین مسایل حل نشده حدس برچسب گذاری دلپذیر برای درخت های متناهی می باشد.

در ریاضیات‏، عمل مشتق گیری، اشتقاق گفته می شود. مبحث اشتقاق ها ارتباط نزدیکی با موضوع نیم گروه های یک پارامتری دارد. مولد بی نهایت کوچک ‎نیم گروه های یک پارامتری در شرایط خاص، همان اشتقاق است. اکنون تعمیم هایی از اشتقاق ها را به صورت جبری در نظر می گیریم. ‎$-sigma$‎اشتقاق هاو ‎$-(sigma‎, ‎ au)$‎اشتقاق هاتعمیم هایی از اشتقاق می باشند‏، که تعمیم هایی از نیم گروه های یک پارامتری‏، مرتبط با این اشتقاق های تعمیم یافته ‎ وجود دارد. در این رساله، ابتدا در مورد این گونه اشتقاق ها صحبت می کنیم، سپس تعمیم هایی از نیم گروه های یک پارامتری ارایه و در مورد ارتباط آنها با ‎$-sigma$‎اشتقاق ها و ‎$-(sigma‎, ‎ au)$‎اشتقاق ها بحث خواهیم کرد. در فصل اول ابتدا به بیان مقدمات این رساله می پردازیم که در سرتاسر این رساله با آن برخورد داریم. خواننده با این مطالب در دوره کارشناسی ارشد و دکتری آشنایی لازم را دارا می باشد و به همین خاطر از بیان اثبات و جزییات پرهیز شده است. در فصل دوم‏، بیشتر در مورد خواص جبری ‎$-(sigma, au)$‎اشتقاق پرداخته ایم که از مهم ترین این مطالب می توان به فرمول لایپ نیتز و برخی خواص جبری دیگر آن ذکر نمود و در انتهای فصل به بیان ‎$-(sigma, au)$‎اشتقاق های تعمیم یافته پرداخته ایم و همانند بخش اول این فصل‏، خواصی را ارائه نموده ایم. در فصل سوم در مورد پیوستگی و پیوستگی خود به خود ‎$-(varphi,psi)$‎اشتقاق ها که در آن ‎$varphi$‎ و ‎$psi$‎ همومورفیسم می باشند‏، بیان شده است و شرایط را بیان نموده ایم که به توان‏، قضیه کلینیکه-سیرکوف و قضیه ویلینت-وینتر را همانند اشتقاق های معمولی بیان نمود. و در فصل نهایی‏، به بیان نیم گروه های یک پارامتری و دو پارامتری و ارتباط این نیم گروه ها با ‎$-sigma$‎اشتقاق و ‎$-(sigma, au)$‎اشتقاق ها پرداخته ایم.

حدس رنگ پذیری مساوی ابتدا توسط میر در سال‎$ 1973 $‎ مطرح شد. چون در این حدس خاصیت رنگ پذیری مساوی به طور کامل معلوم نبود. پس از بررسی شواهد وو، لی و چن حدس ‎$ igtriangleup $-‎رنگ پذیری مساوی را در سال ‎1994‎پیشنهاد دادند. در این پایان نامه رنگ پذیری ‎$ r $-‎مساوی را معرفی می کنیم و حدس ‎$ igtriangleup $-‎رنگ پذیری مساوی را در گراف ها بررسی می کنیم و همچنین عدد رنگی مساوی ‎$ chi_{=}(t) $‎ و آستانه رنگی مساوی ‎$ chi^{*}_{=}(t) $‎ را با شرطی خاص برای درخت ها بدست می آ وریم و همچنین ‎$ k $-‎رنگ پذیری ‎$ r $-‎مساوی را برای درخت ها و جنگل ها بررسی می کنیم.

سالیان سال است که بشر به علم ریاضیات مشغول است, اما طی چند سده ی اخیر این علم همانند ابزاری قوی در اختیار دیگر علوم قرار گرفته است و دانشمندان در عرصه های مختلف به قدرت ریاضیات, این دانش باستانی, که برخی از آن به عنوان مادر علوم یاد می کنند پی برده اند و در راستای رسیدن به اهداف خود استفاده می کنند. حال اولین قدم در استفاده از هر علمی در علم دیگر, ساختن یک پل ارتباطی بهینه میان آن دو علم است. اولین و موثرترین گامی که ریاضیات و ریاضیدان برای ورود به سایر علوم می تواند بردارد, مدل سازی و تبدیل مسائل دیگر به زبان ریاضی است. پس از ایجاد این ارتباط, بسته به نیاز, هر یک از شاخه های ریاضی نظیر نظریه گراف ها, معادلات دیفرانسیل, بهینه سازی و غیره می توانند در خدمت گرفته شوند. از جمله دانش هایی که در دهه ی اخیر پیشرفت چشم گیری داشته شیمی بوده است. دانشمندان این رشته با بکارگیری از علم ریاضی سعی در پیشبرد در علم خود دارند و تا حدی ریاضیات برای آن ها نقش کاتالیزور را داشته و باعث تسریع در کارشان می شود. گراف های شیمیایی یکی از شاخه های علم ریاضیات شیمی است شاخه ای که به استفاده ی نظریه گراف در شیمی, جهت مدل کردن و دیگر موارد اختصاص دارد. ساختار مولکولی داروها و سایر ترکیبات شیمیایی را می توان به صورت اشکالی چندضلعی, مسیرها, درخت ها, گراف ها یا غیره مدل سازی نمود. هر اتم از مولکول به صورت یک رأس و پیوند کوالانسی بین اتم ها توسط یال های بین رأس ها نشان داده می شود. این ساختار برای یک ترکیب شیمیایی, گراف شیمیایی یا گراف مولکولی این ترکیب نامیده می شود. یکی از ابتدایی ترین مفاهیم در گراف های شیمیایی, مفهوم شاخص های توپولوژیک‎ است. شاخص توپولوژیک مفهومی کاملا گرافی بوده که کاربردهای مختلفی در نانوتکنولوژی, شیمی, علم مواد, داروسازی و دیگر عرصه ها دارد. شاخص توپولوژیک یک عدد حقیقی است که به یک گراف مولکولی نسبت داده می شود, این شاخص ها نسبت به یکریختی گراف ها پایا هستند, تا به حال چندین شاخص توپولوژیک تعریف شده اند و بسیاری از آن ها به عنوان وسیله ای برای مشخص کردن خاصیت های شیمیایی و فیزیکی مولکول ها استفاده می شوند.شاخص وینر‎ که به اختصار با w نشان داده می شود, اولین شاخص توپولوژیکی است که در شیمی استفاده شده است. شاخص وینر توسط شیمیدان, هارولد وینر, در سال ‎1947‎ برای نشان دادن رابطه ی بین خواص فیزیکی و شیمیایی, ترکیبات آلی و ساختار توپولوژیکی گراف های مولکولی آن ها, معرفی شده است. او در این سال شاخص وینر را برای بدست آوردن نقطه ی جوش پارافین معرفی کرد, به زبان شیمی شاخص وینر, برابر با جمع همه ی کوتاه ترین مسیرهای زنجیره کربن-کربن در یک مولکول می باشد. شاخص دیگری که پس از وینر تعریف شد, شاخص سگد می باشد. شاخص سگد به نوعی تعمیم شاخص وینر برای گراف های دارای دور است. این شاخص که به اختصار با‎s_z نشان داده می شود, توسط ایوان گوتمن در دانشگاه آتیلا جزف در سگد یکی از شهرهای مجارستان تعریف شد و همین عامل باعث نام گذاری این شاخص به این نام شد,خالی از لطف نیست یادآوری کنیم که گوتمن در مقاله سال ‎1994‎ خود, وجود شاخص سگد را حدس زد و به اختصار آنرا با ‎w*‎ نشان داد. در آن مقاله او هیچ نامی برای این شاخص ارائه نداده است. یکی دیگر از شاخص های توپولوژیکی که به تازگی معرفی شده است.شاخص پادماکار-ایوان می باشد این شاخص مخفف نام بنیان گذارانش, یعنی پادماکار خادیکار و ایوان گوتمن است و به اختصار با‎pi نشان داده می شود. این شاخص از شاخص هایی است که در پیش بینی داروها و نیتروبنزن ها کاربرد زیادی دارد. ترکیبات با ساختار مختلف و شاخص های توپولوژیک مختلف, حتی با یک فرمول شیمیایی, خواص مختلفی می توانند داشته باشند به عنوان مثال, کاکائین و اسکوپولامین هر دو با فرمول شیمیایی یکسان c_{17}h_{21}no_4‎, خواص مختلف و شاخص وینر متفاوتی دارند. هم چنین شاخص های توپولوژیک می توانند در ساختن یک ترکیب با خواص معین مورد استفاده قرار گیرند. بنابراین, مطالعه ی ساختار گراف مولکولی و هم چنین شاخص های توپولوژیک, در کنار فرمول شیمیایی واقعا مهم است. هدف اصلی این پایان نامه, محاسبه ی فرمول دقیقی برای شاخص های توپولوژیکی گراف های ترکیبی با استفاده از شاخص های توپولوژیک گراف های اولیه ی آن ها می باشد. این گراف های ترکیبی توسط اعمال گراف ها از جمله پیوند, ترکیب, ضرب دکارتی و ضرب سلسله مراتبی تعمیم یافته و غیره روی دو یا چند گراف اولیه بدست می آید. هر یک از این گراف های ترکیبی می توانند یک ترکیب شیمیایی باشند که از مولکول های معمولی ساخته شده اند. به عنوان مثال بنزن یک مولکول شیمیایی با شش کربن و شش هیدروژن است که به راحتی توسط یک شش ضلعی منتظم قابل نمایش می باشد. این مولکول در شیمی از اهمیت زیادی برخوردار است, زیرا مولکول هایی تحت عنوان بنزنویدها که مولکول های پرکاربردی هستند, از کنار هم قرار گرفتن این بنزن ها با پیوندهای مناسب ایجاد می شوند. ‎در فصل اول به توضیح اعمال گراف ها پرداخته ایم و پس از آن ارتباط نظریه گراف و شیمی و بدست آوردن گراف شیمیایی یک مولکول را توضیح خواهیم داد, برای رسیدن به این هدف ابتدا به مقدماتی از نظریه گراف نیازمندیم. مطالب این فصل به گونه ای تنظیم شده که خواننده بتواند در کمترین زمان, با اصلی ترین مفاهیمی که در فصل های بعد مورد استفاده قرار می گیرند, آشنا گردد. فضای اشیاء مورد مطالعه در این پایان نامه فضای گراف های ساده, بدون جهت و گراف های همبند هستند. در فصل دوم تعریف دقیقی برای شاخص سگد ارائه می دهیم, و پس از آن این شاخص را به روش ماتریسی برای پیوند و ترکیب گراف ها محاسبه می کنیم. در دو بخش آخر ابتدا فرمولی برای محاسبه ی شاخص سگد برای ضرب سلسله مراتبی تعمیم یافته ی گراف ها بدست می آوریم و در ادامه کاربردهایی از این عمل را در محاسبه ی شاخص سگد چند مولکول شیمیایی ارائه می دهیم. در فصل سوم ابتدا شاخص وینر را تعریف می کنیم, در ادامه به محاسبه ی این شاخص برای چند عمل دودویی گراف ها و چند مثال در محاسبه ی شاخص وینر برای این اعمال خواهیم پرداخت. در فصل چهارم, ضمن معرفی شاخص پادماکار-ایوان, ابتدا فرمولی برای محاسبه ی این شاخص برای پیوند و ترکیب گراف ها به روش ماتریسی ارائه می کنیم, در ادامه این شاخص را برای ضرب سلسله مراتبی تعمیم یافته ی گراف ها محاسبه کرده و در بخش آخر به بیان کاربردهایی از این عمل در محاسبه ی شاخص پادماکار-ایوان چند مولکول شیمیایی خواهیم پرداخت.

در این پایان نامه نتایجی در مورد اشتقاق ‏و‏ تعمیم های آن روی c*‎‏- مدول های هیلبرت و فضاهای عملگری وابسته به آن داده می شود. سه مشخص سازی برای ابر اشتقاق ها برحسب عناصری که حاصلضربشان نقطه جداکننده یا فشرده یا صفر است, داده می شود. ‏مشخص سازی دیگری ‏برای ابر اشتقاق ها به کمک عناصر تصویر ‏یک ‏جبر فون ‏نیومن نیز ارایه می شود. یک مشخص سازی از ابر اشتقاق های سه تایی روی جبرهای سه تایی ‏ارایه شده و نشان داده می شود هر ابر اشتقاق سه تایی قوی روی یک ‎c*‎‏- مدول هیلبرت (به عنوان یک ‎c*‎‏- ‏جبر سه تایی) ‎‎‎‎‎خود به خود پیوسته است. ‎‏بعلاوه یک مشخص سازی از ابر اشتقاق های لی روی جبر ‏دلخواه ارایه شده و ثابت می شود هر ابر اشتقاق لی قوی روی یک c*‎‏- جبر‎,‎ استاندارد و ‎‏همین طور روی یک ‎‎c*‎‏- جبر با مرکز متناهی البعد خود به خود پیوسته است.‎

متغیر های گراف، پارامتر هایی از گراف می باشند که تحت خود ریختی های گراف پایا هستند و شاخص های توپولوژیک، کمیتی عددی اند که به یک گراف نسبت داده می شوند، به طوری که تحت یک ریختی گراف ها پایا می باشند. در این رساله برخی از متغیر های گراف همچون شاخص وینر، سگد، پادماکار - ایوان، زاگرب و همبندی خروج از مرکز تحت اعمال گراف بررسی شده اند. همچنین، محاسبه برخی از متغیر های مربوط به تعدادی از مهم ترین گراف های شیمیایی به عنوان کاربردی از نتایج این رساله ارائه شده است.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

برای تعریف یک عملگر خطی کراندار بر روی یک فضای برداری توپولوژیک، چندین راه غیر هم ارز وجود دارد که این رده ها از عملگرهای خطی، جبرهای تو در تو از جبر عملگرهای خطی بر روی یک فضای برداری توپولوژیک تشکیل می دهند. برای هر رده یک توپولوژی مناسب قابل تعریف است. همچنین برای یک عملگر خطی بر روی یک فضای برداری توپولوژیک، چندین طیف و چندین شعاع طیفی وجود دارد که باکمک آنها و همچنین توپولوژی مناسب هر رده می توان همگرایی سری نیومن را در هر رده از عملگرها مورد بررسی قرار داد.

در این رساله به مطالعه اشتقاق های بی کران روی c*جبرها پرداخته شده و آنهایی که مولد گروه یک پارامتری از خودریختی ها هستند مشخص می شوند. همچنین یک حساب تابعی برای دامنه اشتقاق های بسته تعریف می شود. همچنین اشتقاق ها روی cجبرهای خاص مانند جبرهای uhfو cجبرهای شامل عملگرهای فشرده روی یک فضای هیلبرت بررسی می شوند. مولدهای بی نهایت کوچک روی *cجبرهای خاص مانند گروه*cجبرهای موضعا فشرده و حاصلضرب تانسوری آنها ساخته شده است.

در این پایان نامه، اشتقاق ها، فوق اشتقاق ها و انواع آنها مورد بررسی قرار می گیرند. فرض کنیم a یک جبر باشد، یک نگاشت خطی مانند d را یک اشتقاق می گوییم اگر برای هر a ,b در a داشته باشیم d (ab) = ad (b) + d (a )b. مفهوم جدیدی به نام (m,n)-اشتقاق دوگانه را در این رساله معرفی می کنیم که تعمیمی از مفهموم اشتقاق است. فرض کنیم m و n نگاشت هایی خطی روی a باشند، نگاشت خطی d روی a را یک (m,n)-اشتقاق دوگانه می نامیم اگر برای هر a ,b در a داشته باشیم (d(ab)=ad(b)+d(a)b+n(a)m(b)+m(a)n(b. خواص اولیه این نگاشت ها و پیوستگی خودکار آنها را مورد بررسی قرار می دهیم. فرض کنیم a و b دو جبر باشند، دنباله ای از نگاشتهای خطی مانند {d_n} را یک فوق اشتقاق می گوییم اگر برای هر a ,b در a و هر n در n داشته باشیم $(d_n(ab)=sum_{i=1}^n d_i(a)d_{n-i}(b$. یک مشخص سازی از فوق اشتقاق های از a به b بر حسب اشتقاق های روی b ارایه می دهیم. این مشخص سازی را برای توسیع هایی از مفهوم فوق اشتقاق به نام فوق اشتقاق جردن، تعمیم یافته و تعمیم یافته جردن تعمیم می دهیم . علاوه بر این نتایجی درباره پیوستگی خودکار فوق اشتقاق ها و انواع آنها به دست می آوریم .