کوپربرگ این سوال را مطرح کرد که آیا منحنی سینوسی توپولوژیدان ها شبه انقباض پذیر است؟ در سال 1992 کاتسورآ شبه انقباض ناپذیری منحنی سینوسی توپولوژیدان ها را نسبت به خود فضا اثبات کرد و در سال1994 ، دبسکی شبه انقباض ناپذیری منحنی سینوسی توپولوژیدان ها را اثبات کرد و به این سوال باز جواب داد. در سال 2007 ریپووز، ادا و کریموف بر پایه منحنی سینوسی یک ساختار تابعگونی از فضاهای شبه مخروطی ارائه دادند. این تابعگون از رسته فضاهای توپولوژی نقطه دار همبند مسیری به زیررسته فضاهای همبند ساده می باشد. اثر این ساختار بر یک پیوستار پئانو n- بعدی، یک پیوستار پئانو (n+1)- بعدی همبند ساده انقباض ناپذیر شبه حجره می باشد.

فرض کنیم یک فضای توپولوژی نقطه دار باشد. گروه بنیادین توپولوژیکی آن را با نماد نشان می دهیم. در این پایان نامه ابتدا خواص مقدماتی گروه های بنیادین توپولوژیکی بررسی می شود. از جمله نشان داده می شود که ‎ ‎تابعگونی از رسته فضا های توپولوژی نقطه دار به رسته شبه گروه های توپولوژیکی است. ‎برای مطالعه خواص بیشتر گروه های بنیادین توپولوژیکی ثابت می شود که هر گروه بنیادین توپولوژیکی مانند به صورت یک گروه خارج قسمتی توپولوژیکی از است که در آن نماد های‎ ‎و ‎ ‎به ترتیب مربوط به فضای طوقه ای و فضای تعلیق می باشند. سپس ثابت می شود که یا یک گروه توپولوژیکی نیست یا اگر باشد یک گروه توپولوژیکی آزاد مارکف روی است. در انتها شرایط معادلی برای آنکه یک گروه توپولوژیکی هاسدورف باشد ارائه می گردد. با استفاده از مطالب فوق، دسته مثال هایی ارائه می گردد تا نشان داده شود که گروه های بنیادین توپولوژیکی لزوما گروه های توپولوژیکی نیستند. لازم به ذکر است که این مثال ها با مثالی که قبلا توسط فابل ارائه گردید، متفاوتند.

در این پایان نامه کاربرد زیرگروه های جابه جاگر را در گروه های هموتوپی و گروه های هندسی بررسی می کنیم. نشان می دهیم ‏که اگر x ? a ‎و (a1,…,an) ‎یک ‎n-افراز هم‎تارنسبت به ‎a از x‎‎‏ باشد و n ? 2‎ ‏ به طوری که 1) برای{1,…,n} ?i = {i1,…,ik} ، ?i?i ai یک فضای k(?,1) و همبند مسیری باشد. 2) همریختی القایی نگاشت شمول a ? ai برای هرn 1 ? i ? پوشا باشد که هسته آن را با ri نمایش می دهیم. آن گاه گروه هموتوپی مرتبه 2 تا n فضای x کهi = {i1,…,ik} ? {1,…,n} و 2 ? k ? n به صورت زیر محاسبه می شود: که در آن j = {1,2,…,n}-i است.به ویژه داریم: کاربرد این موضوع ارتباطی است که بین گروه هموتوپی واتصال، گروه رویه ای و گروه بافته برقرار می کند.

چکیده رساله/پایان نامه : در این پایان نامه با معرفی فضای پیوستار پئانوی یک بعدی نشان می دهیم که اگر گروه های بنیادین دو فضای پیوستار پئانوی یک بعدی مانند x و y یکریخت باشد آنگاه x و y از یک نوع هموتوپی هستند. بعلاوه نتیجه می گیریم که اگر f نگاشت پیوسته بین x و y باشد که یکریختی بین گروه بنیادین این دو فضا را القا می کند آنگاه f هم ارز هموتوپی بین x و y است. ساده سازی فضای پیوستار پئانوی یک بعدی توسط میل استروپ (در سال 2005) انجام شد. ما این ساده سازی را معرفی کرده و با ارائه ی تعریف افراز آجری، اثبات جدیدی از این مطلب را بیان می کنیم. با استفاده از این اثبات، نشان می دهیم که برای فضای پیوستار پئانوی یک بعدی مانند x و فضای متریک یک بعدی مانند y، هر همریختی h : ??1(x,x) ? ??1(y,y) می تواند از ترکیب همریختی القا شده بوسیله ی یک نگاشت پیوسته f : (x,x) ? (y,f(x)) و یکریختی تغییر نقطه پایه بدست آید.

با استفاده از تعبیر توپولوژی پایای بئر، تعریف پایای بئر را برای جفت و سه تایی گروهها گسترش داده و خواص آن را بدست می آوریم و برای حاصلضرب آزاد گروهها پایای بئر را در هر رسته بررسی می کنیم

شده از توپولوژی فشرده - باز روی فضای n-طوقه به دست می آید. سپس ثابت می کنیم گروه n_هموتدر این پایان نامه یک فضای شبه n_هاوایی x را به صورت حد معکوس تعریف می کنیم که این فضا همبافت فشرده n-1 همبند و همبند ماضی و n- همبند ساده نیم موضعی می باشد. گروه بنیادین x را به یک توپولوژی مجهز می کنیم که از توپولوژی خارج قسمتی القا وپی توپولوژیکی روی یک فضای شبه n-هاوایی x یک گروه توپولوژیکی است.بویژه نشان می دهیم برای فضای x این گروه بنیادین مجهز به توپولوژی پیش گسسته و متریک پذیر است.ونشان میدهیم bبرای اعداد طبیعی بزرگتراز 2یک تناظر دوسویی می باشد .

در این رساله به مطالعه ی رفتار گروه های هموتوپی شبه توپولوژیکی فضاهای حدمعکوس می پردازیم. به طور دقیق تر شرایطی را ارائه خواهیم داد که تحت این شرایط گروه های هموتوپی فضاهای حد معکوس و به طور خاص تر فضاهای حاصلضرب، گروه توپولوژیکی شوند. همچنین شرایطی را برای شمارایی گروه های هموتوپی ارائه خواهیم داد‎. یک توپولوژی روی گروه های هموتوپی شکل ‎ قرار خواهیم داد که آن را با ? ?_k^top (x,x)‎ نشان می دهیم و ثابت می کنیم که ? ?_k^top (x,x)‎ یک گروه توپولوژیکی هاسدورف است و برخی ویژگی های توپولوژیکی این گروه توپولوژیکی را بدست می آوریم. همچنین مثالی ارائه خواهیم داد که نشان می دهد ? ?_k^top (x,x)‎ می تواند از یک نوع شکل بودن ‎x‎ و ‎y‎ را مشخص کند در جایی که ? ?_k ‎ نمی تواند‎. همچنین وجود حاصلضرب را در رسته ی شکل ضخیم برای فضاهای هاسدورف فشرده ثابت می کنیم. در این جا ثابت خواهیم کرد اگر حاصلضرب دو فضای ‎x‎ و ‎y‎ یک ‎-hpol‎توسیع اختیار کند که حاصلضربی از ‎-hpol‎توسیع های فضاهای ‎x‎ و ‎y‎ باشد، آن گاه ‎x× y‎ یک حاصلضرب در رسته ی شکل ضخیم است. در نهایت نشان می دهیم برای هر ‎k?n‎، ‎-k‎امین گروه های شکل ضخیم از فضاهای هاسدورف فشرده با حاصلضرب جابه جا می شوند.

بررسی ساختار زیرگروه های گروه های آزاد از مسائل کلاسیک در نظریه گروه ها می باشد. روند اصلی که در برخورد با این مسائل وجود داشته و توسط نلسون به کار گرفته می شده، روشی کاملاً ترکیبیاتی بوده است. تاکنون ریاضیدانان بسیاری از این روش برای کار روی زیرگروه های گروه های آزاد استفاده کرده اند. با پیشرفت توپولوژی جبری و نظریه پوشش روند متفاوتی برای این منظور ارائه می شود. این دیدگاه توپولوژیکی با جزئیات توسط شخصی به نام استالینگز ‎ مورد مطالعه قرار گرفته است. ‎ همچنین اوریت‎ ابزاری ترکیبیاتی و توپولوژیکی را به منظور مطالعه روی گروه های دلخواه ارائه می دهد، که در واقع تعمیمی از کار استالینگز روی ‎2-‎همبافت ها است. ‎‎ ارزش کار استالینگز و در ادامه اوریت، آن جایی بیشتر نمود پیدا می کند که ما با کاربرد تکنیک های ایشان در اثبات زیبای قضایای بسیار مهمی در نظریه گروه ها از جمله قضیه هاوسان، حدس هانا نویمن و قضایای مهم دیگری درباره ضرب آزاد گروه ها و حاصل ضرب ملقمه ای گروه ها آشنا می شویم. ما نیز با در دست داشتن این ابزار مهم، مفید و در عین حال ساده، قضیه ای را در ‎مور‎د حل پذیری ضرب آزاد گروه های دوری متناهی اثبات می کنیم.

در این پایان نامه سعی شده هماهنگی و همبستگی مطالب حفظ شده و انطباق مناسبی با دانسته های قبلی ما در حالت کلاسیک داشته باشند. بعد از مطالعه این پایان نامه تا حدودی قانع خواهیم شد که تعاریفی که در مبحث همولوژی دیجیتال بیان شده، منافاتی با همولوژی کلاسیک شامل همولوژی تکین، همولوژی سادکی و یا حتی همولوژی سادکی مجرد نداشته و بعبارتی این تعاریف مناسب و ارزشمند هستند. در این پژوهش تصاویر دیجیتال به نحو شایسته معرفی شده و سعی شده سوالاتی را در ذهن خواننده متن ایجاد نماید؛ بطوریکه خواننده با مطالعه متن می تواند بین دانسته های قبلی خود در مورد همولوژی کلاسیک و تعاریف و قضایای جدید ارتباطی منطقی بیابد و می تواند مطالبی را در ذهن خود بپروراند که شاید در آینده موضوع مقالاتی دیگر گردد. در این پایان نامه نحوه محاسبه گروههای همولوژی دیجیتال را بیان نموده و چند مثال جالب نیز ارائه شده است. همچنین نحوه محاسبه مشخصه اویلر را بر روی سطوح دیجیتال مشابه آنچه در سطوح اقلیدسی بیان شده، ارائه می کنیم. در این پایان نامه نشان داده شده است که گروههای همولوژی دیجیتال و مشخصه اویلر ناوردای توپولوژی دیجیتال نیز هستند. همچنین با تعریف جمع همبند دو سطح بسته دیجیتال، با ذکر چند مثال مشخصه اویلر آنها نیز محاسبه می گردد.

‎ این پایان نامه بر پایه مقاله ای با عنوان "مفاهیمی در توپولوژی دیجیتال " ‏که از سه نویسنده کنگ‏، روسکو و روزنفیلد در سال 1992 انتشار یافته‏، می باشد. که در آن ابتدا بطور مختصر به برخی اصطلاحات و مفاهیم بنیادین توپولوژی دیجیتال از جمله روابط مجاورت‏، ‎$ ‎‎cdot‎‎$‎‏-‎مولفه و ‎‎$ ‎‎cdot‎‎$‎‎‏-‎همبندی ‏پرداخته و سپس فضای تصویر دیجیتال منظم را تعریف و گروه بنیادین دیجیتال بر روی آنرا را به کمک ‎ ‎$ ‎‎mathcal{p}‎$‎‏-‎‎گام ها تعریف می کند. بعد از آن شرایط لازم برای اینکه یک فضای تصویر دیجیتال‏، فضای تصویر دیجیتال قویاً نرمال باشد را ذکر کرده و با بررسی چند مثال به مطالعه ی بیشتر این فضا می پردازد. هم چنین فضای تصویر دیجیتال خالیمسکی را به عنوان مثال بارزی از فضای توپولوژی کوچکترین همسایگی معرفی و ثابت می کند فضای تصویر دیجیتال خالیمسکی‏، قویاً نرمال است. در انتها گروه بنیادین دیجیتال گسسته برای یک فضای تصویر دیجیتال قویاً نرمال را به کمک گام های دیجیتال سیاه‏، روابط هم ارزی بی واسطه و هم ارزی تعریف ‏کرده و در قضیه ای در فصل آخر ثابت می شود چنانچه یک فضای تصویر دیجیتال منظم‏‏، قویاً نرمال باشد‏، آنگاه گروه بنیادین دیجیتال گسسته با گروه بنیادین دیجیتال بر روی این فضای منظم یکریخت می‏ شود.}

در این پایان نامه سعی بر آن شده است که برای مفاهیم مجرد جبری از جمله حاصلضرب ملقمه ای گروه ها و مسأله کلمه، به نوعی تعابیر توپولوژیکی ارائه شود. روش های ارائه شده در این پایان نامه (که برگرفته از دستاوردهای شخصی به نام اوریت است)آن جا اهمیت خود را نشان می دهد که به شیوه ای الگوریتمی و منظم ارائه می گردد. از جمله نتایج خوب به دست آمده اثبات این مطلب است که گروه های آزاد حقیقی و بدن تاب، آزاد هستند. اثبات ارائه شده برای این مطلب کاملا ترکیبیاتی و توپولوژیکی است. یکی دیگر از کارهای انجام شده، ارتباط دادن مسأله کلمه یک گروه و گراف کیلی مربوط به آن گروه می باشد که نتایج جالبی را در پی داشته است.

چکیده ندارد.

درسال 2002 بیس توپولوژی ای روی گروه بنیادین فضاها قرار داد و فضای حاصل را گروه بنیادین توپولوژیک خواند. او نشان داد با گذاشتن این توپولوژی روی گروه بنیادین، برخی از قضایای مربوط به گروه بنیادین در حالت توپولوژیکی نیز برقرارند. قضیه ی مهمی که بیس در مقاله خود بیان می کند این است که یک فضا همبند ساده نیم موضعی است اگر و تنها اگر گروه بنیادین توپولوژیک آن گسسته باشد. فابل با ارائه یک مثال نقض نشان می دهد که این قضیه در حالت کلی برقرار نیست و با اضافه کردن شرط همبند مسیری موضعی و متریک به فضا این قضیه را اثبات کردند. پس از آن کلکات و مکارتی با اضافه کردن شرط همبند مسیری موضعی به فضا این قضیه را اثبات کردند. همچنین در این رساله یک نوع تارسازی با عنوان تارسازی پوششی دقیق معرفی می شود که خواص مشابه با فضاهای پوششی دارند و می توان گفت که تعمیم این فضاهاست. و خواهیم دید که شرط لازم و کافی برای آن که گروه بنیادین توپولوژیک ناهمبند مسیری کلی باشد آن است که برای آن فضا یک تارسازی پوششی دقیق جهانی موجود باشد. و در فصل آخر این رساله فضاهایی را معرفی میکنیم که کاربرد قضایای فصول قبل رانشان می دهد.