بسته بودن مدول های منبسط تحت جمع مستقیم متناهی به این سوال مهم در رابطه با مدول های منبسط که چه موقع ان ها دارای خاصیت تبادل هستند نیز اشاره دارد . در واقع ثابت می شود که کلاس مدول های با خاصیت تبادل تحت جمع مستقیم متنهای بسته است . تزریقی را معرفی و سپس بسته بودن کلاس مدول های منبسط تحت جمع مستقیم o در این پایان نامه مدول های متناهی رابررسی می کنیم . همچنین مدول های نیمه پیوسته را معرفی کرده و با توجهبه مفهوم تزریقی بسته بودن کلاس این مدول ها را نسبت به جمع مستقیم متناهی بررسی می کنیم .

حلقه یکدارr را قویاً تمیز می نامیم اگر هر عنصر از آن را بتوان به صورت مجموع یک یکه و یک خودتوان درr نوشت. در این پایان نامه به مشخصه سازی حلقه های تعویض پذیرr که (m_n(r قویاً تمیز است با توجه به فاکتورگیری هایی در [r[t می پردازیم. هم چنین ثابت می کنیم که برای هر چندجمله ای تکین [f?r[t، قویاً تمیزی ماتریس همراهf با قویاً تمیزی تمام ماتریس ها با چندجمله ای مشخصهf معادل است.

و ارتباط بین این حلقه ها و حلقه های 2- اولیه، مستقیما متناهی و نیمه مرکزی چپ کمین را ، در این پایان نامه حلقه های باشد آن گاه حلقه ی است ولی عکس این مطلب برقرار نیست. اثبات می کنیم اگر ، بررسی می کنیم. هر حلقه ی مستقیما متناهی لزوما نیمه مرکزی چپ کمین نیستند. هم چنین حلقه های نیمه مرکزی چپ کمین است. ولی حلقه های هستند نشان می دهیم عکس این موضوع برقرار نیست. در ادامه تعمیمی از حلقه های برگشت پذیر که حلقه های برگشت پذیر ضعیف را معرفی نامیده می شود را معرفی می کنیم و این حلقه ها را مورد بررسی قرار می دهیم. هم چنین در این پایان نامه حلقه های پوچ مدول چپ ساده ی تکین چپ قوی است اگر و فقط اگر هر می کنیم و قضیه ی زیر را اثبات می کنیم. حلقه ی تزریقی باشد. از طرفی تعمیمی از حلقه های منظم که حلقه های منظم ضعیف نامیده می شود را معرفی می کنیم و به بررسی این حلقه ها می پردازیم.

: در این رساله ضمن تعریف تجزیه متعامد برای یک مدول نشان می دهیم که یک مدول تعداد متناهی جمعوند تماماً پایا دارد اگر و تنها اگر حلقه درونریختی هایش بعد مثلثی متناهی داشته باشد. بعد مثلثی یک مدول را برابر با سوپریموم طول تجزیه های متعامد چپ آن تعریف می کنیم. بعد مثلثی یک مدول تحت موریتا پایا است و برای حلقه های ایدآل اصلی آرتینی بعد مثلثی یک مدول با تعداد مولفه های ساکل آن مدول برابر است. اگر حلقه تعویض پذیر باشد، آن حلقه کامل است اگر و تنها اگر نیم آرتینی با بعد مثلثی متناهی باشد. نتایج اخیر بیرکنمیر و همکارانش درباره بعد مثلثی حلقه ها به مدول ها تعمیم داده شده است. برخی از نتایج مربوط به بعد مثلثی حلقه ها با رویکرد مدولی ساده تر بدست آمده اند. همچنین حلقه های نیم اول تکه ای تعریف شده اند. رده حلقه های نیم اول تکه ای به طور سره شامل حلقه های نیم اول و حلقه های اول تکه ای می باشد. این خاصیت برای حلقه ها موریتا پایاست و برخی توسیع های یک حلقه نیز آن را به ارث می برند. با استفاده از حلقه های نیم اول تکه ای، حلقه های بئر ضعیف راست مشخصه سازی شده است. حلقه هایی که پوچ ساز راست هر ایدآل پوچ توان آن به عنوان یک ایدآل راست توسط یک خود توان تولید شود. در نهایت تعمیمی از مدول های اول را معرفی نموده و برخی از خواص آن ها را مورد بررسی قرارداده ایم.

فرض کنیم r یک حلقه دلخواه باشد. یک r- مدول یکانی ناصفر m دوم نامیده می شود هرگاه همه تصویر همریخت های ناصفر آن پوچساز یکسان در حلقه r داشته باشند. نشان داده می شود اگر r یک حلقه باشد به طوری که برای هر ایدآل p از r، حلقه r/p گلدی چپ کراندار چپ باشد، آن گاه r- مدول راست m دوم است اگر و تنها اگر q = ?ann?_r (m) یک ایدآل اول از r و m یک r/q- مدول راست بخش پذیر باشد. اگر r در acc روی ایدآل های دوطرفه صدق کند، آن گاه هر r- مدول ناصفر دارای تصویر همریختی است که که یک مدول دوم است. هر مدول ناصفر آرتینی شامل زیرمدول دوم است و فقط تعداد متناهی زیرمدول دوم ماکسیمال دارد. فرض کنیم r یک حلقه و m یک r- مدول راست ناصفر باشدکه شامل زیرمدول سره n است به طوری که m/n یک مدول دوم باشد و عدد صحیح مثبت n وجود داشته باشد که m دارای بعد میان تهی n است، در این صورت عدد صحیح مثبت k ? n و ایدآل های اول p_i (1? i ? k) موجودند به طوری که اگر l یک زیرمدول سره از m با m/l دوم باشد، آن گاه 1? i ? k وجود دارد که m/l دارای پوچساز p_i است.

به هر دو-مدول که روی یک طرف متناهی تولید شده و تصویری باشد می توان یک هم-حلقه نسبت داد که به هم-حلقه هم-ماتریسی معروف است. در این پایان نامه توصیف جدیدی از هم-حلقه های هم-ماتریسی آورده شده است. همچنین در این پایان نامه چگونگی انعکاس خصوصیات دو-مدول ها در هم-حلقه های هم-ماتریسی متناظر مورد مطالعه قرار گرفته است. برای مثال نشان داده شده است که اگر یک دو-مدول جدایی پذیر (فروبنیوس) باشد در این صورت هم-حلقه ی هم-ماتریسی متناظر با آن هم-جدایی پذیر (فروبنیوس) است. همچنین در این پایان نامه نشان داده شده است که دوگان یک دو-مدول جدایی پذیر است اگر و تنها اگر هم-حلقه ی هم-ماتریسی متناظر یک هم-حلقه ی هم-شکافتنی باشد.