فرض کنید r یک حلقه جابجایی و یکدار باشد هدف این تحقیق معرفی رده جدیدی از مدول ها روی r است که r مدول های پر اول نامیده می شوند. هر مدول پر اول غیر صفر طیف اول ناتهی یک نگاشت طبیعی پوشا را می پذیرد. این رده به طور سره شامل خانواده r مدول های با تولید متناهی است. ما نشان می دهیم که نظریه زیر مدول های اول از مدول های پر اول شبیه به نظریه زیر مدول های اول از مدول های با تولید متناهی است . زیرمدولهای اول ازدیر باز مورد علاقه متخصین جبر جابجایی بوده اند. یکی از مباحث مرتبط با زیر مدول های اول طیف اول آنهااست. که مجهز به یک توپولوژی موسوم توپولوژی زاریسکی است. این منجر به تعریف یک نگاشت پوشا طیفی می شود که از دید گا ههای مختلف مورد بحث قرار می گیرد. به عنوان مثال ارتباط نگاشت طیفی با بافه مدول ها در مرجع مطالعه شده است. در این تحقیق ما ارتباط این نگاشت طیفی با طیف مدول های پر اول و زیر مدول های اشباع شده مورد بررسی قرار خواهیم داد.

این پایان نامه از سه فصل تشکیل شده است. فصل اول شامل سه بخش ایده ال به طور قوی اول، ایده ال توانا و ایده ال به طور قوی اولیه است. فصل دوم در دو بخش ایده ال به طور ضعیف اول و ایده ال به طور ضعیف اولیه است. در فصل سوم که شامل دو بخش ایده ال تقریبا اول و ایده ال فی-اول است ویژگی های ایده ال های فی-اول و ارتباط آنها با مفاهیم فصل های قبل ایده ال اول، ایده ال به طور ضعیف اول و ایده ال تقریبا اول مورد بررسی قرار گرفته است.

در سر تا سر این پایان نامه تمام حلقه ها جابجایی و یکدار هستند و همه گراف ها ساده (غیر جهت دار و بدون طوقه ) در نظر گرفته می شوند. هدف از این پایان نامه تحقیق در مورد ویژگی های خاصی از گراف های مقسوم علیه صفر است. در فصل اول ابتدا به معرفی مفهوم گراف مقسوم علیه صفر می پردازیم. همچنین ضمن تعریف کمر گراف مقسوم علیه صفر، به تعیین آن برای حلقه های مختلف خواهیم پرداخت. در فصل دوم به بررسی ویژگی های گراف های مقسوم علیه صفر برای حاصل ضرب مستقیم حلقه ها خواهیم پرداخت. به خصوص به ارتباط میان قطر گراف مقسوم علیه صفر حلقه ها و حاصل ضرب متناهی آن ها خواهیم پرداخت. سرانجام در فصل سوم که فصل آخر این پایان نامه می باشد، در حالت های مختلف به بررسی شعاع، مرکز و میانه گراف های مقسوم علیه صفر خواهیم پرداخت.

فرض کنیم i یک ایده ال سره منظم در حلقه نوتری r باشد. ثابت میکنیم که حلقه ای چون a، که توسیعی صحیح آزاد و ساده از حلقه r بوده، وجود دارد به طوری که ایده ال ia دارای یک پایه rees-good است و آن عبارت است از پایه c1,…cg بطوری که برای تمام حلقه های ارزیابی ریس w ازia، ciw =iw. علاوه بر آن ممکن است aساخته شود به طوری که: 1- iaو i دارای اعداد ریس یکسان باشند .( با احتمال اینکه رتبه های متفاوت داشته باشند .) 2- برای هر مقسوم علیه اول مجانبی pاز ia ، ap روی rp?rغیر قابل انشعاب است. در واقع اگر hیک ایده ال منظم در r باشد به طوری که هر مقسوم علیه اول مجانبی ازh مشمول در یک مقسوم علیه اول مجانبی i باشد، آنگاه شرط (2) برای ha اتفاق می افتد . اگرcard(rees h)?card(rees i) نشان میدهیم که شرط (1) هم برای ha و هم برای h اتفاق می افتد. همچنین اگر i=(b1,….bg)rو b1,….bg یک دنباله مجانبی باشد، نشان میدهیم که b1,….bg یک پایه rees-good از i می باشد.

فرض کنید r یک حلقه جابجایی و یکدار و نوتری و i یک ایده ال منظم از آن باشد. سوال اصلی در این پایان نامه این است که آیا یک توسیع صحیح متناهی a برای حلقه r موجود است که برای آن، رادیکال پوچ ia، ایده ال به طور تصویری کاملی باشد که هم ارز تصویری با خود a شود؟ یک سوال قویتر این که آیا یک توسیع سوال اصلی در این پایان نامه این است که آیا یک توسیع صحیح متناهی a برای حلقه r موجود است که برای آن، رادیکال پوچی مانند j از ia، هم ارز تصویری با خود ia بوده و تمام اعداد صحیح ریس j برابر یک باشند؟ دو نتیجه جالب برای حالت خاصی از قضیه های موجود در پایان نامه حاصل می شود. نتیجه اول این که اگر r یک حوزه صحیح نوتری باشد، آن گاه توسیع صحیحی از r مانند a موجود است که رادیکال ایده ال پوچ ia هم ارز تصویری با ia شود. نتیجه دوم این که اگر r شامل یک میدان با مشخصه صفر باشد، آن گاه یک توسیع صحیح آزاد متناهی a از حلقه r موجود است که برای آن رادیکال ایده ال پوچ ia یک ایده ال به طور نصویری کاملی است هم ارز تصویری با ia شود.

فرض کنید i یک ایده آل سره ی منظم از حوزه صحیح نوتری r باشد. در این پایان نامه وجود توسیع حوزه صحیح تجزیه پذیر متناهی a از حلقه r و عدد صحیح m به طوری که اعداد ریس ia برابر با m را مورد بررسی قرار می دهد. بعلاوه اگر r از ارتفاع یک باشد ، آن گاه همه اعداد ریس (j=rad(ia برابر با یک است و ایده آل های jm و ia دارای بستار یکسان هستند. بنابراین (j=rad(ia رادیکال ایده آل به طور تصویری کامل است که به طور تصویری هم ارز با ia است.

در این پایان نامه تمام حلقه ها جابجایی و یکدار و همه ی مدول ها یکانی هستند. در فصل اول ضمن معرفی مفهوم ایده ال اولین، تحویل ناپذیر وتحویل ناپذیر تام، به بررسی ارتباط آنها با یکدیگر می-پردازیم. به خصوص ثابت می شود کهi یک ایده ال تحویل ناپذیر بوده و r?i شامل یک r- زیر-مدول ساده است. فصل دوم به تعمیم مفاهیم فصل اول به مدول ها و شبکه هایی با عنصر مینیمال و ماکسیمال اختصاص دارد. در این فصل نشان می دهیم که شبکه یl تحویل ناپذیر زیر مستقیمی است اگر وتنها اگر l شامل اتم اساسی باشد. معرفی حلقه ی r?m و بررسی برخی خواص مطرح شده در دو فصل اول روی این حلقه در فصل سوم بیان شده است. در این فصل ثابت شده است که n یک زیر مدول تحویل ناپذیر (تحویل ناپذیر تام) از m است اگر وتنها اگر n^#=(n:m)?n یک ایده ال تحویل ناپذیر (تحویل ناپذیر تام) از r?m باشد. سرانجام در فصل چهارم که فصل پایانی این پایان نامه است مفهوم مدول های حسابی را معرفی می-کنیم و تحویل ناپذیری زیر مدول های آنها را مطالعه خواهیم کرد. در این فصل نشان داده شده است که مدول m حسابی است اگر و تنها اگر هر زیرمدول اولین آن تحویل ناپذیر باشد.

در سرتاسر این پایان نامه، تمام حلقه ها جابه جایی و یکدار و همه مدول ها یکانی هستند. هدف از این پایان نامه تحقیق در مورد مدول های با طیف نوتری است. یک مدول را با طیف نوتری نامند، هرگاه مجموعه های بسته طیف آن نسبت به توپولوژی زاریسکی( که همان چندگوناهای زیرمدول ها هستند) در شرط زنجیر کاهشی صدق کنند. در فصل اول به معرفی مفهوم اشباع زیرمدول ها می پردازیم. سپس مدول های پر اول را تعریف کرده و ثابت می کنیم که مدول های باتولید متناهی، مدول های به طور باوفا هموار و توسیع های صحیح r به عنوان r-مدول، پر اول هستند. همچنین نشان داده می شود که مدول های ضربی پر اول، با تولید متناهی هستند. در فصل دوم، نتایجی درباره چند گوناها و رادیکال زیرمدول ها به دست می آوریم که در فصل های بعد مورد استفاده قرار می گیرند. همچنین در فصل سوم، به معرفی مدول های خرسند و لاسکرین و ارتباط آنها با مدول های پر اول با طیف نوتری خواهیم پرداخت. در این فصل ثابت می شود که هر مدول لاسکرین (به خصوص هر مدول نوتری) طیف نوتری دارد. سر انجام در فصل چهارم به معرفی rfg-زیرمدولها و بیان ارتباط آنها با طیف نوتری می پردازیم. سپس قضایایی در ارتباط با مولفه های تحویل ناپذیر و بعد ترکیبیاتی طیف بیان می کنیم.

یک عنصر از حلقه ی یکدار r را به طور قوی تمیز گوییم هرگاه مجموع یک عنصر خودتوان ویک عنصر یکه باشد که با هم جابجا می شوند و r را به طور قوی تمیز نامیم اگر هر عنصر r، به طور قوی تمیز باشد. ما در این پایان نامه ضمن معرفی کامل حلقه های تمیز و به طور قوی تمیز، تعیین می کنیم که چه موقع یک ماتریس 2×2، a روی یک حلقه ی موضعی جابجایی به طور قوی تمیز است. در ضمن برای اینکه یک ماتریس به طور قوی تمیز شودچند معیار معادل ارائه خواهد شد. در ادامه شرایط معادلی را برای حلقه ی ماتریسی 2×2 روی یک حلقه موضعی جابجایی به دست می آوریم تا بطور قوی تمیز شود.همچنین اگر r یک حلقه موضعی ناجابجایی باشد، ضابطه ای در نوع حل پذیری یک معادله ساده درجه 2 در r فراهم شده است برای اینکه (m2(r به طور قوی تمیز شود.

یک مسئله چالشی در سالیان اخیر پیدا کردن یک توصیف مناسب برای رادیکال زیرمدول از مدول (نوتری) بوده است. رادیکال زیرمدول اشتراک تمام زیرمدول های اول از که شامل هستند، تعریف شده است. در این پایان نامه که مرجع اصلی آن [13]است، توصیفی از رادیکال زیرمدول از مدول نوتری که در حالات ساده دستی و در دیگر حالات به وسیله دستگاه های جبری کامپیوتری قابل محاسبه است، ارائه می شود.

فرض کنیدr‎‎یک حلقه جابجایی و یکدار باشد.‎-r‎‎‎‏مدول یکانی ‎m هم ضربی است‏، هرگاه برای هر زیرمدول ‎n از ‎m‎‏، ایده ال ‎a‎ از ‎r‎ موجود باشد به طوری که ‎n مجموعه عناصر ‎m‎‎ از ‎m باشد کهam=0 در این پایان نامه اثبات می شود که اگر‎‎m‎‏‎‎‏‎ یک ‎-r‎‎مدول با تولید متناهی باشد و ‎‎b‎‎‏‎ پوچساز ‎m‎ در ‎r باشد‏، آنگاه حلقه ‎r/b‎‎‏‎نیم موضعی است و در حالاتی خاصm‎‎ خارج قسمت با بعد متناهی است. علاوه بر این‏، مدول های هم ضربی خاصی در شرط ‎‎ab5 ^*‎ صدق ‎می‎ کنند. هر مدول نوتری و هم ضربی‏، آرتینی است. مدول با تولید متناهی و آرتینی هم ضربی است اگر وتنها اگر شالوده آن جمع مستقیم متناهی از زیرمدول های ساده و دو به دو غیر یکریخت باشد.

در سرتاسر این پایان نامه ‎r‎ یک حلقه جابجایی و یکدار و ‎m‎ یک ‎-r‎مدول یکانی است، مگر خلاف آن تصریح شود. در این پایان نامه با روش های گوناگون تعمیم های جدیدی از زیرمدول های اول را به دست می آوریم. به عنوان مثال با جایگزین کردن ‎2‎ و n عنصر از حلقه به جای یک عنصر از آن در تعریف زیرمدول اول، مفاهیم زیرمدول های ‎-2‎جاذب،به طور ضعیف -2‎جاذب وn‎-جاذب را به دست می آوریم. همچنین در تعریف زیرمدول ‎-2‎جاذب با تحدید زیرمدولn بهnackslash (n:m)^{n-1}n،دو تعمیم جدید از زیرمدول های اول ضعیف تحت عناوین زیرمدول n‎-به طور ضعیف اول و زیرمدولn ‎ -اول ضعیف را به دست می آوریم. علاوه بر این ویژگی های گوناگونی از این زیرمدول ها که به شناسایی بهتر مدول ها می انجامد را بیان می کنیم.

چکیده فرض کنید r یک حلقه جابجایی و یکدار و n یک عدد صحیح مثبت باشد. در این پایان نامه ابتدا یک تعمیم از ایده ال اول (به طور ضعیف اول)‏ بیان شده است. یک ایده ال سره i از r را یک ایده ال 2‎‎‎‎-جاذب (به طور ‏ضعیف‎ ‎2‎-جاذب) ‎‏از‎‎ r نامیم‏، هرگاه ‎‏برای a,b,c?r‎،abc?i ( 0?abc?i)،‏ ایجاب کند که ab?i یا ac?i یا .bc?i نشان داده می شود که اگر i یک ایده ال 2-جاذب از حلقه rباشد‏، آنگاه rad(i) یک ایده ال اول حلقه rاست یا rad(i)=p_1?p_2 به طوری که? p?_1و p_2تنها ایده ال های اول کمین روی i هستند. همچنین حلقه هایی که هر اید ه آل‎ سره از آن یک ایده ال 2-جاذب باشد را شناسایی کرده و بررسی می نماییم. ‎‎یک ایده ال سره i از rرا یک ایده ال -nجاذب (به طور قوی -nجاذب) نامیم‏، هرگاه برای x_1,… ,x_(n+1)?r‎‏،? x?_1… x_(n+1)?i (برای ‏ایده ال های? i?_(n+1) ?,…,i?_1 از r، i_1,…,i_(n+1) i) ایجاب کند که حاصلضرب nتا از x_iها ( nتا از ? i?_iها) در iباشد. ‎‏علاوه‎ بر بررسی ایده ال های -nجا‎‏ذب و به طور قوی -nجاذب‏، حدس می زنیم که به ازای هر عدد صحیح و مثبت n، دو مفهوم -nجاذب و به طور قوی-n جاذب معادل اند. ‎‎‎‎‏البته ثابت می کنیم که این دو مفهوم به ازای n=2معادل هستند. به خصوص پایداری-n جاذب بودن ایده ال ها نسبت به ساختارهای حلقه ای گوناگون را در رده های مختلفی از حلقه های جابجایی مورد مطالعه قرار می دهیم. برای مثال بررسی می کنیم که برای هر ایده ال سره iاز یک حلقه نوتری rعدد صحیح مثبت nوجود دارد به طوری که iیک ایده ال -nجا‎‏ذب است. همچنین ثابت می شود که در یک دامنه پروفر یک ایده ال -nجاذب است اگر و تنها اگر حاصلضربی از ایده ال های اول باشد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

در سر تاسر این پایان نامه همه حلقه ها جابه جایی و یکدار و همه مدول یکانی هستند.هدف این پایان نامه تحقیق در مورد چگونگی ارتباط بین یک ایده ال همگن i (+) n از r(m(با یک ایده ال i از حلقه r و زیر مدول n از r- یک مدولm است. ما نشان داده ایم که اگر m یک r- مدول ضربی و i (+) n یک ایده آل همگن اصلی متقاطع (اصلی متصل ) از r(m( باشد آنگاه این خواص می توانند به i و n منتقل شونذ همچنین شرایطی را ارائه می دهیم که عکس مطلب نیز برقرار باشد علاوه بر این ثابت می کنیم که i (+) n یک ایده آل بزرگ (کوچک) از r(m( است اگر و تنها اگر n یک زیر مدول بزرگ m ( ایده آل کوچک r) باشد در ادامه شرایط لازم و کافی ارائه خواهیم داد تا یک ایده ال همگن به طور تقریبی ضربی (ضربی ضعیف، ضربی تعمیم یافته)، تصویری، هموار با تولید متناهی، خالص و معکوس پذیر (شبه معکوس پذیر) شود. ما تعیین می کنیم که چه موقع r(m( حلقه توزیع پذیر zpi- حلقه عمومی حلقه شبه ارزیابی p- حلقه حلقه منسجم و حلقه هادی متناهی می شود سر انجام مفهوم زیر مدول های به طور ضعیف اول (به عنوان تعمیمی از ایده ال های به طور ضعیف اول) را ارائه می کنیم و خواص گوناگون و مشخصه سازی زیر مدول های به طور ضعیف اول از مدول های ضربی باوفا را مورد مطالعه قرار داده و ارتباط آنها با ایده السازی بررسی می شود.