فرض کنید که g یک p-گروه قوی باشد. مهمترین هدف ما در این پایان نامه این است که نشان دهیم بعضی از زیر گروههای نرمال این p-گروهها آبلی توانی اند.

ضربگر شور گروه g اولین بار توسط ع.شور در سال 1904 بیان شد. جی . آ . گرین در سال 1956 ثابت کرد که برای p-گروه متناهی از مرتبه p n داریم p 1/2 n(n?1 ام. ار.جونز درسال این کران را بهبود بخشید، در حقیقت وی ثابت کرد | m(g) || g? |? p1/2 n(n?1). که بنابراین به ازای خواهیم داشت | m(g) |= p 1/2 n(n?1)?t(g). در این پایان نامه ساختار p-گروه های متناهی وقتی که t(g) = 0, 1, 2, 3, 4 کاملا مشخص شده است.

در این پایان نامه نشان می دهیم که اگر g گروهی متناهی و توانا باشد آنگاه اندیس z(g)در g بوسیله تابعی از مرتبه زیرگروه مشتق از بالا کراندار است.همچنین نشان می دهیم چنین کران بالایی برای همه گروه های توانا وجود دارد.و در مورد خاصی که مشتق g دوری است و همه عناصر مرتبه 4 از مشتق g در g مرکزی است, بهترین کران ممکن ارائه می گردد.

در این پایان نامه ابتدا حاصل ضرب تانسوری ناآبلی گروهها را تعریف می کنیم که از آن تعریف تانسور مربعی ناآبلی گروه ها را نتیجه می شود.سپس تانسور مربعی ناآبلی گروههای چهار گان و دوجهی و فرا دوری را بررسی می کنیم.هم چنین یک کران برای مرتبه حاصل ضرب تانسوری ناآبلی دو گروه که مرتبه انها توانی از یک عدد اول است به دست می آوریم.

گروه دلخواه g را در نظر بگیرید. گراْف ?_g را که گراف جا به جا یی رده های تزویج g نامیده می شود به صورت زیر به گروه g نسبت می دهیم: مجموعه ی تمام رده های تزویج غیر بدیهی g را به عنوان رئوس ?_g در نظر بگیرید.دو رده ی تزویج متمایز با یکدیگر مجاورند اگر و فقط اگر عنصری از یک رده ی تزویج با عنصری از رده ی تزویج دیگر جا به جا شود.در این پایان نامه نشان می دهیم که اگرg گروهی تابدار حل پذیر باشد آنگاه ?_g حداکثر دو مولفه ی همبندی دارد که قطر هر مولفه ی همبندی حداکثر 9 است. همچنین اگر g گروهی موضا" متناهی باشد آنگاه ?_g حد اکثر 6 مولفه ی همبندی دارد که قطر هر یک از مولفه های همبندی حداکثر 19 است. به علاوه در این پایان نامه دو زیر گراف القایی مهم ?_gz و ?_gf را معرفی می کنیم که مجموعه ی رئوس زیر گراف القایی ?_gz رده های تزویج غیر مرکزی g و مجموعه ی رئوس ?_gf رده های تزویج نامتناهی g می باشد. اگر g گروهی تابدار غیر آبلی باشد به طوری که ?_gz یال نداشته باشد آنگاه g دارای مرتبه ی 6 یا 8 است و اگر g گروهی متناهی غیر آبلی از مرتبه فرد باشد به طوری که ?_gz مثلث نداشته باشد آنگاه g دارای مرتبه ی 21 یا 27 است. در انتها ساختار گروه های تابداری را که زیر گراف القایی ?_gf آنها یال نداشته باشد به طور کامل توصیف می کنیم.

گراف g 2توسیع پذیر نامیده میشود هرگاه هر دو یال مستقل از هم ان در جورسازی کامل ازgقرار گیرند.نشان می دهیم یک گراف کیلی از مرتبه ی زوج 2-توسیع پذیر است اگر وتنها اگر با هیچیک از موارد ذکر شده در قضیه اصلی پایان نامه یکریخت نباشد.

در این پایان نامه، ابتدا حاصلضرب تانسوری ناآبلی گروه ها را تعریف می کنیم که از آن تانسور مربعی ناآبلی یک گروه نتیجه می شود. سپس تانسور مربعی ناآبلی p‎-گروه های دو مولدی از کلاس پوچ توانی ‎2‎ را که در آنp? 2 ‎ عددی اول است و همچنین تانسور مربعی ناآبلی گروه های دو مولدی غیرتابدار از کلاس پوچ توانی ‎2‎ را بدست می آوریم. در پایان به بررسی توانایی گروه های دومولدی غیر تابدار از کلاس پوچ توانی ‎2‎ می پردازیم.

دراین پایان نامه ابتداp-گروه هاو گروه های پوچ توان کلاس 2 را معرفی کرده و چندین خاصیت مقدماتی آن هارا بیان می کنیم.سپس 2-گروه های 2 مولدی کلاس 2 را دسته بندی می کنیم.در ادامه حاصلضرب تانسوری ناآبلی گروه ها راتعریف می کنیم که از آن تعریف تانسورمربعی ناآبلی یک گروه نتیجه می شود.سپس با بیان چند خاصیت به محاسبه ی تانسور های مربعی نا آبلی یک گروه فرادوری متناهی شکافنده و گروه های دسته بندی شده فوق می پردازیم.

هدف از این پایان نامه مطالعه تأثیر مرکزساز(?) ‎c_g‎ روی زیرگروه جابه جاگر ‎[g, ?]‎ است, به خصوص زمانی که ‎g‎ گروهی چنددوری یا دوآبلی ‏و ? ‎ یک خودریختی از گروه ‎g‎ باشد‏.‎‎ فرض کنید ‎g‎ یک گروه چنددوری و‎ ? یک خودریختی از ‎g‎ باشد. در این پایان نامه نشان داده می شود که اگر ? ‎ از مرتبه ی ‎2‎ و ‎(?) ‎c_g‎ متناهی باشد آنگاه ‎g/[g, ? ‎] و ‎ ‎?[g,? ‎] ?^?نیز متناهی اند. همچنین ثابت می شود که اگر‎g‎ یک گروه دوآبلی و ‎ ? یک خودریختی از مرتبه ی ‎n‎ و ‎(?) ‎c_g‎ یک گروه تناوبی متعلق به t_?‎ باشد آنگاه ‎ g/ [g, ?] ‎ متعلق بهa ‎t_? e_n‎ است. در مرحله ی بعد نشان داده می شود که اگر همین خودریختی از مرتبه ی عدد اول ‎p‎ باشد آنگاه ‎[g, ?]‎ متعلق بهn_p ‎ t_?است و با فرض اینکه ‎ ? بدون نقطه ی ثابت باشد, ‎‎[g, ?]پوچ توان از رده ی حداکثر ‎p‎ است. ‎علاوه بر این به بررسی نتایج متعدد از مقالات مختلف درباره ی تأثیر خودریختی های برگشتی یک گروه و مرکزساز آن روی ساختار گروه می پردازیم. در نهایت مثال هایی از زیرگروه های گروه خطی عمومی (یکریخت با گروه چهارگان ها) و گروه ماتریس ها با درایه هایی در حلقه ی چندجمله ای لورنت و همچنین گروه ماتریس ها با درایه هایی در z[w] در مورد مطالب مختلف این پایان نامه مورد بررسی قرار می گیرند, که نشان می دهند اگر در برخی از قضایای ارائه شده, بعضی شروط حذف گردند, نتیجه ی موردنظر برقرار نخواهد بود.

حاصلضرب تانسور ناآبلی gو h برای زوجی از گروه های g و h تعریف می شود به شرطی که ‎g و h روی یکدیگر به صورت سازگار عمل کنند. هدف اصلی بدست آوردن کران برای کلاس پوچ توانی و طول حل پذیری این حاصلضرب است. این کران ها با استفاده از (d_{g}(h که زیرگروه مشتق gاست و توسط عمل h روی g حاصل می شود، بدست می آیند. به طور مشابه این کران ها با استفاده از (d_{g}(h که زیرگروه مشتق hاست، نیز بدست می آیند.اگرg=h و همه ی اعمال مزدوج در نظر گرفته شود، زیرگروه مشتق به زیرگروه جابه جاگرتبدیل می شود. اگر ‎$ g=h $‎ و همه ی اعمال مزدوج در نظر گرفته شود ‎$g otimes g$‎ تانسور مربعی نامیده شده که حالت خاصی از حاصلضرب تانسور ناآبلی گروه ها است‎.‎ حاصلضرب تانسور جعبه ای دو گروه به عنوان تعمیمی از حاصلضرب تانسور ناآبلی گروه ها معرفی می شود و برهان دیگری از قضیه الیس درباره ی متناهی بودن این حاصلضرب وقتی که هر عامل آن متناهی باشد، بدست می آید. همچنین حاصلضرب تانسوردیگری که تعمیم دیگری از حاصلضرب تانسور ناآبلی گروه ها می باشد، معرفی شده و درباره ی متناهی بودن آن قضایایی بیان و اثبات می شود.

تجزیه همیلتونی گراف?های کیلی مبحثی است که در سالهای اخیر موضوع بسیاری از تحقیقات بوده است. در این زمینه آسپک حدسی دارد که بیان می کند هر گراف کیلی همبند ‎2k‎ -منظم روی گروه های آبلی دارای یک تجزیه همیلتونی است. در این پایان نامه هر گراف مدور همبند 4-منظم را به دو دور همیلتونی تجزیه می کنیم. در ادامه با کمک تجزیه همیلتونی گراف های مدور همبند 4-منظمی که حاوی‎w‎ ‎-مسیر هستند‏ برای گراف های مدور 6-منظم‏، تجزیه همیلتونی ارائه می کنیم. همچنین نشان می دهیم هر گراف کیلی 6-منظم از مرتبه فرد‏، یک گراف (d(3,‎ ‎m‎, ‎n است در نتیجه هر گراف کیلی 6-منظم از مرتبه فرد دارای تجزیه همیلتونی است. در پایان نیز به بررسی تجزیه گراف های مدور 8-منظم با n رأس‏، به زیر گراف های یکریخت حاوی n یال می پردازیم و به این نتیجه می رسیم که هرگا‎‏ه ‎‎‎ ‎s‎‎+2‎<n/4‎ برای‎ هر ‎‎‎‎s?s‎‏، آنگاه گراف های مدور 8-منظم شامل n رأس‏، به زیر گراف های یکریخت حاوی n یال تجزیه می شوند.

فرض کنیم g یک p- گروه متناهی و n یک زیر گروه نرمال آن باشد. در این پایان نامه ابتدا جفت گروه متناهی (g,n) و ضرب گر شور جفت گروه (g,n) تعریف شده وکران هایی برای نمای ضرب گر شور (m(g,n بدست می آید. همچنین نشان داده می شود اگر جفت (g,n) از کلاس پوچ توانی حداکثر p-1 باشد ، آن گاه نمای m(g,n) نمای n را می شمارد. در ادامه مفهوم p- گروه توانمند را تعریف کرده و نشان می دهیم اگر n به طور توانمند در g نشانده شود، آن گاه نمای m(g,n) نمای n را می شمارد. همچنین کران های معرفی شده در این قسمت برخی از بهترین کران های معرفی شده در حالت ضرب گر معمولی را بهبود می بخشد.

در این پایان نامه ساختارهایی برای p-گروه آبلی g با در نظر گرفتن شرایطی برروی نماهای (s2m(g) ,g, m(g ارائه می شود. همچنین تعدادی نامساوی برای مرتبه و نما و تعداد مولدهای ضربگر c-پوچتوان p-گروه توانمند را بیان می کنیم. در واقع در اینجا تعدادی از نتایج مان و لبسکی به ضربگرهای پوچتوان تعمیم داده می شود و کران های بالایی برای مرتبه و نما و تعداد مولدهای ضربگر c-پوچتوان یک p-گروه توانمند d-مولدی چون gارائه می شود.

تجزیه ی همیلتونی یک گراف, تجزیه ای است که گراف را به زیرگرافهای یکریختی که هر کدام شامل n یال هستند افراز کند و نیز شامل تمامی رئوس باشد. افراد گوناگونی در این زمینه فعالیت داشته اند که از آن جمله می توان به آسپک (alspach) و حدس او اشاره کرد که اظهار داشت هر گراف کیلی( cay(a,s همبند 2k-منظم روی گروههای آبلی متناهی می تواند به k دور همیلتونی تجزیه شود.liu ثابت کرد که اگر { s={s1,...,sk یک مجموعه مولد مینیمال برای گروه آبلی a از مرتبه ی فرد باشد حدس فوق برای آن درست است . در این پایان نامه علاوه بر تمرکز بر این فرضیات، ما تجزیه ی همیلتونی را روی گرافهای کیلی گروههای آبلی در نظر می گیریم.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه با استفاده از مفاهیمی چون جابجاگر پایه ای ، پایای بئر و محاسباتی در خصوص جابجاگرها ، ساختاری از پایای بئر گروه n-پوچتوان آزاد نسبت به چندگونای گروه های چند پوچتوان از کلاس ردیفی (c_2وc_1)، به ازای هر (c_2<5)و c_1>(c_2+1)n-(c_2+1،بیان شده است و فرمولی صریح برای پایای بئر گروه مورد نظر ارائه شده است. همچنین تصویر همریختی برای ضربگر c-پوچتوان حاصل ضرب لفظی خانواده ای از گروه هاتحت شرایط خاص بیان شده است. در ادامه فرمولی صریح برای ضربگر c-پوچتوان حاصل ضرب n-پوچتوان گروه های دوری ارائه شده است.