در این پایان نامه، روشی برای حل معادله گرما که نمونه ای از معادلات سهموی است ارایه می شود. در حالت بک بعدی، ابتدا با استفاده از روش تفاضلات متناهی کرانک- نیکلسون، معادله حل می شود و با استفاده از این جواب تقریبی، ماتریس اطلاعات فوری به دست می آید. با تجزیه مقدار تکین ماتریس اطلاعات فوری، پایه بهینه و جواب های بهینه- که تقریبی از جواب های روش کرانک- نیکلسون هستند- به دست می آیند. در حالت دو بعدی، به کمک حالتی ار روش تفاضلات متناهی ضمنی جهت های متناوب (adi) که به dadi معروف است معادله حل می شود. به طریق مشابه، پایه های بهینه و جواب های بهینه بدست می آیند. روش تفاضلات متناهی تقلیل یافته ارایه شده به تکنیک افراز متعاده سره معروف است. سپس نتایج عددی به دست آمده از روش های تفاضلات متناهی معمول با نتایج عددی به دست آمده از روش های تفاضلات متناهی تقلیل یافته مقایسه می شوند. در پایان، خطای روش های تفاضلات متناهی تقلیل یافته برآورد می شود.

از زمانی که روش های ضمنی جهت متناوب (adi) توسط هنری راچفورد و هم کاران ارایه شد، بیش از نیم قرن می گذرد و هنوز این روش ها به عنوان ابزاری سودمند در حل معادلات با مشتقات پاره ای سهموی و هذلولوی در ابعاد بالا مورد استفاده قرار می گیرند. علت این محبوبیت آن است که این روش ها از ویژگی های دقت مطلوب، پایداری نامشروط، حجم محاسبات پایین و قابلیت موازی سازی محاسبات برخوردار هستند. در این پایان نامه سه روش adi جدید در حل معادلات با مشتقات پاره ای سهموی دو و سه بعدی و هذلولوی سه بعدی بررسی می-شوند.