( چون پایان نامه با نرم افزار فارسی تک نوشته شده فایل word آن وجود ندارد و فایلهای تک آن قرار داده شده است ) دراین رساله کرانهای بالا و پایینی برای درجه طرح تمرکز مرتبه دوم یک خم عمومی با گونای دلخواه بدست می آوریم. همچنین حدس چندگونای تمرکز را برای خمهای با گونای 6 اثبات خواهیم کرد. این دو از نتایج اساسی این رساله هستند. با استفاده از این نتایج قضیه ای مشابه قضیه تارلی برای خم های با گونای 6 ارائه می دهیم. در ادامه به بررسی هندسه ی چندگوناهای تمرکز برای خم های با گونای 8 پرداخته و برای این خم ها نیز قضیه ای مشابه قضیه تارلی بدست می آوریم. رساله را با ارائه پیشنهادهایی برای همواری خم ها به پایان می بریم.

ابتدا روشی برای محاسبه ی گروه گالوایی چندجمله ایهای درجه ی سوم و چهارم تحویل ناپذیر و تفکیک پذیر ، در میدان هایی که مشخصه ی آن ها ‎$2$‎ نباشند ، ارائه می دهیم. سپس نشان می دهیم که تعداد نامتناهی میدان درجه ی ‎$4$‎ با یک پایه ی صحیح توانی وجود دارد. همین طور اگر ‎$p$‎ یک عدد اول فرد و ‎$q=p^{m}$‎ و ‎$zeta$‎ ، ‎$‎ - ‎q $‎ امین ریشه ی واحد و ‎$o_{q}$‎ حلقه ی اعداد صحیح در میدان دایره بری ‎$mathbb{q}(zeta)$‎ باشد، نشان می دهیم اگر ‎$ o_{q}=mathbb{z}[alpha]$‎ و ‎$gcd(h_{q}^{+},dfrac{p(p-1)}{2})=1$‎ که ‎$ h_{q}^{+}$‎ عدد رده ای ‎$ mathbb{q}(zeta+zeta^{-1})$‎ باشد، آنگاه انتقال صحیحی از ‎$alpha$‎ ، روی دایره ی واحد یا خط ‎$ re(z)=dfrac{1}{2}$‎ در صفحه ی مختلط قرار دارد. از آنجایی که ‎$ o_{q}=mathbb{z}[alpha]$‎ برای ‎$ alpha=zeta $‎ یا ‎$ alpha=dfrac{1}{1+zeta}$‎ ، امکان پذیر است ، حدس زده می شود که این دو عنصر و مزدوج گالوایی شان تنها مولدهای ‎$o_{q}$‎ هستند و نشان می دهیم که این مطلب برای ‎$q=25$‎ برقرار است.

در این پایان¬نامه چندجمله¬ای های صحیح مقدار را مطالعه می¬کنیم که منجر به تعمیم تابع فاکتوریل روی حوزه¬های ددکیند بر اساس کارهای بارگاوا در [2] می¬شود. وقتی که حوزه¬ی ددکیند برابر است از مفهوم - ترتیب برای تعمیم تابع فاکتوریل استفاده شده است. برای حلقه¬ی اعداد صحیح میدان¬های درجه دوم و حلقه¬ی اعداد صحیح توسیع¬های دایره¬بری، نابرابری اردوش برای که در [6] تعمیم داده شده و مرجع اصلی این پایان¬نامه است را بررسی می¬کنیم. همچنین نابرابری اردوش را برای زیر مجموعه های بررسی می¬کنیم. این زیرمجموعه ها شامل مجموعه-ی اعداد اول است که نابرابری اردوش را ثابت می¬کنیم.

p یک عدد اول و sزیر مجموعه ای ازr است که r یک حوزه ی ددکیند می باشد. p-ترتیب s دنباله ای از اعضای s است که با خواص گفته شده مینیمم است. در این پایان نامه نشان داده میشود که p-ترتیب s تنها به بستار s در r^_p بستگی دارد.در نهایت ترتیب هایی بررسی می شود که به طور همزمان برای تمام ایده آل های اول r، یک p-ترتیب باشد.