در این پایان نامه ثابت خواهد شد که اگر و مدول هایی روی یک حلقه ی دلخواه باشند، آنگاه فضاهای زاریسکی و به عنوان نیم مدول هایی برروی نیم حلقه ی زاریسکی ، یکریختند اگر و تنها اگر شبکه های و یکریخت باشند. در این حالت نشان داده می شود که اگرچه لزومی ندارد مدول های و یکریخت باشند، اما تعدادی خواص مشترک دارند. در ادامه ثابت می شود که برای مدول برروی یک حلقه ی جابجایی ، فضای زاریسکی دارای یک پایه ی تفریقی می باشد. همچنین پایه ی تفریقی تحت یکریختی نیم مدولی حفظ می شود ونشان داده می شود که هرگاه یک جمعوند مستقیم از مدول رادیکال متناهیا تولیدشده ی و زیرمدولی از باشد که ، داریم

هدف از انجام این پایان نامه بررسی تعمیمی از کدهای خطی می با شد. در این تعمیم هر کدواژه را به جای اینکه به صورت برداری که مولفه های آن متعلق به میدان متناهی f باشد در نظر بگیریم، به طور کلی به صورت برداری تعریف می کنیم که مولفه های آن خود، برداری روی میدان f هستند (مولفه ها لزوما از یک طول نیستند). سپس تعاریف و قضایای اولیه ای را که برای کدهای معمولی داشتیم برای این کدها تعمیم می دهیم. در ادامه به بررسی یک دیدگاه جبری کدهای شبه دوری که تعمیمی از کدهای دوری اند می پردازیم. ایده اصلی این است که حلقه ای را معرفی می کنیم که می توان یک کد شبه دوری روی یک میدان متناهی را به صورت کدی خطی روی آن حلقه در نظر گرفت. این حلقه به حاصلجمع مستقیمی از میدان های متناهی تجزیه می شود. از این ویژگی برای ساختن کدهای جدید از روی کدهایی با طول کمتر استفاده می کنیم، که در بعضی حالات همان ساختارهای آشنایی مانند تورین یا واندرموند را بدست می دهد. بعلاوه ساختار کدهای خوددوگان شبه دوری را بررسی می کنیم و تعداد آن ها را برای بعضی حالات خاص بدست می آوریم.

throughout this dissertation r is a commutative ring with identity and m is a unitary r-module. in this dissertation we investigate submodules of multiplication , prufer and dedekind modules. we also stat the equivalent conditions for which is ring , wher l is a submodule of afaithful multiplication prufer module. we introduce the concept of integrally closed modules and show that faithful multiplication valuation modules and hence faithful multiplication prufer modules over a integral domain r are integrally closed. we proved that if r is an integral domain and m is faithful multiplication r-module and n is finitely generated submodules of m, then , where . finally we investigate the relation between afinitely generated torsion free dedekind module m over a domin r and prime submodules of the -module m, where .

برای بررسی برخی از خواص مولکول ها، نیازمند استفاده از زبان ریاضی هستیم، بعنوان نمونه وقتی ساختار مولکول ها را بوسیله فضای متریک توپولوژی بیان می کنیم از توابع فاصله کمک می گیریم. بر اساس این توابع فاصله، شاخص های متعددی بوجود می آیند یکی از شاخص های معروف، شاخص وینر است که بر اساس فاصله مسیری است. به علت نقصی که در این تابع فاصله وجود دارد، تابع فاصله دیگری که فاصله مقاومتی نام دارد بوجود آمد و بر اساس این تابع فاصله جدید، شاخص کریشهف معرفی شد. در این تحقیق به مقایسه میان شاخص وینر و شاخص کریشهف پرداختیم و همچنین فاصله ی مقاومتی را از تعریف فیزیکی محاسبه کردیم و فرمول های متفاوتی از آن را ارائه دادیم. در ادامه نیز مقادیر ویژه لاپلاسین و شاخص کریشهف برای گراف های ترکیبی و دوری را محاسبه کردیم و مثال های مهم و کاربردی از این گراف ها را مورد بررسی قرار دادیم همچنین به بررسی گراف کیلی که یک گراف جبری است پرداختیم.

ابتدا با در نظر گرفتن r ‎‏ به عنوان یک حلقه ی جابجایی‏، ایده آل اولیه و حلقه ی اولیه تعمیم یافته را معرفی می کنیم و ویژگی های چنین حلقه ای را بررسی می کنیم. یک حلقه را اولیه تعمیم یافته گوییم هر گاه هر ایده آل ‏سره آن اولیه باشد. سپس تعمیم مفاهیم ایده آل اولیه و حلقه ی اولیه تعمیم یافته بر روی حلقه های ناجابجایی را مورد مطالعه قرار می دهیم. همچنین تعمیمی از حلقه ی اولیه تعمیم یافته به مدول یکانی که به صورت زیر تعریف شده است را مورد کنکاش قرار می دهیم. یک مدول یکانی را‏، مدول به طور کامل اولیه می گوییم‏، هر گاه هر زیر مدول سره از آن اولیه باشد. با این تعریف نتایجی از مدول های به طور کامل اولیه و از جمله چند تعیین هویت از مدول های به طور کامل اولیه ارائه می گردد. همچنین بعضی از حلقه هایی که روی آن ها هر مدولی به طور کامل اولیه است و نیز حلقه هایی که روی آن ها مدول های به طور کامل اولیه و وفادار وجود دارند‏، تعیین می کنیم.‎ مفاهیم‎ دیگری در مورد مدول ها از جمله ‎‎‎‎‎-k‎‎‎‏اولیه،-k ‎‎‎‏اولیه ضعیف‏، ‎‎‎‎‎-k‎‎‎‏اولیه باقیمانده ای و -kاولیه ضعیف باقیمانده ای نیز مورد مطالعه قرار می دهیم.‎‎ همچنین تعیین هویت هایی از این گونه مدول ها ارائه می دهیم.

در سرتاسر این پایان نامه، همواره با r-مدول های راست یکانی کار خواهیم کرد. همچنین حلقه r یکدار در نظر گرفته شده است. زیرمدول‏های خودتوان و مدول‏های کاملاً خودتوان توسط آقایان توتونکو (d. k.tütüncü)، ارتاس (n. o. ertas)، تریبک (r. tribak) و اسمیت (p. f. smith) تعریف می شوند. فرض کنید m یک r-مدول باشد. زیرمدول n را خودتوان در m گویند هر گاه که: n=hom(m,n)n توجه کنید که اگر a یک ایده آل راست حلقه r باشد، آنگاه a یک زیرمدول خودتوان مدول r_r می باشد اگر و تنها اگر a^2=a یعنی a یک ایده آل راست خودتوان r می باشد. در فصل اول مدول کاملاً خودتوان را به صورت زیر تعریف می کنیم. r-مدول m را کاملاً خودتوان گویند هرگاه هر زیرمدول آن خودتوان باشد. همچنین حلقه r را حلقه کاملاً خودتوان راست گویند هرگاه که r_rکاملاً خودتوان باشد یعنی برای هرایده آل راست r مانند a داشته باشیم a^2=a . در فصل دوم خواهیم دید که برای هرr-مدول مانند m، هر جمعوند مستقیم آن یک زیرمدول خودتوان می باشد. با توجه به مطلب فوق، نتیجه می گیریم که هر مدول نیم ساده کاملاً خودتوان است. همچنین نشان می دهیم که برای هر حلقه ای مانند r که منظم فون- نیومان نباشد، r-مدول آزاد r?r شامل یک زیرمدول خودتوان می باشد که جمعوند مستقیم نیست. می دانیم که هر ایده آل خودتوان متناهی مولد در یک حلقه جابه جایی مانند r، با یک عنصر خودتوان تولید می شود بنابراین یک جمعوند مستقیم r_r می باشد. نشان خواهیم داد که این وضعیت برای مدول ها روی حلقه های جابه جایی کاملاً یکسان نیست. به عنوان مثال اگر m یک مدول روی حلقه جابه جایی r باشد، آنگاه هر زیرمدول خودتوان دوریm یک جمعوند مستقیم می باشد (فصل 3 بخش1) اما لزومی ندارد که این مورد برای زیرمدول های خودتوان متناهی مولد برقرار باشد. در فصل سوم ثابت می کنیم که روی یک حلقه جابه جایی نوتری r ، یک r-مدول کاملاًًخودتوان است اگر و تنها اگر نیم ساده باشد. همچنین ثابت می کنیم که روی یک حلقه جابه جایی r ، هر r-مدول کاملاً خودتوان است اگر و تنها اگر r نیم ساده باشد. به عبارتی دیگر نشان خواهیم داد که اگر r یک حلقه ساده باشد، آنگاه هر r-مدول آزاد کاملاًًخودتوان است. به علاوه نشان خواهیم داد که هر جمع مستقیم مدول های کاملاً خودتوان بی‏تاب روی یک حلقه جابه جایی، کاملاً خودتوان است. در پایان زیرمدول های خودتوان مدول های آزاد مشخص می شوند.

در این پایان نامه یک دید و مفهوم کلی از جبروارهای لی و دوتایی های تطبیق یافته از جبروار های لی ارائه می دهیم. ابتدا مفاهیم و تعاریف مقدماتی از گروه وارها و گروه وار های لی را بیان می کنیم و پس از آن جبروارهای لی را معرفی می کنیم و نشان می دهیم همواره از یک گروه وار لی می توان به یک جبروار لی رسید. در آخر ساختارهای دوتایی تطبیق یافته از گروه وارهای لی و جبروارهای لی را معرفی می کنیم و دو قضیه اساسی مربوط به دوتایی های تطبیق یافته از جبروارهای لی را بیان و اثبات می نماییم.

در فصل دوم این پایان نامه انواع جدیدی ازسیستمهای انژکتیو یعنی سیستمهای موضعا دوری انژکتیو (تجزیه ناپذیر انژکتیو، انژکتیو ضعیف موضعا دوری، انژکتیو ضعیف تجزیه ناپذیر) معرفی شده و رابطه بین انواع سیستمهای انژکتیو بررسی شده است. در میان نتایج دیگر یک مشخصه سازی جدید از تک وارها یی ارائه می کنیم که روی آن ها خارج قسمت سیستمهای انژکتیو، انژکتیو ضعیف اصلی (انژکتیو ضعیف موضعا دوری، انژکتیو ضعیف تجزیه ناپذیر) هستند. در فصل سوم سیستم های شبه تصویری و پوشش سیستم ها مورد مطالعه قرار گرفته اند. نشان داده می شود که در برخی از نتایج مهم مربوط به ویژگی تصویری، می توان ویژگی تصویری را با شبه تصویری جا به جا کرد. به عنوان مثال نشان می دهیم روی یک تکواره شامل یک صفر چپ، هر سیستم به طور قوی هموار، تصویری است اگر و تنها اگر، هر سیستم به طور قوی هموار، شبه تصویری باشد. درفصل چهارم، دوسیستم ها ، دوسیستم های به طور قوی وسیستمهای تمام خود توان ، معرفی شده و رابطه بین این سیستم ها با برخی کلاس های دیگر از سیستم ها از جمله سیستم های انژکتیو و سیستم های تصویری مورد بررسی قرار گرفته اند.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

سر تا سر این پایان نامه یک حلقه ی جا به جایی و یکدار و یک - مدول یکانی است. در این پایان نامه قضیه های اندرسون را بررسی می کنیم و رفتار مدولهای ضربی را از طریق ایده آل سازی مورد مطالعه قرار می دهیم؛ و نشان می دهیم که چگونه خواص ایده- آل همگن از به و قابل انتقال است و بر عکس. همچنین رفتار عمل های و و را وقتی که تصویری(ضربی و وفادار) است، تحت ایده آل سازی مورد بحث قرار می دهیم؛ چگونگی ارتباط خواص و از با همین خواص از و را نشان می دهیم؛ و بعضی از شرایطی را که تحت آنها حلقه ی به طور قوی پروفر است، را ارائه می دهیم. همین طور نشان می دهیم که چگونه خواص و از حلقه ی قابل انتقال به حلقه ی است و بر عکس. هدف این کار مطالعه و گسترش ایده آل سازی مدولها به ویژه مدولهای ضربی و هموار است.