در این رساله، سیستم های توصیفی را مورد مطالعه قرار داده و نتایجی رادر مورد مسأله اینرشیا و مقادیر ویژه ماتریس دسته ی وابسته به یک سیستم توصیفی مطرح می کنیم. با استفاده از ماتریس های تصویر طیفی روش جدیدی برای تبدیل یک مسأله اینرشیای تعمیم یافته به یک مسأله اینرشیای استاندارد بیان می کنیم. سپس روش جدیدی برای بررسی رفتار مجانبی یک سیستم توصیفی ارائه می دهیم. در حالت کلی رفتار مجانبی یک سیستم توصیفی با جواب یک معادله لیاپانوف تعمیم یافته مطالعه می شود که این معادله در برخی حالات قابل استفاده نیست، ما نشان می دهیم که رفتار مجانبی یک سیستم توصیفی را می توان با استفاده از یک معادله لیاپانوف استاندارد مورد مطالعه قرار داد. همچنین نشان می دهیم تصویرهای طیفی را می توان بدون استفاده از تجزیه وایرشتراوس بدست آورد. سیستم های مرتبه دوم را مورد توجه قرار داده و نشان می دهیم هر سیستم مرتبه دوم نامیرا تحت شرایطی، نمایشی به صورت یک سیستم توصیفی محض دارد.

در این پایان نامه مساله تحقق می نیمال سیستم های توصیفی مورد بررسی قرار گرفته است. اساس این مطالعه بر تجزیه وایراشتراس استوار است به این معنی که با استفاده از تجزیه وایراشتراس، سیستم توصیفی را به دو زیرسیستم استاندارد و توصیفی تجزیه می کنیم و سپس به بررسی تحقق می نیمال این دو زیرسیستم می پردازیم. در طول مطالعه تحقق می نیمال سیستم های توصیفی، مفاهیمی نظیر تحقق می نیمال مشروط و تحقق می نیمال کاهشی مطرح می شود که به تشریح این مفاهیم می پردازیم. سپس روش جدیدی برای تعیین مرتبه تحقق می نیمال سیستم های توصیفی بدون استفاده از تجزیه وایراشتراس ارائه می دهیم. همچنین در حوزه سیستم های استاندارد نیز روش جدیدی برای تعیین مرتبه و تحقق می نیمال سیستم های استاندارد با استفاده از فرم کانونی جردن ارائه می کنیم.

این پایان نامه معادلات لیاپانوف تعمیم یافته و همچنین کاربرد این معادلات را در پایداری سیستمهای توصیفی بررسی می کند.