در این پایان نامه به معرفی مفهوم جدید برد عددی رتبه بالا و بررسی برخی از خواص پایه ای آن پرداخته شده است، که با توجه به مفهوم برد عددی رتبه بالا ارائه گردیده است. همچنین تلاش شده است که برد عددی رتبه بالا برای ماتریس های هرمیتی محاسبه شود.

این پایان نامه مشتمل بر 4 فصل می باشد که در ان ها شعاع طیفی علامت حقیقی مورد بررسی قرار می گیرد

از مطالب مهمی که در مبحث بردهای عددی عنوان می شود، محدب بودن آن هاست. در این پایان نامه، هدف بررسی محدب بودن چند نوع از بردهای عددی است. این پایان نامه شامل مطالبی برای آشنایی با انواع بردهای عددی و خواص آن ها می باشد. مهم ترین بخش این نوشته به برهانی برای محدب بودن برد عددی رتبه بالای عملگرهای خطی کران دار روی فضاهای هیلبرت اختصاص دارد. برهان هایی که در این زمینه آورده شده است، عموماً برای فهم نیاز به دانسته های زیادی دارد. مهم ترین این برهان ها را وئردمن ارائه کرده است. سعی ما بر این بوده است که برهانی مستقل بر پایه ی برهان وئردمن بیاوریم. همچنین برهانی برای محدب بودن برد عددی نامتناهی عملگرهای خطی کران دار روی فضاهای هیلبرت و برهانی برای محدب بودن حالت خاصی از c- برد عددی آورده شده و با مثالی نشان داده شده است که برد عددی توأم در حالت کلی محدب نیست.

به طور ساده یک قاب متناهی, یک دنباله مولد برای فضای هیلبرت با بعد متناهی است. تابعک های خطی که توسط بردارهای قابی دوگان به دست می آیند, وابسته به ضرب داخلی نمی باشند, لذا می توان مفاهیم نظریه قاب را به فضاهای برداری گسترش داد. با توسیع این مفاهیم به فضاهای برداری, تعاریف و مفاهیمی مشابه آنچه در نظریه قاب بیان شده, مانند عملگر ترکیب و آنالیزی مطرح می شود, و اینکه تابعک های خطی همانند بردارهای قابی دوگان, دارای کمترین نرم $l^{2}$- ای, در بین ضرایب مولد عناصر فضا هستند. یکی از مزیت های این توسیع این است که محاسبات روی عناصر فضا به سادگی انجام می شود. در این پژوهش ضمن معرفی قاب ها در فضاهای برداری, به کاربردی از آن ها اشاره شده است. برای مثال می توان زیر مجموعه های محدب و فشرده r^n را, توسط قاب ها و مجموعه های قابی با روشی قابل محاسبه تقریب زد که ما را به طرح رده بندی پایه ای قاب هدایت می کند.

یک قاب تلفیقی را می توان مانند قاب های معمولی گردایه ای از زیرفضاها در فضای هیلبرت در نظر گرفت که مفهوم یک قاب برای نمایش سیگنال را تعمیم می دهد. با این وجود هنگامی که بعد سیگنال بزرگ باشد عموما محاسبه اندازه گیری های قاب تلفیقی یک سیگنال نیازمند تعداد زیادی اعمال جمع و ضرب می باشد، این سبب می شود تجزیه سیگنال در کاربردهای با بودجه محاسباتی محدود دشوار شود. برای بررسی این مشکل، در این پایان نامه روی قاب های تلفیقی با بعد متناهی متمرکز شده و مفهوم قاب های تلفیقی تنک را معرفی می کنیم. سپس ساختار الگوریتمی برای محاسبه قاب های تلفیقی تنک با عملگر قاب تلفیقی مطلوب ارائه می کنیم که شامل قاب های تلفیقی چسبان نیز می باشد. به طور شگفت انگیزی ثابت می کنیم این الگوریتم‏، قاب های تلفیقی تنک بهینه را می سازد. هم چنین با استفاده از روش تتریس طیفی، شرط کافی برای ساخت یک قاب تلفیقی که مقادیر ویژه مطلوب عملگر قاب تلفیقی و بعدهای مطلوب زیرفضاهایش را اختیار کند، ارائه می کنیم و ثابت می کنیم در حالتی که قاب تلفیقی چسبان باشد، این شرط لازم نیز هست.

قاب های چسبان متناهی تعمیمی غیربدیهی از پایه های یکا متعامد در فضاهای هیلبرت می باشند و زمانی که یک فضای هیلبرت را به وسیله آن ها توصیف می کنیم دارای مزایا و کاربردهای زیادی هستند. استفاده از قاب ها به جای پایه ها، منجر به توصیف ساده ای از ساختارهای اتمی مواد می شود. همچنین تعاریف جدید ریاضی از مفاهیم فیزیکی به ویژه در کوانتش مجموعه های متناهی را امکان پذیر می سازد. در این پژوهش این نوع کاربردها از قاب، تحت عنوان ضرایب صحیح و کوانتش قاب با ارائه مثال هایی از آن ها، مورد بررسی قرار گرفته است‎.

موجکها همواره به عنوان ابزاری مهم در بسیاری از علوم مانند پردازش سیگنال و حل مسائل مشتقات جزئی نقش ایفا می کنند در این پایان ‏نامه ابتدا روشهای گالرکین‏ و پتروف گالرکین و باقیمانده وزنی برا تقریب جواب مسئله از شکل تغییراتی و در فضای متناهی البعد را توضیح می‏دهیم و سپس توابع b-اسپلاین و خواص مربوط به آنها را بیان میکنیم و همچنین آنالیز چندریزه ساز را به عنوان ابزار اصلی برا ساخت توابع موجک معرفی و خواص مربوط به آنها را مورد بررسی قرار می دهیم. چون عملا در مسائل مشتقات جزئی با بازه کراندار مواجه هستیم نحوه اصلاح توابع مقیاس و موجکها روی بازه کراندار را مورد بررسی قرار می دهیم.

گستره ی وسیع کاربرد قاب ها آن ها را به موضوع قابل توجهی برای پژوهشگران تبدیل کرده است. در این ‏پژوهش ابتدا مسئله ای تحت عنوان مسئله پائولسن بیان می شود و روشی برای پیدا کردن یک قاب پارسوال هم اندازه نزدیک به قاب داده شده در فضای هیلبرت ‎$h$‎ ارائه می‏ شود. هم چنین یک تخمین کمی برای این میزان نزدیکی بدست می آید. در این روش یک دستگاه معادلات دیفرانسیل از توابع مقدار برداری معرفی می شود. جواب های این دستگاه، مجموعه ای از قاب های پارسوال است که به یک قاب پارسوال هم اندازه همگرا می باشد. سپس با معرفی انرژی قاب و طول قوس پیموده شده بوسیله خانواده ی جواب های این دستگاه معادلات و نشان دادن چگونگی ارتباط این دو با هم‏، تخمینی کمی برای فاصله ی بین یک قاب نزدیک به هم اندازه بودن در حد ‎$epsilon$‎ و نزدیک به پارسوال بودن در حد ‎$epsilon$‎ از یک قاب پارسوال هم اندازه ای که حد جواب های دستگاه است، بدست می آید. در این روش در ابتدا فرض می شود بعد فضا و تعداد بردارهای قاب نسبت به هم اول هستند. سپس با استفاده از ضرب تانسوری نشان داده می شود که نسبت به هم اول نبودن بعد فضا و تعداد بردارهای قاب، مانعی برای دستیابی به این هدف نیست. در نهایت نشان داده می شود، مسئله پا‏ئولسن معادل با مسئله ای در نظریه ماتریس هاست و با پاسخ به مسئله پائولسن به این مسئله نیز پاسخ داده می شود.

قاب های تلفیقی نوع تعمیم یافته ای از قاب های معمولی برای فضای هیلبرت هستند که به کمک دسته ای از زیرفضاهای فضای موردنظر ایجاد می شوند. این قاب ها کاربردهای فراوانی در کدگذاری و پردازش توزیعی دارند. علی رغم اهمیت فراوان این قاب ها، اطلاعات کمی در مورد چگونگی ساخت و شرایط وجودی آن ها به ویژه قاب های تلفیقی چسبان وجود دارد. در این پژوهش مفهومی به نام پتانسیل قاب تلفیقی معرفی شده است. با کمک این مفهوم نشان داده شده که اگر تعداد زیرفضاهای تشکیل دهنده قاب تلفیقی زیاد بوده و بعد این زیرفضاها در مقایسه با بعد فضای اصلی کوچک باشد، آن گاه یک قاب تلفیقی چسبان از این ابعاد وجود دارد که به عنوان کمینه ساز پتانسیل قاب تلفیقی عمل می کند.

برای دو ماتریس‎a‎ ,‎b? mn,m‎، ‎b‎ مهتر ماتریسی راست ‎a‎ نامیده می شود، هرگاه ماتریس تصادفی سطری ‎r‎ موجود باشد به طوریکه ‎a=br‎. در این پایان نامه ساختار نگهدارنده های خطی این نوع از مهتری مشخص می گردد. به علاوهb ‎، -g‎مهتر ستونی (متناظراً، سطری ( ‎aنامیده می شود، هرگاه هر ستون (متناظراً، سطر) از ماتریس‎b،‎ ‎-g‎مهتر ستون (متناظراً، سطر) نظیر از ماتریس ‎a‎ باشد. در این پایان نامه انواع ‎-g‎مهتری روی ‎ mn,m‎ نیز مورد مطالعه قرار گرفته و ساختار نگهدارنده های خطی ممکن آنها مشخص می شود. همچنین ساختار همه ی عملگرهای خطی ‎t: mn,m ? mn,m که نگهدارنده خطی یا نگهدارنده خطی قوی ‎-g‎مهتری ستونی یا ‎-g‎مهتری سطری هستند مشخص می شوند.

زمانی که برای کاربرد های معین به بررسی ساخت قاب های متناهی می پردازیم، مهمترین عامل، توجه به طیف عملگر قاب و طول بردار های قاب است. در این پایان نامه به بررسی آن دسته از قاب هایی پرداخته شده که عملگر قاب آن ها یک طیف مشخص و بردارهایشان طول های معینی دارند. برای یک طیف مشخص و مجموعه ای از طول ها وجود این چنین قاب هایی به وسیله قضیه schur-horn مشخص شده است که در این پژوهش عکس قضیه مورد بررسی قرار گرفته است. استفاده از روش های ساخت معین مانند قاب های هارمونیک و تتریس طیفی، در مورد خاص قاب های چسبان هم اندازه شناخته شده هستند، اما این روش ها مثال های اندکی از چندگوناهای متناظر با چنین قاب هایی فراهم می کنند که بعد آن ها قابل درک و بدیهی است. در این جا یک روش جدید برای ساخت صریح همه ی قاب هایی که عملگر آن ها یک طیف مشخص و بردارهایشان طول های مشخصی دارند، ارائه می شود که خود شامل دو بخش می باشد. در بخش اول یک دنباله از درهم بافتگی طیفی به نام گام های ویژه، انتخاب می شود که طیف های بدیهی را به طیف مطلوب تبدیل می کند. در بخش دوم به صورت واضح به محاسبه بردار های قاب برحسب گام های ویژه پرداخته شده است.

یک قاب چسبان هم زاویه (etf) یک ماتریس m × nاست که دارای ستون هایی با طول واحد و سطرهایی متعامد است. خاصیت اساسی چنین قاب هایی این است که اندازه ی ضرب داخلی بین جفت ستون های آن ها با هم مساوی است. قاب های چسبان هم زاویه کاربردهای زیادی در ارتباطات، نظریه کدگذاری و تقریب های تنک دارند. در این پایان نامه ما به ارائه روشی جدید برای ساخت این نوع قاب ها می پردازیم. این روش مبتنی بر ساخت قاب های چسبان هم زاویه با استفاده از دستگاه اشتاینر است که در هر دو حالت حقیقی و مختلط معتبر می باشد. در این ارتباط مباحثی از طرح های بلوکی و دستگاه های اشتاینر مورد استفاده قرار گرفته اند و هم چنین در ادامه جمع های گوسی و قاب های ماکسیمال هم زاویه مورد بحث و بررسی قرار گرفته است.

در این پایان نامه یک مفهوم جدید مربوط به نظریه قاب ها معرفی شده است؛ مفهوم جفت قابها. با بررسی برخی ویژگی های آن، نشان داده شده است که که جفت قاب ها تعمیمی از قابهای معمولی هستند. چند رده از جفت قابها نیز معرفی شده اند، مانند -جفت قاب ها و جفت قاب های نردیک به همانی. متناظر با هر جفت قاب نزدیک به همانی، یک دنباله از جفت قاب های نزدیک به همانی یافت می گردد که عملگر قاب آنها به عملگر همانی میل می کند. همچنین نشان داده شده است که هر قاب در حقیقت یک -جفت قاب نزدیک به همانی است. با بررسی جفت قاب ها درفضای باناخ، جفت قاب های باناخ معرفی شده اند. نشان داده شده است که این مفهوم جدید شامل تعاریف مختلفی در نظریه قاب ها می باشد، مانند قاب های معمولی، قاب های شودر، عملگرهای ضربگر قاب ، قاب های باناخ و تجزیه های اتمی. نشان داده شده که شرایطی وجود دارند که تحت آنها جفت قاب ها و جفت قاب های باناخ مفاهیم یکسانی هستند. یک رابطه نردیک بین جفت قاب ها (ی باناخ) و قاب ها ارائه شده است. عناصر شرکت کننده در تشکیل یک جفت قاب (باناخ) توصیف شده و روابط بین آنها مطالعه شده است. همانند قاب های معمولی، معکوس پذیری عملگر جفت قاب، فرمول های بازسازی برای فضا به دست می دهد. در پایان، مفهوم -جفت قاب به مفهوم -جفت قاب، وقتی که یک فضای باناخ دنباله ای، یعنی تعمیمی از است، گسترش یافته است. الحاقی یک جفت قاب برای فضای دوگان معرفی شده و برخی شرایط برای وجود الحاقی برای یک جفت قاب ارائه شده است.

قضیه ی پرون-فروبینیوس مفهومی اساسی مربوط به شعاع طیفی ماتریس های نامنفی است . این قضیه علاوه بر کاربرد گسترده در ریاضیات مانند زنجیر مارکوف، قضیه ی گراف، قضیه ی بازی، آنالیز عددی و در بسیاری از زمینه های مختلف علوم مثل اقتصاد، تحقیق در عملیات، رتبه ی صفحات در اینترنت نیز به طور وسیعی مورد استفاده قرار می گیرد. با توجه به اینکه مساُله ی مقدار ویژه ی تانسورهای نامنفی، موضوع مهم مورد مطالعه در شاخه ی علوم ریاضی کاربردی و جبر چند خطی عددی است و نیز کاربردهای علمی آن از جمله بهترین رتبه ی یک تقریب در تجزیه و تحلیل عددی و غیره، ما را بر آن داشت تا تعمیم قضیه ی پرون-فروبینیوس برای تانسورهای نامنفی را مورد بررسی قرار دهیم و همچنین نتایج بیشتری را برای قضیه ی پرون-فروبینیوس اثبات کنیم.

در این پایان نامه کاربردهایی از روش های ماتریسی در نظریه تحلیلی چندجمله ای ها ارائه می گردد. در واقع نشان داده می شود که با استفاده از آنالیز ماتریسی، می توان اثبات های جدیدی برای برخی نتایج کلاسیک روی ریشه چندجمله ای ها بدست آورد. استفاده از احاطه سازی لگاریتمی در نظریه تحلیلی چندجمله ای ها مورد مطالعه قرار گرفته و سپس با استفاده از روش های ماتریسی و نظریه دنباله های افزایش دهنده، یک نتیجه احاطه سازی لگاریتمی روی ریشه چندجمله ای ها ارائه می شود.

‏در این پایان نامه به معرفی و شناسایی قاب های هارمونیک می پردازیم. در همین راستا گروه تقارن یک قاب متناهی را معرفی کرده‏، نشان می دهیم قاب های متمم و متشابه گروه تقارن یکسانی دارند. بعلاوه گروه تقارن ترکیب قاب ها نیز بررسی می شود. هم چنین g- قاب ها را تعریف کرده خاطر نشان می کنیم ‏که g- قاب های کیپ براساس ماتریس گرامی خود قابل شناسایی هستند. سپس بعضی g- قاب های کیپ را با کمک fg- مدول ها مشخص می کنیم. در پایان شرایط هم ارزی قاب های هارمونیک و وجود قاب های هارمونیک هم زاویه بر اساس مجموعه های تفاضل نیز بررسی می شود.

در این پایان نامه فضای خطی نرم دار فازی را معرفی کرده و ارتباط بین ?-نرمها و نرم فازی را بررسی می نماییم. همچنین خواص?-همگرایی و ?-کشی را مورد مطالعه قرار می دهیم. در آخر تعاریفی از ضرب داخلی فازی ارائه شده و قضایایی چون نامساوی کشی-شوارتز و فیثاغورس از نوع فازی مورد بحث قرار گرفته است.

هدف از اعمال تبدیل فوریه بر روی یک سیگنال، به دست آوردن اطلاعاتی از آن سیگنال است که در حوزه ی زمان قابل دسترس نیست. اما ما نیاز به ابزاری داریم که بتوان اطلاعات یک سیگنال را هم در حوزه ی زمان و هم در حوزه ی فرکانس مشاهده کرد. در سال های اخیر تبدیل موجک به عنوان یک ابزار تحلیلی فرکانس-زمان قوی برای تحلیل سیگنال های ناایستای مختلط پدیدار شده است. کاربرد تبدیل موجک برای تحلیل سیگنال های زیستی مانند تصاویر پزشکی، امواج الکتروانسفالوگرام، امواج الکتروکاردیوگرام و ... بر دیگر سیگنال ها پیشتاز بوده است.در این پایان نامه ما با استفاده از تبدیل موجک و سپس به کمک تبدیل فوریه ی سریع به تحلیل امواج الکتروانسفالوگرام می پردازیم.داده هایی که در این پروژه مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته اند از سایت physionet.org گرفته شده اند.

هدف از اعمال تبدیل فوریه بر روی یک سیگنال، به دست آوردن اطلاعاتی از آن سیگنال است که در حوزه ی زمان قابل دسترس نیست. اما ما نیاز به ابزاری داریم که بتوان اطلاعات یک سیگنال را هم در حوزه ی زمان هم در حوزه ی فرکانس مشاهده کرد. در سال های اخیر تبدیل موجک به عنوان یک ابزار تحلیلی فرکانس – زمان قوی برای تحلیل سیگنال های ناایستای مختلط پدیدار شده است. کاربرد تبدیل موجک برای تحلیل سیگنال های زیستی مانند تصاویر پزشکی، امواج الکتروانسفالوگرام، امواج الکتروکاردیوگرام و ... بر دیگر سیگنال ها پیشتاز بوده است. در این پایان نامه ما با استفاده از تبدیل موجک و سپس به کمک تبدیل فوریه ی سریع به تحلیل امواج الکتروکاردیوگرام می پردازیم. داده هایی که در این پروژه مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته اند مربوط به پایگاه داده بیمارستان کودکان بوستون می باشد که از سایت physionet.org گرفته شده اند.

دراین پایان نامه گروه تقارن قاب های متناهی را به عنوان گروه جایگشت ها روی مجموعه ی اندیس گذار مشخص می کنیم. متناظر باگروه تقارن جایگشت ها، گروه تقارن شامل همه نگاشت های خطی ومعکوس پذیر روی فضای مورد نظر معرفی می شود که عناصر قاب را به خودشان می برد. این گروه ارتباط تنگاتنگی با گروه تقارن وال و والدرون برای قاب های چسبان دارد. این دو گروه یکریختند وقتی قاب چسبان و شامل بردارهای متمایز است. گروه تقارن همه ی قاب های متشابه یکی است، به ویژه برای یک قاب، دوگان و قاب چسبان متعارف آن گروه تقارن یکسانی دارند. به راحتی می توان از روی ماتریس گرام یک قاب چسبان متعارف گروه تقارن متناظر با آن را یافت، به علاوه یک قاب و متمم آن گروه تقارن یکسانی دارند. با توجه به خاصیت اخیر رده خاصی از قاب ها به نام قاب های چسبان با بیشترین تقارن را معرفی می کنیم.

قاب های چسبان، تعمیمی غیر بدیهی از پایه های متعامد یکه می باشند. در سال های اخیر، پیشرفت زیادی در درک و پیاده سازی قاب های چسبان صورت گرفته است با این وجود سوال های اساسی و مهم زیادی در مورد این نوع قاب ها بدون جواب باقی مانده است. در تعریف پایه ی متعامد یکه لازم است که بردارها از طول واحد باشند اما در مورد قاب های چسبان به چنین فرض اولیه ای نیاز نداریم همچنین در صورت داشتن یک پایه برای یک فضا می توان هر عضو فضا را با کمک عناصر پایه نمایش داد. در حالی که ارائه ی نمایشی متناظر با اسفاده از قاب های چسبان، شرط غیر صریحی روی طول های عناصر چنین قاب هایی ایجاد می کند. در این پژوهش هدف ما بررسی ارتباط بین ساختار قاب های چسبان متناهی و اندازه ی عناصر تشکیل دهنده ی آن ها می باشد. همچنین ارتباط این گونه قاب ها با کمینه سازهای تابع انرژی پتانسیل که از اهمیت زیادی در مباحث فیزیکی و ارتباطات رادیویی و بی سیم برخوردار است، بررسی خواهد شد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

در این پایان نامه دو هدف مدنظر بوده است : یکی معرفی تبدیلهای موجکی و مقایسه آنها با تبدیلهای فوریه، دیگری بررسی روش ساختن موجکها با استفاده از معادلات اتساع. در فصل اول ضمن معرفی کوتاهی از نظریه موجکها و تاریخچه آن، برخی مفاهیم و تعاریف اولیه ارائه شده اند. چون قصد این بوده است که مقایسه ای بین تبدیل موجکی با تبدیلهای سریع فوریه به عمل آید. فصل دوم به معرفی تبدیلهای سریع فوریه اختصاص دارد. در فصل سوم ابتدا یک موجک خاص و تبدیل آنرا بعنوان مثال معرفی کرده و با تبدیل فوریه مقایسه شده است . در فصل چهارم چگونگی ساختن موجکها شرح داده شده و معادله اتساع معرفی گردیده است . در فصل پنجم دو روش برای حل معادله اتساع ارائه شده است : 1 ) حل توسط تبدیل فوریه. 2 ) حل توسط ضربهای ماتریسی. بالاخره در فصل ششم به بررسی معادلات اتساعی که دارای جوابهای پیوسته با محمل فشرده هستند پرداخته و ارتباط بین شعاع طیفی توام ماتریسها و نمای هلدر پیوستگی مورد بحث قرار گرفته است .