موضوع اصلی این رساله مطالعه n- پوشش های یک گروه متناهی می باشد. یک n- پوشش گروه مفروض g طبق تعریف عبارت است از اجتماع یک گردایه n عضوی از زیرگروه های سره g به طوری که آن گردایه برابر g باشد و دارای هیچ زیر گردایه ای با این ویژگی نباشد. در این رساله عمدتا به مطالعه n- پوشش ها تا6≥n می پردازیم. این رساله مشتمل بر چهار فصل است:در فصل اول تعاریف و قضایای مورد نیاز در رابطه با گروه ها ذکر می شود. با بیان این مفاهیم زبان دقیقی برای بیان مفاهیم بعدی فراهم می آوریم. در فصل دوم به بررسی گروه های 3 -مجموع پرداخته و نشان میدهیم یک گروه دلخواه g، اجتماع سه زیر گروه سره خود است اگر و تنها اگر 4 - گروه کلاین تصویر همریختی g باشد. در فصل سوم به بررسی کلی گروه های n - مجموع می پردازیم. نشان می دهیم گروه 2- مجموع وجود ندارد و ساختار گروه های n- مجموع برای 6≥n≥ را بررسی و رده بندی می کنیم. همچنین گروه های n- مجموع اولیه را تعریف و برای 6≥n≥ آن ها را شناسایی می کنیم. در فصل چهارم به بررسی گروه هایی که دارای یک 6 -پوشش ماکسیمال تقلیل ناپذیر با اشتراک هسته آزاد هستند پرداخته و این گروه ها را رده بندی می کنیم ودر طی آن مقدار دقیق بزرگ ترین شاخص اشتراک در این گروه ها را محاسبه می کنیم.

در سال 1974 ونگ پرمننت ماتریس های مربعی از مرتبه n=4k+1 وn=4k+3 و درایه هایی از ریشه دوم واحدرا بررسی کرد و وجود ماتریس هایی از این مرتبه با پرمننت صفر را اثبات نمود. در سال 1983 سیمون و اشمیت مرتبه ماتریس هایی را مورد بررسی قرار دادند که پرمننت آن ها مخالف صفر است و نشان دادند اگر a ماتریسی مربعی از مرتبه یک واحد کمتر از توانی از 2 و با درایه هایی از 1و1- باشد،پرمننتی غیر صفر خواهد داشت. در سال 2003 سعید اکبری ،حمیدرضا فنایی و کامبیز محمودیانموضوع فوق را تعمیم دادند و اثبات نمودند اگر m توانی از یک عدد اول نباشد،تعداد تمام ماتریس های مربعی از هر مرتبه ای روی ریشه های واحد با پرمننت و دترمینان ثابت عددی متناهی است و اگر m توانی از یک عدد اول نباشد،گردایه ای نامتناهی از ماتریس های روی ریشه های واحد m-ام وجود دارندکه دترمینان آن ها مقدار ثابت یک است. ما در این رساله مباحث فوق را به صورت مبسوط تری مورد بررسی و مطالعه قرار داده ایم.

در این پایان نامه توجه ما معطوف به گراف های ساده است. فرض کنید ‎ ‎g‎ ‎ یک گراف از مرتبه ی ‎ ‎n‎ ‎ باشد. اگر ‎ ‎a‎ ‎ ماتریس مجاورت ‎ ‎g‎ ‎ باشد‏، مقادیر ویژه ی ‎ ‎a‎ ‎ که به وسیله ‎?_1,…,?_n نمایش داده می شوند‏ را مقادیر ویژه ی ‎ ‎g‎ ‎ گوییم. ‎‎انرژی گراف ‎ ‎g‎ ‎ به صورت زیر تعریف می شود.‎‎ e (g)= ?_(i=1)^n??|?_i |? ‎‎در این رساله ‎‎ابتدا کران هایی برای انرژی گراف به دست می آوریم‏، سپس برخی روابط انرژی گراف را با رتبه‏، عدد رنگی و عدد انتخاب آن گراف تعیین کرده همچنین روش هایی را برای ساختن گراف های هم انرژی ارائه داده ایم. در ادامه انرژی را برای رده ی خاصی از گراف ها‏، به نام گراف های کیلی مورد بررسی قرار می دهیم.

در این ‎‎پایان نامه برخی شرایط لازم طیفی برای وجود همریختی گرافی مورد مطالعه قرار گرفته است. در این راستا برخی از پارامترهای مرتبط با فضاهای ویژه مانند دامنه ی گرهی در نظر گرفته شده است و از ماتریس های لاپلاسین و کولاپلاسین استفاده شده است. همچنین کاربردهایی در ارتباط با تجزیه ی گراف ها بیان و به کمک آن نامساوی فیشر برای-g‎‎‎ ‎طرح ها اثبات شده است.‎‎

در این رساله پس از تعریف ماتریس مجاورت وزن دار سگد اصلاح شده ی یک گراف، مقادیر ویژه آن مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین کران های جدیدی برای پراکندگی طیف لاپلاسی بی علامت یک گراف به دست می آید. در ادامه چند شاخص توپولوژیک برای گراف های سه دوری، چهار دوری و کاکتوس بررسی و همچنین گراف های نظیر برای مقادیر ماکزیمم این شاخص ها ارایه می شود.

در این رساله با استفاده از مفهوم زیرمیدان های خودنرمال ساز، برهانی جدیدی برای قضیه کوچک ودربرن ارائه می گردد. در ادامه نشان داده می شود که اگر ‎$r$‎ یک حلقه ناجابجایی و ‎$i$‎ یک ایده ال لی غیرمرکزی بدون مقسوم علیه صفر از آن باشد، آن گاه اندازه مجموعه همدسته های ضربی ‎${ai| ain r}$‎ نامتناهی است. ‎ ‎ ‏حال فرض کنید ‎$g$‎ یک گروه متناهی باشد. تابع مجموع مرتبه عناصر ‎$g$‎ را با ‎$psi(g)$‎ نمایش می دهیم. در این رساله برخی رده ها از ‎$-p$‎گروه های متناهی را مطالعه و اعضای این رده را با ‎$psi(g)$‎ و ‎$|g|$‎ رده بندی می کنیم. پس از آن تمامی گروه های متناهی غیر دوری را که دارای بیشترین مقدار مجموع مرتبه عناصر هستند رده بندی و حدس ارائه شده در مرجع ‎cite{sm}‎ در مورد بیشترین مقدار مجموع مرتبه عناصر در گروه های غیر دوری را اثبات می کنیم. در ‎cite{1}‎ نویسندگان نشان داده اند که اگر ‎$g$‎ یک گروه غیر دوری از مرتبه ‎$n$‎ باشد، آنگاه ‎$psi(g)< psi(c_n)$‎. این نتیجه را بهبود و تعمیم داده و به عنوان کاربردی از این نتیجه نشان خواهیم داد که اگر ‎$g$‎ یک گروه غیر دوری از مرتبه ‎$n$‎ باشد، آنگاه ‎$psi_2(g)< psi_2(c_n)$‎ که در آن ‎$psi_2(g)$‎ مجموع حاصلضرب تمام ترکیب های دوتایی از مرتبه عناصر در ‎$g$‎ است.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.