در ] 1[ m یک منیفلد به همراه یک صورت حجم و یک دیفیومورفیسم حافظ حجم f:m m از رده ی فرض می شود. در این پایان نامه f، - ژنریک فرض نمی شود. موضوعات اصلی که در این رساله با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار گرفته اند عبارتند از:1) زنجیربازگشتی، 2)روابط بین نقاط بازگشتی، هموکلینیک، ناسایه ای و هذلولوی. برای 1) (با این فرض که m نا فشرده است ) داریم: اگر f پایدار لاگرانژ باشد آنگاه m مجموعه ی زنجیر بازگشتی است. در حالتی که m فشرده است پایداری لاگرانژ f به طور خودکار برقرار است. برای 2) در [19] و [4](با فرض فشردگی m )مفاهیم متفاوتی اثبات می شود از قبیل:آ) برای یک نقطه ی تناوبی هذلولوی p، - پایدار – سایه ای بودن موًلفه ی زنجیری f شامل p، هذلولوی بودن آن را نتیجه می دهد.ّّب) - پایدار – سایه ای با هذلولوی بودن m برابر است. پ) اگر نقطه ی p درm یک نقطه ی بازگشتی در منیفلد ناپایدارش داشته باشد و هیچ نقطه ی هموکلینیک p وجود نداشته باشد، آنگاه f ناسایه ای است. ت) اگر f ویژگی سایه ای داشته باشد و p یک نقطه ی بازگشتی در منیفلد ناپایدار ش داشته باشد آنگاه نقطه ی بازگشتی در مجموعه ی حدی نقاط هموکلینیکp قرار دارد.

فضای رمز نقش مهمی در مطالعه فرکتال های خود- متشابه بازی می کند. این فضا برای مختـصات دادن به نقاط یک مجموعه خود- متشابه به کار می رود. فضای رمز در بررسی دستگاه های دینامیکی نیز حائز اهمیت است. نگاشت انتقال روی یک فضای رمز مثال با ارزشی از یک دستگاه دینامیکی است. زیر انتقال های از نوع متناهی برای آنالیز بسیاری از دستگاه های دینامیکی متعارف به کار می روند . این مبنای نظریه دینامیک های نمادین است. متریک مناسبی به طور ویژه روی فضای رمز وجود دارد. با این متریک بعد فضای رمز و زیرانتقال های از نوع متناهی با استفاده از نتایج فالکونر روی مجموعه های زیر- خود- متشابه، قابل محاسبه است. نشان می دهیم که فضای رمز با یک نگاشت دوسو- لیپشیتز قابل نشاندن در فضای اقلیدسی است. انتقال یا زیرانتقال های از نوع متناهی روی این تصویر نشانده شده قابل توسیع به یک نگاشت هموار f روی فضای اقلیدسی می باشد به طوری که مجموعه نشانده شده در واقع مجموعه ناوردای فشرده بیشین f است که در این حالت شامل مجموعه ناسرگردان f نیز می باشد. تحدید f به این مجموعه با توانی از انتقال یا زیرانتقال های از نوع متناهی هم ارز است. بعد هاسدورف مجموعه ناوردا، نماهای لیاپانوف f در نقاط مختلف آن مجموعه و انتروپی توپولوژیک f همه قابل محاسبه هستند. بنابراین روشی کلی برای ساختن مثال هایی که در آن ها روابط بین این کمیت ها مورد مطالعه قرار گیرد، به دست می آید. هم چنین فضای متریکی می سازیم که با یک مجموعه کانتور همسانریخت است، اما نمی توان آن را به عنوان جاذب یک ifs درنظر گرفت. به ویژه مثالی از یک مجموعه کانتور c در r3 ارائه می شود به طوری که هر همسانریختی f روی r3 که c را حفظ کند، روی c با نگاشت همانی منطبق است.

در این پایان نامه نگاشت های پادضرب مورد بررسی قرار می گیرندو دو نوع خاص از پادضرب ها ی پله ای و پادضرب های نرم معرفی شده و برخی از ویژگی های آنها ارائه می شوند و سپس این جاذب ها با یکدیگر مقایسه می گردند.در فصل دوم مفهوم مشتق شوارتزی تعریف می شود و نشان داده می شود که چگونه علامت مشتق شوارتزی نگاشت های تار پادضرب هایی که توسط نگاشت های دایره ای انبساطی تحمیل می شوند ،می توانند دینامیک این دسته از نگاشت ها را تحت تاثیر قرار دهند.در فصل سوم پایان نامه مجموعه ی بازی در فضای پادضرب های پله ای معرفی می شود که هر پادضرب در این مجموعه یک جاذب ضخیم دارد یعنی اندازه ی لبگ جاذب میلنور آن مثبت است ولی از اندازه ی کامل نیست

یک ناحیه نامرئی از یک جاذب ناحیه باز از جاذب است که مدار تقریبا هر نقطه با بسامد میانگین بسیار کم از آن ناحیه عبور می کند.

در این پایان نامه به بررسی انواع جاذب ها در سیستم های دینامیکی می پردازیم و جاذب های تصادفی را مورد بررسی قرار می دهیم که تحت اختلالات سیستم پایدار می مانند، به ویژه آنهایی که دارای نواحی ?-نامرئی هستند.یک ناحیه از جاذب را?-نامرئی می نامیم اگر مدارهای سیستم با میانگین فرکانس کمتر از ? به آن ناحیه وارد شوند. برای مقادیری کوچک از ? یک مشاهده گر هرگز این ناحیه را ملاقات نمی کند.

در این پایانامه نشان داده می شود نماهای لیاپانف اندازه ارگودیک هذلولوی توسط نماهای لیاپانوف اندازه هذلولوی یک مدار تناوبی تقریب می خورد . برای ثابت کردن این قضیه‏‏، تقریب را از بزرگترین نمای لیاپانوف اندازه ارگودیک هذلولوی توسط بزرگترین نمای لیاپانوف یک مدار تناوبی هذلولوی که وجود آن را با قضیه بازگشتی پوانکاره نشان می دهیم، آغاز می کنیم سپس با همان استدلال کوچکترین نمای لیاپانوف اندازه ارگودیک هذلولوی را با کوچکترین نمای لیاپانوف همان مدار تناوبی هذلولوی تقریب می زنیم ‎‎ و در پایان و با استدلال به کار برده شده در قضیه 1.1.3 و استفاده از ‎توان بیرونی ‎$ i $‎ ‏ ام نشان می دهیم مجموع ‎ $ ‎i‎ $‎‏ تا از نماهای لیاپانف اندازه ارگودیک هذلولوی با مجموع ‎$ ‎i‎ $‎ ‏تا از نماهای لیاپانف مدار تناوبی هذلولوی تقریب می خور‏د.‎‎‎ به این ترتیب تمام نماهای لیاپانف اندازه ارگودیک را تقریب می زنیم.

در این پایان نامه، به بررسی خواص بلندرهای دوگانه و هم بافته می پردازیم. یک ‎$cu$-‎بلندر، به طور خلاصه یک مجموعه ی هذلولوی ناوردا با تجزیه ای به شکل ‎$e^{ss} oplus e^u oplus e^{uu}$‎ به طوری که در آن ‎$dim e^u = 1$‎ و تصویر مناسبی از یک مجموعه ی پایدار آن دارای بعد توپولوژیکی بزرگتر از بعد خود مجموعه ی پایدارش می باشد. می توان یک ‎$cs$-‎بلندر را به طور مشابه تعریف نمود. %اساسا ساختارشان از یک مجموعه ی هذلولوی با یک زیرشاخه ی ضعیف یک بعدی هذلولوی استفاده می کند. از طرف دیگر، جهت استفاده از این ابزار موضعی برای سیستم هایی با شاخه های مرکزی ابعاد بالاتر، می توان یک زنجیر از بلندرها با کلاف مرکزی یک بعدی و با اندیس های متفاوت ایجاد نمود که به کمک آن می توان این بلندرها را به ابعاد بالاتر تعمیم داد. %این سیستم ها از زنجیره ای از بلندرها دارای شاخه های یک بعدی مرکزی با اندیس متفاوت %(یعنی بعد شاخه پایدار) %استفاده می کنند که به هم دیگر متصل هستند. در این پایان نامه کلاس جدیدی از این نوع بلندر در سیستم هم بافته (یا همیلتونی) ایجاد می شود که همانند ترکیبی از زنجیره های ‎$cs$-‎بلندر و ‎$cu$-‎بلندر به طور هم زمان عمل می کند. هنگامی که شاخه مرکزی به طور یکنواخت پایدار یا ناپایدار است یک ‎$cs$-‎بلندر یا ‎$cu$-‎بلندر می سازیم. در این پایان نامه همچنین به بررسی حالتی می پردازیم که شاخه مرکزی به دو زیرشاخه ی پایدار و ناپایدار تفکیک می شود که مجموعه ی ماکزیمم هذلولوی ناوردا به فرم ‎$e^{ss} oplus e^s oplus e^u oplus e^{uu}$‎ است. سپس یک مدل انتزاعی ارائه می شود که هم ویژگی ‎$cs$-‎بلندر و هم ‎$cu$-‎بلندر را از خود نشان می دهد که آن را بلندر دوگانه می نامیم.

در این پایان نامه این موضوع بررسی شده است که دیفیومورفیسم های ارگودیک پایدار در فای تمام دیفیومورفیسم های هذلولوی جزئی که دارای بعد مرکزی دو هستند چگال می باشند و دیفیومورفیسم f را ارگودیک پایدار گوییم هر گاه یک c1 همسایگی باز از f چنان وجود داشته باشد که همه دیفیومورفیسم هایی که در این همسایگی قرار دارند ارگودیک باشند.

در این پایان نامه نتایج آنتروپی انبساطی استوار برای دیفیومورفیسم f روی رفتار دینامیکی نگاشت مشتق df را مورد بررسی قرار می دهیم. نشان می دهیم اگر f یک -cr دیفیومورفیسم روی یک منیفلد فشرده و بدون مرز m از بعد بزرگتر یا مساوی 2 و (p) h رده ی هموکلنیکی متناظر با نقطه ی تناوبی هذلولوی p باشد و –c1 همسایگی u از f موجود باشد به طوری که برای هر g در همسایگی u پیوستار(pg) h از (p)h آنتروپی انبساطی باشد، آن گاه کلاف مماسی th(p)m یک تجزیه ی غالبی دارد. در واقع نشان می دهیم اگر تجزیه ی غالب برای کلاف مماسی موجود نباشد، آن گاه دنباله ای از نعل اسب های کوچک برای یک اختلال g از f ایجاد می شود که دارای آنتروپی توپولوژیکی مثبت هستند و به تناقض با فرض استوار بودن آنتروپی انبساطی می رسیم. همچنین نشان می دهیم در یک زیرمجموعه ی باز و چگال از u، رده ی هموکلینیکی پیوستار p دارای تجزیه غالب dg- پایایی با کلاف مرکزی می باشد که کلاف مرکزی به زیر کلاف های یک بعدی تجزیه می شود و هر زیرکلاف غیر هذلولوی می باشد. به علاوه اگر (p) hمنزوی باشد، آن گاه کلاف های کناری به ترتیب انقباضی و انبساطی اند و اگر اندیس نقاط تناوبی موجود در (pg)h با اندیس p برابر باشند، آن گاه در یک زیر مجموعه ی باز و چگال از u رده ی هموکلینیکی هذلولوی می باشد.

در این پایان نامه دیفیومورفیسم هایی با ویژگی شکافتن غالب که دارای کلاف مرکزی غیر هذلولوی است مورد مطالعه قرار می گیرد و نشان داده می شود که چنین دیفیومورفیسم ها در حالتی که کلاف مرکزی به زیر کلاف های یک بعدی شکافته می شود آنتروپی انبساطی است.برگ بندی های مرکزی،پایدار مرکزی و ناپایدار مرکزی را با ویژگی هایی از جمله این که این برگ بندی ها تقریبا مماس بر کلاف های اولیه اند،به طور موضعی ناوردا می باشند و همچنین این برگ بندی ها به طور نمایی در مقیاس موضعی کران دارند را می سازیم که اصطلاحا برگ بندی های ساختگی مرکزی نامیدمی شوند. برای اثبات این قضیه از برگ بندی های ساختگی استفادهمی کنیم و نشان می دهیم که آنتروپی توپولوژیکی روی مجموعه ای که آنتروپی انبساطی تعریف می شود صفر است. در واقع نشان می دهیم که این مجموعه یا تکعضوی است و یا در یک مجموعه ی یک بعدی از شعاع متناهی باقی می ماند و در هر دو مورد آنتروپی توپولوژیکی صفر است.

به منظور مطالعه ی وجود جاذب یک دستگاه تابع تکرار از دیدگاه توپلوژیکی ابتدا ویژگی p-ستاره برای یک دستگاه تابع تکرار روی فضای متریک و فشرده که توسط میت ارائه گردیده معرفی شده است. جاذب دستگاه تابع تکرار از دیدگاه توپولوژیکی که انرا جاذب توپولوژیکی دستگاه تابع تکرار نامند یک مجموعه فشرده و ناوردا است.در ادامه وجود جاذب توپولوژیکی دستگاه تابع تکرار به طور ضعیف هذلولوی روی فضای متریک کامل x نشان داده می شود. . همچنین بعنوان نتایجی وجود جاذب توپولوژیکی روی فضای باناخ و منیفلد ریمانی کامل m برای یک دستگاه تابع تکرار مشاهده می شود.

دراین پایان نامه نشان داده می شود که به صورت ژنریک با در نظر گرفتن هر یک از مفروضات زیر می توان نتیجه گرفت که یک مجموعه ی منزوی، متعدی توپولوژیکی و هذلولوی است. 1. مجموعه ای که متعدی زنجیری است و در ویژگی سایه زنی صدق می کند. 2. مجموعه ای که در ویژگی سایه زنی حدی صدق می کند. 3. مجموعه ای که در ویژگی سایه زنی میانگین مجانبی صدق می کند و همچنین منیفلدهای پایدار و ناپایدار هر مدار بحرانی اش یکدیگر را قطع می کنند. همچنین نشان داده می شود که نتایجی مشابه فوق برای میدانهای برداری بدون دیورژانس نیز برقرار است.

در این پایان نامه نشان میدهیم اگر یک رده هموکلینیک، پایداری ساختاری داشته باشد،انگاه یک تجزیه تسلطی برای این رده وجود دارد.به علاوه نشان میدهیم که برای یک نقطه تناوبی هذلولوی که دارای اندیس 1 یا بعد فضا منهای 1است، اگررده هموکلینیک پایداری ساختاری داشته باشدانگاه این رده هموکلینیک هذلولوی است.سپس نشان میدهیم اگر دیفیومورفیسم دور از حالت مماس هموکلینیک باشدانگاه هر رده هموکلینیک که پایداری ساختاری دارد هذلولوی است

در این پایان نامه، پدیده همگامی برای دستگاه های تابع تکرار روی منیفلدهای فشرده، در دو حالت مورد برسی قرار می گیرد: ‎1‎- دستگاههای تابع تکرار تولید شده توسط دیفیومورفیسم های تصادفی با نوفه ی به طور مطلق پیوسته. ‎2‎- دستگاههای تابع تکرار تولید شده توسط تعداد متناهی دیفیومورفیسم. در اینجا همگامی، همگرایی مدارها با نقاط آغازین متفاوت است وقتی تکرارها به وسیله یک دنباله یکسان از دیفیومورفیسم ها صورت می گیرد. دستگاه های تابع تکرار، تشریحی به صورت یک دستگاه پادضرب روی عملگر نوبت برنولی می پذیرند. تحت شرایط باز شامل تعدی و داشتن نماهای لیاپانوف تار منفی، وجود یک نمودار ناوردای جذب کننده یکتا برای دستگاه پادضرب ثابت می شود. این، رخداد همگامی را توصیف می کند. نتایج ارائه شده، برای دستگاه های پادضرب نظیر دستگاه های تابع تکرار تولید شده توسط تعداد متناهی دیفیومورفیسم، شامل وجود یک رده ی باز از دستگاه های پادضرب است که همزمان یک اندازه از تکیه گاه کامل با لبه ی اندازه برنولی و نماهای لیاپانوف تار منفی را می پذیرد.

در این رساله ابتدا نشان می دهیم که ویژگی سایه ای مداری در مجموعه های بازی از فضای همه ی همیومورفیسم ها ژنریک است. سپس ویژگی اکیداً نگهدارنده و اکیداً نگهدارنده ضعیف که قوی تر از ویژگی نگهدارنده و نگهدارنده ضعیف هستند را تعریف می کنیم و به مطالعه ارتباط این ویژگی با ویژگی سایه ای می پردازیم. مطالعه روی سیستمهای با ویژگی سایه ای میانگین حدی و ارتباط آن با جاذبها از دیگر بخشهای این فصل است که به آن می پردازیم و ارتباط این ویژگی را با دیفیومورفیسم های آنوسوف بررسی می کنیم. در بخش دیگری از این فصل ارتباط ویژگی سایه ای معکوس با پایداری، مینیمال بودن و ویژگی انبساطی مورد مطالعه قرار می گیرد و ژنریک بودن ویژگی سایه ای معکوس ضعیف را در مجموعه های بازی از فضای همه ی همیومورفیسم ها نشان می دهیم و در آخر نشان می دهیم که ویژگی سایه ای مداری و معکوس ضعیف در فضای همه دیفیومورفیسم ها با بعد 2 یا 3 به طور موضعی ژنریک است .