فیلیپ هال در سال ‎1940‎ مفهوم آیزوکلینیسم را معرفی کرد. هم چنین مفهوم کلی تر از آیزوکلینیسم را، ‎n-‎آیزوکلینیسم نامید. در این پایان نامه، مفهوم ‎n-‎آیزوکلینیسم را به کلاس همه جفت گروه های ‎ (g,m) ‎ تعمیم می دهیم، که ‎m‎ زیرگروه نرمال ‎g‎ می باشد. جزئیات این مفهوم را مورد مطالعه قرار می دهیم و شرایط معادل دو جفت از گروه ها را برای ‎n-آیزوکلینیک بیان می کنیم. به علاوه، مفهوم زیرگروه و خارج قسمت تحویل ناپذیر برای جفت گروه ها معرفی کرده و قضایای مربوط به آن را اثبات می کنیم.

فرض کنید n و k دو عدد صحیح باشند به طوری که n>k>0. در این پایان نامه به معرفی یک رده جدید از گراف ها، با عنوان h(n,k) که شامل ابرمکعب ها و برخی از گراف های معروف است، می پردازیم. برای نمونه گراف های جانسون، گراف های نسر و گراف های پترسن، زیرگراف های h(n,k) هستند. برخی خواص جبری و توپولوژیکی گراف های h(n,k) را ارائه می کنیم. برای مثال، h(n,k) یک گراف کیلی است، خودریختی گروهی h(n,k)شامل یک زیرگروه از مرتبه n!2^n است، عدد همیندی h(n,k، انتخاب k از n می باشد. اگر k فرد باشد، h(n,k) همیلتونی است و اگر زوج باشد، h(n,k) شامل دو مولفه همبند یکریخت است. به علاوه، قطر h(n,k) را در حالتی که k یک عدد فرد است محاسبه می کنیم. در انتها برای برخی مقادیر کوچک n و k، خواص گراف h(n,k) را بیان کرده و چند حدس پیرامون عدد استقلال و عدد خوشه ای گراف h(n,k) را بررسی خواهیم نمود.

فرض کنید ‎g گروهی متناهی باشد. در این پایان نامه دو نوع گراف اشتراکی وابسته به گروه ‎g را مورد مطالعه قرار داده ایم. اولین گراف، گراف اشتراکی زیرگروه های ‎g است که در آن راس ها عناصر غیرهمانی ‎g و دو راس ‎x و ‎y با یکدیگر مجاورند هرگاه زیرگروه های دوری ‎<x> و ‎<y>‎ اشتراک غیربدیهی داشته باشند. خواص اساسی این گراف از جمله همبندی، عدد استقلال، مسطح بودن و غیره را بررسی می کنیم. دومین گراف، گراف اشتراکی زیرگروه های نرمال ‎g است که در آن راس ها زیرگروه های نرمال ‎g و دو زیرگروه نرمال ‎g با یکدیگر مجاور هستند هرگاه دارای اشتراک غیربدیهی باشند. خاصیت های همبندی، کامل بودن و اینکه تحت چه شرایطی دوبخشی و یا جنگل باشند را مورد مطالعه قرار داده ایم.

گراف های کیلی نوعی از گراف های وابسته به یک گروه هستند. اگر این گروه را به بعضی از توابع حسابی مرتبط سازیم گراف کیلی رفتاری همانند یک گراف حسابی خواهد داشت. در این پایان نامه گراف کیلی روی گروه دوری ‎ zn‎ ، از جمله گراف کیلی بخشی و گراف کیلی اویلر و رده دیگری از گراف های حسابی به نام گراف حسابی ‎vn مورد بررسی قرار می گیرند. همچنین نشان می دهیم گراف کیلی بخشی، منتظم، همیلتونی و همبند است. این گراف دوبخشی نیست و هنگامی که ‎n‎ فرد باشد اویلری است. فرمولی برای محاسبه تعداد مثلث ها در این گراف نیز ارائه شده است. مقدار عدد غلبه ای برای گراف cay(zn ,a) ‎ که ‎a‎ مجموعه مولد گروه zn‎ باشد را می یابیم. همچنین، پارامترهای غالب جورسازی روی گراف کیلی اویلر بررسی می شوند و بعضی از نتایج مرتبط با خواص اساسی ضرب مستقیم گراف کیلی اویلر در گراف حسابی vn ‎ بیان می شوند.

هدف از این رساله معرفی سه گراف و بررسی خواص اساسی و مهم این گراف ها از جمله هم بندی، کامل بودن، مسطح،1-مسطح،همیلتونی و محاسبه پایاهای عددی از قبیل کمر،قطر،عدد غالب و عدد رنگی به صورت زیر می باشد