تولید گروه های ساده توسط عناصر مرتبه ی دو از مسائل معروف در نظریه ی گروه هاست. ثابت شده که هر گروه ساده غیر آبلی ، شامل عضوی از مرتبه 2 است ، ولی این که آیاهمه ی عناصر مولد را می توان از مرتبه ی دو در نظر گرفت ،مساله ای است که با استفاده از رده بندی گروه های ساده می توان جواب مثبت گرفت. در این مقاله شکل دیگری از این مساله برای گروه های ماتیوی m11 و m12 بررسی شده است.

در فصل اول این رساله خواص کلی دنباله های dna مورد بررسی قرار گرفته است و در فصل دوم به بررسی خواص گراف های جهت دار پرداخته شده است. از فصل سوم به بعد مرحله محاسباتی گراف های dna و در فصل شش به بررسی خواص جبری رشته های dna پرداخته می شود.

در این پایان نامه، ابتدا به بررسی ویژگی های تحلیلی تابع زتای ریمان و معادلات تابعی شامل این تابع می پردازیم، سپس فرضیه ریمان در مورد صفرهای این تابع و برخی گزاره های معادل با این فرضیه که تا کنون مطرح شده اند را بیان می کنیم آن گاه مقدماتی از نظریه جبری اعداد و تابع زتای ددکیند ارائه می نماییم. در پایان به ارائه مقدماتی از نظریه خمهای بیضوی پرداخته و به تحلیل تابع زتای خم بیضوی می پردازیم.

فرض کنید e یک خم بیضوی روی میدان f_q و e[n مجموعه نقاطی از خم e باشد که مرتبه ی آنها n را می شمارد. همنچنین فرض کنید p یکی از نقاط مجموعه ی e[n و q نقطه ای از زیرگروه تولید شده توسط p باشد. مساله ی لگاریتم گسسته روی e[n یعنی محاسبه ی k از رابطه ی q=kp. در این رساله با استفاده از ژاکوبین تعمیم یافته ی خم e، مساله ی لگاریتم گسسته روی e[n، در حالتی که n | q-1، به یک مساله ی لگاریتم گسسته روی f_q* تبدیل می شود. همچنین مساله ی لگاریتم گسسته در ژاکوبین تعمیم یافته ی یک خم بیضوی روی میدان f_q به یک مساله ی لگاریتم گسسته روی f_q* تبدیل می شود.

در این پایان نامه شرایطی کافی برای مستقل بودن نفاط هیگنر وابسته به طبفه های با هادی مساوی در میدانهای مربعی موهومی متمایز روی یک خم بیضوی بدون cm ارائه می شود. در واقع قضیه سیلورمن و روزن از حالت طبفه های ماکسیمال به طبفه های غیرماکسیمال با هادی مساوی تعمیم می یابد.

یک زوج از اعداد اول (p,q) را دوقلو گوییم هرگاهq=p+2. حدس اول دوقلو بیان میدارد که بینهایت عدد اول دوقلو وجود دارد. فرض کنیم e یک خم بیضوی باشد زوج اعداد اول (p,q) را زوج دوقلو برای e میگوییم هرگاه تعداد نقاط گویای خم بیضوی تعریف شده روی میدان متناهی با p عضو برابر q باشد. حدس کوبلیتز بیان میکند که بینهایت زوج دوقلو برای e یافت میشود. در اینجا دو قضیه مربوط به این حدس را ثابت میکنیم.

فورتوانگلر‎‎‏،‎‎‎‎‎شاگرد هیلبرت‏،‎‎در سال 1916 اولین کسی بود که با این سوال مواجه شد که آیا$‎‎‎-p‎‎‎‎‎‎ برج‎‎ های میدان کلاسی روی میدان عددی ‎$‎‎‎k‎$‎ همیشه متوقف می شوند؟ او اثبات کرد که اگر ‎‎$‎cl_p(‎k‎)‎$‎ دوری باشد،‎ ‎$‎‎‎-p‎$‎ برج همیشه متوقف می شو‎د.‎‎ ‎ q(‎sqrt{-4849845‎}‎اولین میدان مربعی موهومی با -2‎‎ برج نامتناهی بود که در سال 1964 توسط گلد و شافاروی‎چ‎ معرفی شد. افراد دیگری هم چون کخ‎‎‏، ونکو‏، اسکوف‏، بش و ... نیز در این زمینه کار کرده و مثال هایی را در حالات مختلف ارائه نموده اند. در این پایان نامه به بررسی p-برج میدان کلاسی روی میدان مربعی با p?3 پرداخته و شرطی را بیان می کنیم که تحت آن p-برج نامتناهی باشد. سپس تحت پذیرش یک فرضیه ی اضافی، شرط لازم و کافی برای متوقف شدن این برج را بیان کرده والگوریتمی برای تعیین این که برج متوقف می شود یا نه توصیف می کنیم. ‎‎‎

این تحقیق مرور بر یک روش کلی است که دیوید فریمن آن را برای تولید خانواده خم های بیضوی با مرتبه ی اول و درجه جادهی کوچک ارائه نمود. اساس این کار بر روش ضربی مختلط ساخت خم، بنا شده است. او هم چنین نشان داد که چگونه می توان با استفاده از این روش‎، خم های بیضوی با درجه جادهی‎~10 را ساخت و چطور ساختار های موجود برای خم های بیضوی با درجه ی جادهی ‎3‎، ‎4‎، ‎6‎ و ‎12‎ می تواند در قالب روش مذکور، بیان شود. ما نیز این مطالب را مرور و به طور مشروح تر بیان می نماییم.

بحث درمورد مقدار ماکزیمم عددکلاسی دارای قدمتی طولانی است وپیشینه آن به زمان گاوس بازمیگردد.بااستفاده از مفاهیم عددی کلاسی ومیدان های عددی cmوفرضیه ریمان تعمیم یافته میتوان به این کران رسید.

ما در این تحقیق با توجه به خواص سرشت وزن دار مرتبط با همسانی های درجه دو خم های بیضوی،عدد کلاسی را برای میدان های مربعی موهومی محاسبه می کنیم.

یک گروه آبلی متناهی مولد است. ،e گویای خم بیضوی -k ی موردل-ویل، مجموعه نقاط ?? بنابر قضیه یعنی e (k) ? e (k)tor ? zr. شود. در حالت کلی یافتن ?? گفته می e ی جبری خم ?? یک عدد صحیح نامنفی است و رتبه r ، که در آن های ?? ی خم ?? در زمینه ?? ی آن یکی از موضوعات مهم ?? ای نیست و مطالعه ?? ی یک خم بیضوی کار ساده ?? رتبه کنیم . ?? ی یک خم بیضوی بیان می ?? هایی در مورد رتبه ?? نامه، قضایا و حدس ?? بیضوی است. در این پایان نماییم و با کمک خواص تابع ارتفاع ?? های بیضوی را بررسی می ?? ای نامتناهی از خم ?? در نهایت، خانواده های موجود در این خانواده حداقل 3 است.

میزور زیر گروه تابی خم های بیضوی تعریف شده روی q را مشخص کرد.همچنین او به همراه کمینی توانست زیرگروه تابی خم های بیضوی روی میدان های مربعی را نیز تعین کند.در ادامه کار آنها جون،لی و کیم نیز به صورت مشترک در مقاله ای، خانواده ای از خم های بیضوی روی میدان های عددی مربعی با زیرگروه تابی معین که حاصل کار میزور و کمینی است مورد مطالعه قرار دادند.همچنین جون، کیم و اسکویزر زیرگروه تابی خم های بیضوی روی میدان های عددی مکعبی را مشخص کردند و دو محقق اول به همراه لی این بار خانواده ای از خم های بیضوی روی میدان های عددی مکعبی ساختند که زیرگروه تابی آن ها همان هایی بودند که قبلا توسط جون، کیم، اسکویزر مشخص شده بودند. بار دیگر جون و کیم به همراه پارک موفق شدند زیرگروه تابی خم های بیضوی روی میدان های عددی چهارتایی را تعیین کنند از طرفی آن ها به همراه لی خانواده ای از خم های بیضوی را نیز ساختند که روی میدان های چهارتایی زیرگروه تابی آن ها همان بود که قبلا تعین شده بود.

در این پایان نامه انواع مسائل لگاریتم گسسته و دیفی هلمن را بررسی کرده و نشان می دهیم ایمنی توافق نامه های رمزنگاری چگونه به سختی حل این مسائل بستگی دارد. و به مقایسه ی مسائل کنترل ناپذیر با یکدیگر می پردازیم.

در این پایان نامه ابتدا نظریه مقسوم علیه ها را بیان می کنیم و سپس با استفاده از آن به تعریف و محاسبه ی زوجیت وایل، که نقش مهمی در زمینه محاسباتی روی خم های بیضوی بازی می کند، می پردازیم. نظریه زوجیت وایل امروزه دارای کاربردهای فراوان بویژه در سیستم های رمزنگاری مبنی بر خم های بیضوی می باشد (2). لذا داشتن الگوریتم مناسب برای محاسبه ی سریعتر زوجیت وایل از اهمیت ویژه ای برخوردار است. میلر الگوریتمی مناسب برای این کار عرضه کرده است (11). در این پایان نامه این الگوریتم را معرفی می نماییم و چند مثال را به این روش بررسی می کنیم.

برای مطالعه ی نقاط تابی خم های بیضوی روی میدان های عددی به مفاهیم خم بیضوی، خم ابربیضوی، گروه تابی و خم مدولار نیاز داریم. اولین حدس هایی که در مورد کرانداری نقاط تابی روی میدان های عددی زده شد بیان می داشت که تعداد نقاط تابی یک خم بیضوی روی یک میدان عددی توسط یک عدد ثابت، که این عدد فقط به درجه میدان عددی بستگی دارد، محدود می شود. این حدس بعدها توسط مرل ثابت شد. ما در فصل ‎3‎ این قضیه را بدون اثبات می آوریم. سپس به بررسی گروه تابی روی میدان اعداد گویا می پردازیم. قضیه اساسی لوتز-ناگل روشی مهم برای یافتن نقاط تابی روی میدان گویا بدست می دهد. این قضیه را در همین فصل بیان کرده و مثال هایی می آوریم. همه محاسبات مربوط به رتبه و ژاکوبین در نرم افزار ماگما انجام شده است. در فصل ‎4‎ ابتدا به بیان قضیه ی مهمی در مورد گروه تابی خم بیضوی روی یک میدان مربعیمی پردازیم. این قضیه توسط ‎کامینی، ‎کنکو و ‎ماموس بیان و اثبات شده است. در ادامه به بررسی گروه تابی روی دو میدان خاص مربعی می پردازیم. سپس برای یک گروه تابی داده شده میدانی با کمترین مبین می یابیم. و در قسمت آخر به بررسی چگونگی ظهور یک گروه تابی مشخص روی یک میدان مربعی ثابت می پردازیم. جون، کیم و ‎اشویزر قضیه ی مهمی را برای گروه تابی خم های بیضوی روی میدان های مکعبی بیان کرده اند. در فصل ‎5‎ این قضیه را می آوریم. در ادامه قضایایی برای گروه تابی روی برخی از میدان های مکعبی را بیان و اثبات می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا حدس های سان را ثابت می کنیم. در این حدس های ثابت می شود که برای خم های بیضوی e داده شده در خانواده ای خاص، تعداد نقاط(e(f برای هر p در یک خانواده داده شده در یک هم نهشتی به پیمانه عدد طبیعی داده شده ی n صدق می کند. در ادامه، این سوال کلی تر بررسی می شود که چه وقت چندجمله ای های (f(k و(g(k یافت می شوند بنحوی که برای خم بیضوی (e : y2=x3+f(k)x+g(k تعداد نقاط (e(f در هم نهشتی (e(f# به پیمانه n برابر است با a برای n و a داده شده صدق کند.

ر این پایان نامه نقاط گویای خم های بیضوی را مورد بررسی قرار داده و خانواده هایی نامتناهی از خم های بیضوی با رتبه ی یک، دو، سه و چهار می یابیم. به علاوه، با یافتن دو نقطه ی مولد گروه موردل ویل برای هر خم در خانواده ای نامتناهی از خم ها، خانواده ای نامتناهی با رتبه ی حداقل دو می یابیم. همچنین گروه موردل ویل خانواده ای نامتناهی از خم های بیضوی به طور کامل شناسایی می گردند. نشان می دهیم چگونه می توان از نقاط خم های بیضوی روی ‎میدان اعداد گویا‎ برای حل مسئله ی لگاریتم گسسته روی خم های بیضوی روی میدان های متناهی استفاده کرد. و الگوریتمی چندجمله ای برای محاسبه ی لگاریتم گسسته روی خم های بیضوی روی ‎میدان اعداد گویا ارائه می کنیم. در نهایت تابعی برای نشاندن پیام روی یک خم بیضوی روی ‎میدان اعداد گویا‎ ارائه می کنیم و با استفاده از آن یک سیستم رمزنگاری متقارن مبتنی بر خم های بیضوی روی میدان اعداد گویا‎ معرفی می کنیم که امنیت آن مبتنی بر مسئله ی یافتن مولدهای یک خم بیضوی روی ‎میدان اعداد گویا است.

در این پایان نامه سیستم های رمزنگاری را بررسی کرده و روش های ساخت خم های بیضوی مناسب برای استفاده در رمزنگاری را مورد مطالعه قرار می دهیم. سپس روش ککس -پینچ را معرفی کرده و نسخه اصلاح شده آن که خم های بیضوی با مرتبه مرکب می سازد را معرفی می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا به معرفی خم های جبری و گونای آن ها می پردازیم. سپس خم های ابر بیضوی و ژاکوبین آن ها و مسئله لگاریتم گسسته روی ژاکوبین یک خم ابر بیضوی را مورد بررسی قرار خواهیم داد. پس از آن یک معادله ی جایگزین برای خم های ابر بیضوی از گونای 2 روی میدان های متناهی با مشخصه ی مخالف 2 و 5 ارائه خواهیم داد. در پایان به یافتن تعداد کلاس های ایزومورفیسم خم های ابر بیضوی از گونای 2 روی میدان متناهی با فرض دارا بودن یک نقطه ی وایرشتراس پرداخته راهکار ارائه شده را برای گونای 3 نیز به کار خواهیم گرفت.

در این پایان نامه در ابتدا ساخت خمی بیضوی با درجه جادهی مناسب روی میدان متناهی بررسی می شود. برای این منظور ابتدا معادله ای به نام cm را در نظر می گیریم. با استفاده از داده های بدست آمده از معادله ی cm خمی بیضوی را تولید می کنیم. در پایان نیز به معرفی زوجیت تیت و الگوریتمی جهت محاسبه کارا از آن پرداخته می شود.

از نظر تئوری ، بنابرقضیه اساسی حساب هر عدد طبیعی ‏‎n‎‏ را می توان به حاصلضرب عوامل اول تجزیه کرد. انجام این تجزیه در عمل برای اعداد بزرگ کاری بسیار مشکل است و یافتن الگوریتمی جهت انجام این کار از قدیم مساله ای مهم بوده است. این مساله بدلیل کاربرد بسیار وسیع آن در بازگشایی بسیاری از رمزها امروزه از اهمیت ویژه ای برخوردار گردیده است. در این مقاله با استفاده از خواص خم های بیضوی ، الگوریتمی برای تجزیه عدد طبیعی ‏‎n‎‏ ارائه می دهیم.

در این پایان نامه به معرفی خم های بیضوی(‏‎elliptic curves‎‏ ) و نتایج بنیادی ، در مورد آنها می پردازد. سپس با ارائه الگوریتمی ، نقاط گویا‏‎‎ روی خم بیضوی بررسی می شود.دراین الگوریتم ابزار اصلی کار، ارتفاع متعارف‏‎canonical hight‎‏ نقاط روی خم بیضوی ، رتبه ‏‎rank‎‏ خم بیضوی و حدس بیرچ‏‎birch‎‏ و سوینرتون-دایر‏‎swinnerton-dyer‎‏ می باشد. معرفی نرم افزار ‏‎pari‎‏ از کارهای تحقیقاتی است که برای اولین بار در کشور مطرح می شود.