تحقیقات زیادی در زمینه آماره های مرتب و کاربردهای آن برمبنای مستقل و همتوزیع بودن مشاهدات جامعه انجام شده است. در سالهای اخیر ؛ کاربرد آماره های مرتب حاصل از متغیرهای غیرهمتوزیع نظیر تشخیص داده های پرت و مقایسه استواری برآوردگر مورد توجه قرار گرفته است. در این پایان نامه موضوع فوق را مورد مطالعه قرار داده ایم. بعد از معرفی ابزار لازم نظیر پرمننت و لگ-مقعر بودن؛ برای مطالعه خواص توزیعی آماره های مرتب حاصل از متغیرهای غیرهمتوزیع؛ توزیع احتمال آماره های مرتب ارائه شده اند. در ادامه؛ برآوردگرهای استوار برای پارامتر جامعه نمایی در صورت وجود داده های پرت بدست آمده و مورد مقایسه قرار گرفته اند. در انتها؛ معیار نزدیکی پیتمن برای میانه جامعه در مو حالت مستقل و همتوزیع و مستقل و غیرهمتوزیع مورد بررسی قرار گرفته است.

فرآیند تصادفی خودمشابه بهترین روش برای مدل بندی داده هایی با حافظه طولانی مدت می باشد. دز این پایان نامه با این فرآیند و روش های برآورد پارامتر آن آشنا می شویم. همچنین مفاهیمی از موجک ها مطرح شده است و با استفاده از خواص ضرایب موجکی حرکت براونی کسری دو برآوردگر جدید برای پارامتر خودتشابهی معرفی شده است.

در این پایان نامه محکی برای منظم پذیری آرنزی نگاشت خای دوخطی روی فضاهای نرمدار مورد بررسی قرار می گیردکه بطور خاص روی اعمال مدولی باناخ بکار برده می شود.سپس به بررسی برخی شرایط پرداخته می شود که تحت آن دوگان دوم یک اشتقاق بتوی یک مدول باناخ دوگان دوباره یک اشتقاق است.

گرچه مسئله تک عضوی بودن هرزیرمجموعه تک دورپذیردرفضاهای نرم دارهنوزجواب قطعی ندارد امابسته به شرایطی روی مجموعه وفضا ,می توان تک عضوی بودن مجموعه تک دورپذیر رانتیجه گرفت. دراین پایان نامه به بررسی این شرایط درقالب قضایای مختلف درفضاهای گوناگون پرداخته ایم ازجمله فضاهایی که موردتحقیق قراردادهاایم ابتداحالت کلی فضاهای نرم داروسپس به صورت خاص درفضاهای متریک ,ضرب داخلی وفضای بانرم ناارشمیدسی می باشد. همچنین مسئله رادر?l مجموع ازفضاهای jbجبرباناخ نیزموردبررسی قرارداده ایم وبرای بررسی برخی شرایط لازم برای تک عضوی بودن یک مجموعه تک دورپذیر,قضایایی نیز از ÷یوستگی ونیم پیوستگی نگاشت دورترین نقطه آورده شده است.

در آمار استنباطی روش های زیادی برای تخمین پارامترهای مجهول وجود دارند‏، بطوریکه منجر به تولید برآوردگرهای متفاوت می شوند‏. زمانی که بیش از یک برآوردگر برای یک پارامتر مجهول در اختیار داریم‏، یافتن بهترین برآوردگر دارای اهمیت بوده و بدیهی است که قضاوت باید برمبنای معیاری معقول باشد. یکی از روشهای مقایسه برآوردگرها‏،‏ معیار میانگین مربعات خطا است. روش دیگری برای مقایسه برآوردگرها‏، معیار پیتمن نزدیکی می باشد‎‎ که بر احتمال پیشامدهای معین مبتنی است. این محک براساس فراوانی نسبت‎‎ نزدیکی برآوردگرها به پارامتر مجهول بنا شده است. خصوصیات و ویژگی های منحصر به فرد معیار پیتمن باعث شده است که توجه پژوهش گران بسیاری را به خود جلب کند‏، به طوری که در سال های اخیر به شکل گسترده ای توسعه یابد. هدف اصلی این پایان نامه معرفی معیار پیتمن نزدیکی و انتخاب بهترین برآوردگر با استفاده از معیار پیتمن می باشد. در این راستا بهترین برآوردگرهای خطی نااریب و پایا حاصل از داده های سانسور نوع ii توزیع نمایی ‎یک پارامتری را معرفی کرده و آنها را براساس معیار پیتمن با یکدیگر مقایسه نموده و خصوصیات پیتمن یکنوایی و پیتمن سازگاری را نیز بررسی می کنیم. سپس این نتایج را برای داده های رکوردی توزیع نمایی دو پارامتری تعمیم می دهیم. همچنین برآوردگرهای درستنمایی ماکسیمم و نااریب بطور یکنواخت با کمترین واریانس تابع قابلیت اعتماد توزیع نمایی یک پارامتری در سیستمی با ‎n‎ تعمیر مینیمال را مقایسه و در پایان‎‎‏، برآوردگرهای خطی را نیز براساس معیار پیتمن ارزیابی خواهیم کرد.

در این رساله به مطالعه اشتقاق های لی روی جبرهای عملگری و جبرهای مثلثی می پردازیم. شرایطی را بررسی می کنیم که تحت آن یک اشتقاق لی روی این جبرها به شکل استاندارد ظاهر شود به عبارت دیگر، بتوان آن را به صورت مجموع یک اشتقاق جمعی و یک نگاشت مرکز مقدار که جابجاگرها را به صفر می نگارد تجزیه کرد.

فرض کنید {xi ,i?1} یک دنباله از متغیرهای تصادفی مستقل و هم توزیع باشد. به مشاهده بزرگتر (کوچکتر) از مشاهدات ماقبل خود رکورد بالا (پایین) گویند. این طرح به مدل کلاسیک رکورد معروف است. حال فرض کنید رکوردهای حاصل از دنباله x1، x2، ...، xk را مشاهده کنیم، که k یک متغیر تصادفی صحیح و نامنفی و مستقل از xiها است، در این صورت مدل تصادفی رکورد داریم. اگرk دارای توزیع هندسی باشد، گویند مدل تصادفی هندسی رکورد داریم که در این پایان نامه بیشتر مورد مطالعه قرار می گیرد. با استفاده از مفهوم کامل بودن دنباله ای از توابع، ویژگی هایی از رکوردها را بررسی می کنیم که توزیع جامعه را مشخص می کنند. نشان می دهیم تحت شرایطی زیر دنباله های مناسب از گشتاور، آنتروپی و میانگین باقیمانده عمر رکوردها در هر دو مدل کلاسیک و تصادفی، توزیع جامعه را تعیین می کنند.

در این پایات نامه تعمیم میان مفاهیم بیان شده را در فضای هیلبرت و سپس فضای بانخ بیان می کند و مچنین مثال های نقضی را نیز برای قضیه داگلاس در فضای هیلبرت بیان می کند.

در این پایان نامه ابتدا مروری بر مفاهیم پایه ای و تاریخچه آنتروپی و قابلیت اعتماد خواهیم داشت. سپس فرمول ها و روابط بسته ای برای آنها بر مبنای تابع چندک ارائه می شود. در ادامه آنتروپی متغیر طول عمر باقیمانده و گذشته مبتنی بر تابع چندک در مدل های پیوسته مطالعه و خواص آنها بررسی می شود. مشخصه سازی مدل آماری جامعه بر حسب آنتروپی باقیمانده و گذشته مبتنی بر تابع چندک انجام می شود. با در نظر گرفتن مدل های پارامتری از توزیع های طول عمر خاص، فرمول های صریح و بسته برای آنتروپی باقیمانده و گذشته چندکی مربوطه بدست آمده و خواص یکنوایی آن ها مطالعه شده است. در انتها، شرایط یکنوایی آنتروپی شانون و رنی شرطی برای متغیرهای تصادفی پیوسته تعیین شده است.

بسیاری مواقع مجبور به بررسی قابلیت اعتماد سیستم ها تحت فرض عدم استقلال مولفه ها هستیم. در این پایان نامه، با استفاده از تابع مفصل که امروزه به عنوان ابزاری مفید برای ارزیابی وابستگی مورد توجه قرار گرفته است، به تحلیل تاثیر وابستگی در مباحث قابلیت اعتماد سیستم ها می پردازیم. بدین منظور، با در نظر گرفتن نقش اساسی آماره های ترتیبی در مطالعات قابلیت اعتماد، ابتدا ارتباط مفصل مولفه ها را با مفصل آماره های ترتیبی متناظر با آن ها بررسی کرده، سپس با استفاده از مفصل، توابع توزیع آماره های ترتیبی را مشخصه سازی می کنیم. در پایان، از منظر پارامتری، با به کارگیری مفصل، برآوردگر مناسب را برای پارامتر توزیع مشترک مولفه های وابسته یک سیستم مشخص و کارایی آن ها را تعیین می کنیم.

در این پایان نامه، موضوع بازسازی داده های ترتیبی در مدل های پیوسته مدنظر قرار گرفت. ابتدا مسأله برای آماره های مرتب معمولی، به طورکلی و به صورت ناپارامتری بررسی شد. با این فرض که تعدادی از آماره های مرتب اول بنا به دلایلی حذف شده باشند، کران آزاد توزیع برای گشتاور آن ها با استفاده از خواص کوچکترین تابع مقعر مسلط، به دست آمده است. در ادامه رکوردهای معمولی را در نظر گرفته و مسأله بازسازی رکوردهای گذشته برای توزیع های نمایی و پارتو مورد مطالعه قرار گرفت. برای این منظور روشهای مختلف مطرح و برای هر دو توزیع انواع بازساز نقطه ای و فاصله ای به دست آمده و خواص آنها بررسی شد.

در این پایان نامه ابتدا جبر غیر جابجایی چهارگان ها معرفی می شوند. سپس فضاهای هیلبرتی تعریف می کنیم که بر روی چهارگان ها بنا می شوند و ضرب داخلی چنین فضاهای هیلبرتی چهارگان مقدار است. پس از بررسی خواص چنین فضاهایی، عملگرهای خطی و کران دار روی آن ها را تعریف کرده و قضایای مهمی نظیر قضیه ی نگاشت باز، نمودار بسته و قضیه ی نمایش ریس را بر این فضاها تعمیم می دهیم. در نهایت به معرفی طیف و مجموعه ی حلال عملگر خطی کران دار و بررسی ویژگی های آن ها می پردازیم و در قضیه ی مهمی که در این فصل مطرح می کنیم نشان می دهیم در حالتی که عملگر پاد خود الحاق و یکانی باشد، طیف آن کره را می پوشاند. با توجه به این که عمل ضرب چهارگان ها غیر جابجایی است در مراحل مختلف تعمیم خواص موجود بر فضاهای هیلبرت مختلط به حالت چهارگانی مشکلاتی به وجود می آید که روند اثبات ها را پیچیده تر و در عین حال جذاب تر می کند.

تاکنون مطالعات زیادی در خصوص مدل های مختلف داده های ترتیبی، نظیر آماره های مرتب و رکوردها انجام شده است. اخیراً مشاهدات نزدیک داده های ترتیبی، با توجه به کاربرد آن ها در مسائل مالی و بیمه، جزو موضوعات تحقیق پژوهش گران داده های ترتیبی قرار گرفته است. در این رساله، ضمن مطالعه برخی از خواص حدی و مجانبی تعداد مشاهدات نزدیک رکوردها و آماره های مرتب، به کاربرد آن ها در آمار و احتمال نیز پرداخته شد. با استفاده از خواص دنباله توابع کامل، نتایجی از مشخصه‎سازی کلاس توزیع های متقارن و خانواده مکانی براساس گشتاور مرتبه اول، هم توزیعی تعداد مشاهدات نزدیک رکوردها و آماره های مرتب، به دست آمده است. مشخصه سازی توزیع نمایی بر حسب گشتاور مرتبه اول، تابع جرم احتمال و استقلال تعداد مشاهدات نزدیک آماره های مرتب، نیز مورد بررسی قرار گرفته است. روش دنباله ای برای انتخاب توزیع جامعه بر اساس قاعده توقف مبتنی بر تعداد مشاهدات نزدیک رکوردها ارائه و ویژگی های آن مطالعه شده است.

موضوع مشخص سازی توزیع های طول عمر بر مبنای گشتاورهای شرطی متغیرهای تصادفی باقی مانده و گذشته مد نظر قرار گرفته است. نشان داده می شود، که از ارتباط بین تابع نرخ لگاریتم بخت و اندازه های قابلیت اعتماد توزیع طول عمر به طور یکتا مشخص می شود.از طرفی اخیرا نظریه اطلاع در مباحث قابلیت اعتماد و مشخص سازی توزیع های آماری جایگاه ویژه ای به خود اختصاص داده است. بر این اساس، با استفاده از برخی اندازه های اطلاع مانند، آنتروپی گذشته و آنتروپی باقی مانده تجمعی پویا و آنتروپی مبتنی بر تابع چندک و ارتباط آن ها با اندازه های قابلیت اعتماد، به مشخص سازی توزیع جامعه پرداخته شد.

هدف اصلی این طرح مشخصه سازی توزیع پارتو می باشد. مشخصه سازی یکی از جذاب ترین مباحث نظری آمار و احتمال است که علاقه مندان بسیاری را به خود جلب کرده است. اغلب توزیع ها خواص و ویژگی های منحصر به فردی دارند. هدف از این مطالعه، یافتن شرایطی است که با استفاده از آن توزیع مورد نظر بتواند بطور یکتا مشخص شود. معمولا برای اثبات هرمسأله ی مشخصه سازی باید با اعمال شرایطی کلاس توزیعهایی را که دارای یک خاصیت مفروض هستند،محدود کنیم. به طور مثال استقلال فاصله های آماره های ترتیبی بر اساس نمونه تصادفی از یک توزیع پیوسته، توزیع نمایی را نتیجه می دهد. مشخصه سازی از جنبه های علمی نیز حائز اهمیت است. یکی از مهمترین کاربردهای مشخصه سازی آزمون های نیکویی برازش است. در این طرح تاکید روی مشخصه سازی توزیع پارتو است، که یکی از توزیعهای مهم آماری است که نام خود را از اقتصاد دان ایتالیایی ویلفردو پارتو گرفته است. به علاوه به عنوان الگویی برای بسیاری از پدیده های اقتصادی-اجتماعی به کار رفته می شود. توزیع پارتو در مطالعه طول عمر موجودات و مبحث قابلیت اعتماد و همچنین در بسیاری از مسائل آماری مرتبط با حوزه های مالیه، بیمه، آب شناسی نیز کاربرد دارد. محققین زیادی مشخصه سازی توزیع پارتو را بر اساس داده های ترتیبی انجام داده اند، در این پایان نامه، هدف بررسی و مطالعه تحقیقات انجام شده در باره مشخصه سازی توزیع پارتو می باشد.

هدف از انجام این رساله مطالعه میانگین پذیری ضعیف گسترش مدولی یک جبرباناخ است. سپس برای دو عدد متفاوت n و m رابطه بین n-میانگین پذیری ضعیف و m-میانگین پذیری ضعیف را مورد بررسی قرار می دهیم. هم چنین بررسی می کنیم در چه صورت یک همریختی حافظ میانگین پذیری و n-میانگین پذیری ضعیف است.